Studio di funzione.. aiuto
questa è la funzione da studiare:
$ (e^(3x^2))/(x-1) $
il dominio dovrebbe essere per ogni x tranne x diversa da 1;
le intersezioni con gli assi, quella con y=0 non dovrebbe essere possibile mentre con x = 0 ho trovato y = -1
la funzione dovrebbe essere positiva dopo 1
i limiti invece per $ x->oo = +oo $ mentre per $ x->1 = +oo $
sulla derivata invece non so che fare.. qualcuno mi potrebbe postare passaggio per passaggio come si calcola? non riesco nemmeno a fare il primo pasaggio..
aiuto..
$ (e^(3x^2))/(x-1) $
il dominio dovrebbe essere per ogni x tranne x diversa da 1;
le intersezioni con gli assi, quella con y=0 non dovrebbe essere possibile mentre con x = 0 ho trovato y = -1
la funzione dovrebbe essere positiva dopo 1
i limiti invece per $ x->oo = +oo $ mentre per $ x->1 = +oo $
sulla derivata invece non so che fare.. qualcuno mi potrebbe postare passaggio per passaggio come si calcola? non riesco nemmeno a fare il primo pasaggio..
aiuto..
Risposte
"axl_1986":
uhmm nn saprei.. non riesco a capire come arrivi ad aver quel risultato..bò..
$y=(e^sqrtx+1)/(e^sqrtx-1)$
$y'=((e^sqrtx-1)*e^sqrtx*1/(2sqrtx)-(e^sqrtx+1)*e^sqrtx*1/(2sqrtx))/(e^sqrtx-1)^2=$
mettendo in evidenza $e^sqrtx(1/(2sqrtx))$
$=(e^sqrtx*1/(2sqrtx)(e^sqrtx-1-e^sqrtx-1))/(e^sqrtx-1)^2=(-2e^sqrtx)/(2sqrtx(e^sqrtx-1)^2)=(-e^sqrtx)/(sqrtx(e^sqrtx-1)^2)$
allora ragazzi eccomi ancora qui ad esporvi un'altra funzione: $f(x)=sqrt((1-logx)/(2-logx))$
ecco i miei risultati:
la funzione è definita tra 0 ed e, e tra $e^2$ e $+oo$
esiste un unico punto di intersezione y=0 x=e
la funzione è positiva prima di e, e dopo $e^2$
i limiti che ho trovato sono x->0 = +00, $x->e^2$ = +oo, x->oo = 0
poi con la derivata arrivano i soliti problemi, dopo qualche passaggio arrivo a questo punto:
$1/2((1-logx)/(2-logx))^2(((2-logx+1-logx)/x)/(2-logx)^2)$ ora apparte i risultati ovvi come $1/2>0$ e $(2-logx)^2>0$ gli altri non so come calcolarli.. non è che mi date una mano?
ecco i miei risultati:
la funzione è definita tra 0 ed e, e tra $e^2$ e $+oo$
esiste un unico punto di intersezione y=0 x=e
la funzione è positiva prima di e, e dopo $e^2$
i limiti che ho trovato sono x->0 = +00, $x->e^2$ = +oo, x->oo = 0
poi con la derivata arrivano i soliti problemi, dopo qualche passaggio arrivo a questo punto:
$1/2((1-logx)/(2-logx))^2(((2-logx+1-logx)/x)/(2-logx)^2)$ ora apparte i risultati ovvi come $1/2>0$ e $(2-logx)^2>0$ gli altri non so come calcolarli.. non è che mi date una mano?
Dominio : $ (0,e] U ( e^2, +oo)$ ok
intersezione assi : ok
la funzione è positiva (o nulla ) in tutto il dominio ove è definita
limiti : non sono corretti , quelli giusti sono $lim_(x rarr 0^(+) ) = 1 $; $lim_(x to e^2 ) =+oo$ ;$lim_(x to +oo ) = 1 $. quindi $ y=1 $ è asintoto orizzontale.
La derivata , calcolata con Derive è $ sqrt((lnx-1)/(lnx-2))/[2x(1-lnx)(lnx-2)]$ e quindi dopo un esame del segno si ricava che la funzione è sempre decrescente.
intersezione assi : ok
la funzione è positiva (o nulla ) in tutto il dominio ove è definita
limiti : non sono corretti , quelli giusti sono $lim_(x rarr 0^(+) ) = 1 $; $lim_(x to e^2 ) =+oo$ ;$lim_(x to +oo ) = 1 $. quindi $ y=1 $ è asintoto orizzontale.
La derivata , calcolata con Derive è $ sqrt((lnx-1)/(lnx-2))/[2x(1-lnx)(lnx-2)]$ e quindi dopo un esame del segno si ricava che la funzione è sempre decrescente.
per quanto riguarda i limiti l'errore l'ho capito..avevo sbagliato una cosa.. ma per la derivata non è che potresti postarmi lo svolgimento?? Non riesco a capire come si arriva a quel risultato..
"axl_1986":
$f(x)=sqrt((1-logx)/(2-logx))$
$y'=(1/2sqrt((2-logx)/(1-logx)))((2-logx)(-1/x)-(1-logx)(-1/x))/(2-logx)^2=$
$=(1/2sqrt((2-logx)/(1-logx)))((-1/x)(2-logx-1+logx))/(2-logx)^2=-(sqrt((2-logx)/(1-logx)))/(2x(2-logx)^2)$
poi puoi anche razionalizzare ( se vuoi ritrovare esattamente l'espressione che ti ha suggerito Camillo)
uhmm allora diciamo che ho capito i passaggi.. però c'è qualcosa che non mi è chiara. In generale $x^-(1/2) = sqrtx$ ?? Poi $ (1/x)/(1/x) = (1/x)(x/1) $ ?
$x^-(1/2) = 1/x^(1/2)=1/sqrtx$
$ (1/x)/(1/x) = (1/x)*(x/1)=1 $
o ancora, in generale
$( a/b ) / (c/d)=( a/b ) * ( d/c )$
$ (1/x)/(1/x) = (1/x)*(x/1)=1 $
o ancora, in generale
$( a/b ) / (c/d)=( a/b ) * ( d/c )$
ma allora perchè nella derivata di prima.. c'è $ 1/2(sqrtf(x)) ?? $ f(x) l'ho scritto per non dover riscrivere tutto
no...osserva bene:il radicando è "capovolto" 
ahh è vero non ci avevo proprio fatto caso..quindi una funzione del tipo $ (f(x)/g(x))^-(1/2) = sqrt(g(x)/f(x)) $
cmq ora calcolando qui e li, sono arrivato a questo punto: $1/2sqrt((2-logx)/(1-logx))((1/x)/(1-logx)^2)$
ci sono due cose che non capisco, come fa tutta la radice a finire al numeratore e come può la x di 2x finire a denominatore. Cmq io già da ora potrei porre la funzione > 0 ??o devo necessariamente semplificarla nella forma che mi avete suggerito voi?
cmq ora calcolando qui e li, sono arrivato a questo punto: $1/2sqrt((2-logx)/(1-logx))((1/x)/(1-logx)^2)$
ci sono due cose che non capisco, come fa tutta la radice a finire al numeratore e come può la x di 2x finire a denominatore. Cmq io già da ora potrei porre la funzione > 0 ??o devo necessariamente semplificarla nella forma che mi avete suggerito voi?
"axl_1986":
quindi una funzione del tipo $ (f(x)/g(x))^-(1/2) = sqrt(g(x)/f(x))$
si
"axl_1986":
ci sono due cose che non capisco, come fa tutta la radice a finire al numeratore e come può la x di 2x finire a denominatore. Cmq io già da ora potrei porre la funzione > 0 ??o devo necessariamente semplificarla nella forma che mi avete suggerito voi?
la radice "finisce al numeratore" per il semplice fatto che
$a*1/b=a/b$
Stesso ragionamento per $1/x$, oppure puoi considerare che, ad esempio
$(1/x)/(x-3)=(1/x) : (x-3)=(1/x)*(1/(x-3))=1/(x(x-3))$
L'ultima domanda non l'ho capita, soprattutto perchè nella derivata che hai calcolato tu manca un $-$ e il fattore al quadrato è quello sbagliato....
per quanto riguarda la radice li non è $ a(1/b) $ ma $(a/b)(1/b)$ o no? se dico cose assurde ti chiedo scusa ma ho bisogno di capirle bene..
per quanto riguarda 1/x quello l'ho capito..
per quanto riguarda l'ultima domanda.. la derivata ho sbagliato a trascriverla, la mia domanda cmq era.. posso già trovare dv la funzione cresce o decresce.. oppure devo necessariamente semplificarla come la avete semplificata voi?
per quanto riguarda 1/x quello l'ho capito..
per quanto riguarda l'ultima domanda.. la derivata ho sbagliato a trascriverla, la mia domanda cmq era.. posso già trovare dv la funzione cresce o decresce.. oppure devo necessariamente semplificarla come la avete semplificata voi?
"axl_1986":
per quanto riguarda la radice li non è $ a(1/b) $ ma $(a/b)(1/b)$ o no?
nel mio esempio $a$ rappresenta la radice, poichè non ho capito cosa intendi adesso, magari scrivi proprio
il passaggio che non ti è chiaro....
puoi già studiare il segno della derivata, tanto le forme sono equivalenti....
ok ho capito tutto! lascia stare..non capivo cose ovvie e scontate..ora però è tutto chiaro.. grazie..se posso vorrei chiederti altre cose:
$ sqrtf(x)> 0$ come la risolvo?
la stessa domanda per le seguenti
$e^f(x)>0$
$e^(sqrtf(x))>0$
$(1/sqrt(x))(x) = 1$ ???
$log(a/b) = loga - logb$ ???
$logab = loga + logb$???
$ sqrtf(x)> 0$ come la risolvo?
la stessa domanda per le seguenti
$e^f(x)>0$
$e^(sqrtf(x))>0$
$(1/sqrt(x))(x) = 1$ ???
$log(a/b) = loga - logb$ ???
$logab = loga + logb$???
"axl_1986":
$ sqrtf(x)> 0$ come la risolvo?
elevando tutto al quadrato, quindi devi studiare $f(x)>0$
Questo è un caso particolare delle disequazioni irrazionali, in generale può esserti utile
http://www.maecla.it/Matematica/Schema%20Disequazioni%20Irrazionali.pdf
"axl_1986":
$e^f(x)>0$
$e^(sqrtf(x))>0$
ti basta considerare che la funzione esponenziale è positiva nel suo insieme di definizione
"axl_1986":
$(1/sqrtx)(x) = 1$ ???
no...razionalizzando
$(1/sqrtx)x=((sqrtx)x)/(sqrtxsqrtx)=sqrtx$
"axl_1986":
$log(a/b) = loga - logb$ ???
$logab = loga + logb$???
ok..sono proprietà dei logaritmi
ok tutto chiaro.. solo una cosa cosa intendi per razionalizzare??
"axl_1986":
cosa intendi per razionalizzare??
eliminare un radicale al denominatore..come nel precedente esempio di $1/sqrtx$..
ok grazie mille..
figurati 
eccomi di nuovo con una nuova funzione..
$ e^((x+1)/(x+3)) $
questa funzione mi era sembrata semplice.. ma ho avuto parecchia difficoltà ad analizzarla...
per quanto riguarda il dominio ho ottenuto tutto x tranne x=-3
le intersezioni x=0 y=1/3
la funzione è sempre positiva
la funzione è sempre crescente
ma i limiti!??! Ho calcolato il limite per x--> -3 e dovrebbe essere oo, poi provando a fare il limite per x-->+oo quanto esce?!?! Forse è uguale a e? e quindi si forma un asintoto orizzontale ma se poi calcolo il limite di x-->e se ne forma un altro ancora.. e così via... dove ho sbagliato??
$ e^((x+1)/(x+3)) $
questa funzione mi era sembrata semplice.. ma ho avuto parecchia difficoltà ad analizzarla...
per quanto riguarda il dominio ho ottenuto tutto x tranne x=-3
le intersezioni x=0 y=1/3
la funzione è sempre positiva
la funzione è sempre crescente
ma i limiti!??! Ho calcolato il limite per x--> -3 e dovrebbe essere oo, poi provando a fare il limite per x-->+oo quanto esce?!?! Forse è uguale a e? e quindi si forma un asintoto orizzontale ma se poi calcolo il limite di x-->e se ne forma un altro ancora.. e così via... dove ho sbagliato??
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