Studio di un insieme numerico

[newton88-votailprof]

Studiare al variare del parametro reale $k > 0$, $k$ diverso da $1$, l'insieme numerico (studiare un insieme numerico significa determinare l'estremo inferiore, l'estemo superiore e precisare se sono rispettivamente di min e/o max).

$X := \{ \log_k (2sqrt(n)-1)/(n+1) ,\ n in N \}$

Ho provato a farlo ma non ci sono riuscito.
In attesa di una vs eventuale risposta vi invio cordiali saluti.
In bocca al lupo.

[newton88-votailprof]

Secondo me

- se k > 1 l'estremo inferiore e l'estremo superiore sono $ -oo $
- se 0 < k < 1 l'estremo inferiore e l'estremo superiore sono $ +oo $
E' giusto?
Se fosse sbagliato correggetemi per favore.
Grazie.

[Darèios89]

Mah...non sono bravo, ma non credo....L'inf e il Sup che coincidono?
Credo solo nella funzione costante...se non ricordo male.

[newton88-votailprof]

Potete aiutarmi per favore dato che la mia risoluzione è errata? Qual è la funzione costante? Ci ho provato.
Grazie.

[gugo82]

@affettuoso: Il problema è nel modo in cui posti.
Come ti ho detto, non c'è nessuno disposto a farsi tanti conti gratis; ergo faresti meglio a postare tutto il tuo procedimento, piuttosto che le tue conclusioni (evidentemente errate, perchè non può essere [tex]$\sup =\inf$[/tex] a meno che l'insieme non consista di un unico punto).

[newton88-votailprof]

(2 $ sqrt(n) $ - 1)/(n+1) >0 -> n > 1/4

se k > 1

lim log((2 $ sqrt(n) $ 2 - 1)/(n+1)) -> -$ oo $
n -> +$ oo $

se 0 < k < 1

lim log((2 $ sqrt(n) $ 2 - 1)/(n+1)) -> +$ oo $
n -> +$ oo $

Io l'ho risolto così, ma se è errato, come si dovrebbe risolvere?

[gugo82]

Ah, molto esplicativo, complimenti...
Mostrare il procedimento non significa buttare giù calcoli fatti a caso, ma motivare i passaggi. Commenta quel che hai scritto, sù.

Poi, i suggerimenti che ti ho dato li hai usati? A me pare proprio di no.

[newton88-votailprof]

Praticamente, ho determinato il campo di esistenza della funzione associata alla successione e poi calcolato i limiti al tendere di n a +$ oo $ distinguendo i casi k > 1 e 0 < k < 1. Nel primo caso ho trovato che il limite vale - $ oo $ e nel secondo caso il limite vale + $ oo $.
Ma non so più andare avanti.
Per favore potresti dirmi come andare avanti?
Ti ringrazio per la tua eventuale risposta.

[j18eos]

Nel primo caso s'evince che l'estremo inferiore dell'insieme è [tex]$-\infty$[/tex] ovvero che tale insieme è inferiormente limitato; essendo l'infinito un concetto e non un numero (salvo altri contesti di cui non conosco nulla) non si può dire che esso sia il minimo.
Nel secondo caso...

[newton88-votailprof]

Nel secondo caso, se 0 < k < 1, penso che l'estremo superiore è $ +oo $ e non è massimo. Ma se k > 1, l'estremo superiore come si trova? E se 0 < k < 1, l'estremo inferiore come si trova?
Vi ringrazio anticipatamente per le vs eventuali risposte.

[j18eos]

Devi determinare l'estremo inferiore (che esiste) e provare a vedere se esso fosse il minimo; a me non vengono idee adesso che tra l'altro vado di fretta!

[newton88-votailprof]

Puoi dirmi un'idea per determinare l'estremo superiore se k > 1 e l'estremo inferiore se 0 < k < 1?
Se k > 1 l'estremo inferiore è inf = $ -oo $ e non è minimo; se 0 < k < 1 l'estremo superiore è sup = $ +oo $ e non è massimo.

[j18eos]

Premesso che [tex]$X$[/tex] è l'insieme dei valori della successione [tex]$\log_k\bigg(\frac{2\sqrt n-1}{n+1}\bigg)$[/tex]; esso si dice sostegno della successione.
Un'idea sarebbe lo studiare la monotonìa (crescenza e\o decrescenza) di tale successione!

OUT OF SELF: ma che ripeti a fare i risultati ottenuti?

[efin_90]

Mh sinceramente non so neanche io come trovare rispettivamente il sup se k>1 e l'inf 0 Ho provato a studiare la monotonia ma si vede subito, sostituendo i primi 5 numeri naturali, che la funzione non è nè decrescente nè crescente per ogni valore dei numeri naturali, più che altro penso che l'argomento del logaritmo sia decrescente dal numero n = 3 in poi. Infatti per n = 3 risulta 0,616.. e sostituendo i successivi numeri si vede che il numero comincia a decrescere, ora anche se qui ho proceduto per tantivi, come dovrei fare in questi casi? Cioè come faccio a trovare per quale n si ha il massimo dell'argomento?
Più che altro qui ora potrei provare che l'argomento è maggiore di 0,616.. per ogni numero appartente ai naturali, ma in generale mi chiedo, se per esempio,ipoteticamente, avessi una successione che non è nè crescente nè decrescente e ha il massimo,per esempio, per n = 1000, come dovrei fare per sapere che si ha il massimo per n = 1000 (mica posso sostituire mille valori diversi!!!)? Spero che abbiate capito il mio dubbio! Grazie in anticipo!

[gugo82]

Facciamo [tex]$k>1$[/tex] tanto per cavarci il dente.

Consideriamo la successione di termine generale [tex]$\log_k \frac{2\sqrt{n} -1}{n+1}$[/tex]; come già notato si ha:

[tex]$\lim_n \log_k \frac{2\sqrt{n} -1}{n+1} =-\infty$[/tex],

ergo [tex]$\inf \{ \log_k \tfrac{2\sqrt{n} -1}{n+1} \}_{n\in \mathbb{N}} =-\infty$[/tex] e non esiste il [tex]$\min \{ \log_k \tfrac{2\sqrt{n} -1}{n+1}\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex].
D'altra parte, per noti fatti, la successione [tex]$\log_k \frac{2\sqrt{n} -1}{n+1}$[/tex] è limitata superiormente e ciò significa (se non si sa perchè, dimostrarlo) che esiste certamente [tex]$\max \{ \log_k \tfrac{2\sqrt{n} -1}{n+1}\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] (il quale coincide con l'estremo superiore [tex]$\sup \{ \log_k \tfrac{2\sqrt{n} -1}{n+1}\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex]); quindi tutta la fatica sta nel determinare il massimo.

Dato che [tex]$\log_k$[/tex] è crescente, basta studiare la monotonia di [tex]$\frac{2\sqrt{n} -1}{n+1}$[/tex]; per fare ciò introduciamo la variabile continua [tex]$x\in [1,+\infty[$[/tex] al posto di [tex]$n$[/tex] ed usiamo un po' di Calcolo Differenziale: si ha:

[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{2\sqrt{x} -1}{x+1} \right] = \frac{1-x+\sqrt{x}}{(x+1)^2\ \sqrt{x}}$[/tex]

e la derivata è [tex]$\geq 0$[/tex] (quindi [tex]$\tfrac{2\sqrt{x} -1}{x+1}$[/tex] cresce) per [tex]$x\in ]1,\tfrac{1}{2}\ (3+\sqrt{5})]$[/tex] con [tex]$\tfrac{1}{2}\ (3+\sqrt{5}) \approx 2.5$[/tex], sicché la successione [tex]$\frac{2\sqrt{n} -1}{n+1}$[/tex] cresce strettamente tra [tex]$1$[/tex] e [tex]$2$[/tex] e decresce strettamente dopo [tex]$3$[/tex]; ne viene che la nostra successione prende massimo o per [tex]$n=2$[/tex] o per [tex]$n=3$[/tex].
Un semplice calcolo mostra che:

[tex]$\frac{2\sqrt{2}-1}{2+1} \approx 0.61 < 0.616 \approx \frac{2\sqrt{3}-1}{3+1}$[/tex]

ergo il massimo lo troviamo in [tex]$n=3$[/tex], è negativo e vale [tex]$\log_k \frac{2\sqrt{3}-1}{4}$[/tex].

Per [tex]$0

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[newton88-votailprof]

Mi potete spiegare per cortesia perché n = 3?
Vi ringrazio anticipatamente.
Aspetto vs eventuali risposte.
Saluti.

[dissonance]

Basta leggere per bene le risposte che ti sono state fornite e si trovano tutte le informazioni necessarie.

"gugo82":la successione ... cresce strettamente tra 1 e 2 e decresce strettamente dopo 3 ...

Però, caro "affettuoso 2010", così non si va da nessuna parte. Devi riflettere da solo sui problemi se vuoi avere qualche speranza di imparare qualcosa.

[efin_90]

Ok perfetto. Alla fine ieri notte ho provato proprio studiando la successione come fosse una funzione e ho ottenuto il tuo stesso risultato! Grazie ancora!XD

[newton88-votailprof]

Ma se 0 < k < 1 l'estremo superiore dell'insieme numerico è sup = $ +oo $?
Aspetto vs risposte.
Vi ringrazio anticipatamente.
Saluti.

[j18eos]

Non l'ho capita la domanda: cosa c'è che non và?

[newton88-votailprof]

Vorrei sapere se per 0 < k < 1 l'estremo superiore è sup = $ +oo $.
Aspetto una vs risposta.
Vi ringrazio anticipatamente.
Saluti-