Studio di un insieme numerico

[newton88-votailprof]

Studiare al variare del parametro reale $k > 0$, $k$ diverso da $1$, l'insieme numerico (studiare un insieme numerico significa determinare l'estremo inferiore, l'estemo superiore e precisare se sono rispettivamente di min e/o max).

$X := \{ \log_k (2sqrt(n)-1)/(n+1) ,\ n in N \}$

Ho provato a farlo ma non ci sono riuscito.
In attesa di una vs eventuale risposta vi invio cordiali saluti.
In bocca al lupo.

[gugo82]

E dove sta [tex]$k$[/tex]?


[mod="gugo82"]Inoltre ti faccio notare che l'essere affettuoso e cordiale non ti esime dal rispettare il regolamento e le avvertenze in questo avviso.
Quindi mi apetto di vedere un tentativo di soluzione.[/mod]

[newton88-votailprof]

N.B. La base del logaritmo è k

[newton88-votailprof]

Ma per questa ed ultima volta non potresti inviarmi la risoluzione dell'esercizio per favore?
Non riesco a svolgerlo.

[newton88-votailprof]

Non saprei da dove iniziare. Mi servirebbero dei suggerimenti.

[gugo82]

[mod="gugo82"]Tre up in 5 minuti sono un po' troppi.

Ti lascio il tempo di leggere con calma il regolamento (cfr. in particolare 3.4).
Blocco per 24 ore.[/mod]

[gugo82]

[mod="gugo82"]Riapro.

Esorto vivamente affettuoso2010 a rivedere il MathML del primo post, in modo da rendere comprensibile la formula.
Inoltre gli ricordo di rispettare il regolamento in futuro.[/mod]

P.S.: Per mettere il pedice con la base vicino al logaritmo basta digitare \$\log_k\$ (che produce $\log_k$); per inserire le parentesi graffe basta usare \$\{\$ e \$\}\$; (che producono $\{$ e $\}$) per far comparire una linea di frazione basta usare un solo slash \$/\$ (ad esempio \$(e^x-\sin x)/(x^3+2)\$ produce $(e^x-\sin x)/(x^3+2)$).

P.P.S.: Più puntuale di così si muore...

[dissonance]

"gugo82":P.P.S.: Più puntuale di così si muore...

:lol:
Ma l'hai fatto apposta? Ti sei piazzato con un cronometro davanti al tasto "ENTER"?

[gugo82]

[OT]

Esatto!

Per la precisione ho cominciato a scrivere il post alle 1:26.

[/OT]

[newton88-votailprof]

Qualcuno mi aiuta a risolvere l'esercizio?

[gugo82]

Risolvere questo esercizio è facile se hai a disposizione gli strumenti giusti, ma può diventare seccantissimo e pieno di contacci se non li hai.
Quindi se non ci dici cosa puoi usare per la risoluzione e cosa no, è un po' difficile aiutarti.

D'altra parte, postare qualche considerazione nel merito dell'esercizio (che non sia "non lo so fare") sarebbe molto gradito dall'utenza, perchè farebbe vedere il tuo grado di preparazione, mostrerebbe gli strumenti che conosci e farebbe modulare di conseguenza le risposte (che è del tutto normale che non arrivino ad un post scritto come il tuo; noi utenti di solito non facciamo i conti altrui, non siamo delle calcolatrici a cui chiedere un risultato ma esseri umani).

Alcuni suggerimenti.
Supponi [tex]$k>1$[/tex] [risp. [tex]$0 Quando [tex]$n$[/tex] cresce verso [tex]$+\infty$[/tex], cosa succede all'argomento del logaritmo? Puoi determinare il minimo [risp. massimo] di [tex]$\log_k \tfrac{2\sqrt{n} -1}{n+1}$[/tex]? E l'estremo inferiore [risp. superiore]?
Ed in quale [tex]$n$[/tex] l'argomento del logaritmo prende massimo? Cosa succede al [tex]$\log_k \tfrac{2\sqrt{n} -1}{n+1}$[/tex]?

[newton88-votailprof]

Al tendere di n a $ +oo $ l'argomento del logaritmo va a 0.
L'argomento vale 0 se n = 1/4, è maggiore di 0 se n > 1/4 ed è minore di 0 se 0 < n < 1/4.
Ma come faccio a determinare l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme numerico specificando se si tratta di min e/o max?
Aspetto vostre risposte.
Vi ringrazio anticipatamente per le vostre eventuali risposte.

[j18eos]

Primo passo del ragionamento: può essere [tex]$0

Cita

Segnala

[newton88-votailprof]

No.

[j18eos]

Di conseguenza, l'argomento del logaritmo è positivo, come deve essere; per cui la domanda iniziale che ti saresti dovuto porre è: "Per quali [tex]$n$[/tex] l'argomento del logaritmo è definito e strettamente positivo?".

Come ti ha suggerito gugo ed ho visto dal tuo post, calcolati i limiti per [tex]$n\to+\infty$[/tex] distinguendo i casi [tex]$k>1$[/tex] e [tex]$0

Cita

Segnala

[newton88-votailprof]

L'argomento del logaritmo è positivo se n > 1/4.
I limiti mi vengono: se k > 1 il limite mi viene $ -oo $, se 0 < k < 1 il limite mi viene $ +oo $
Il passaggio successivo qual è?

[Darèios89]

Lo sto per iniziare, però, anche se io "non" potrei permettermi ramanzine, in effetti, postare un intervento, dove TU hai un problema e poi scrivere alla fine che in attesa della risposta ci invii i saluti, e ci fai l'in bocca al lupo come se fosse un problema nostro...suona un pò strano.
Però è geniale come idea...
Ci sto provando...

[j18eos]

Prima del passaggio successivo: con queste informazioni che cosa hai ottenuto?

[newton88-votailprof]

Ho ottenuto il campo di esistenza della funzione e calcolato i limiti distinguendo i casi k > 1 e 0 < k < 1.
Ma non riesco ad andare avanti: il passaggio successivo?

[j18eos]

In entrambi i casi hai degli infiniti, mi aspettavo che ti domandassi: "sono il massimo, il minimo od un estremo (inferiore o superiore) dell'insieme dato?". In breve hai avuto un'informazione richiesta dall'esercizio, spetta te capirla!

[Darèios89]

Scusate, ma è vero quello che dici affettuoso?
Cioè che l'argomento è positivo per [tex]n>\frac{1}{4}[/tex]?

Non sarebbe meglio studiare quando l'argomento al posto di essere positivo, è maggiore di 1 e quando è compreso tra 0 ed 1?