Studio di funzione
Ciao a tutti. Devo studiare la seguente funzione $f(x)=x/(ln^2x-3)$ determinando gli zeri, il dominio, l'intervallo di positività ed eventuali asintoti e poi tracciarne un grafico qualitativo.
Io ho fatto così:
1)Il dominio è per $x>0$, $x!=0$ e $x!=e^(+-sqrt3)$ quindi $D=]0;e^(-sqrt3)e^(+sqrt3);+oo[$ è giusto?
2) Non ci sono intersezioni con gli assi.
3)Calclolo la derivata prima usando la formula di derivata di rapporto tra funzioni e ottengo $f'(x)=((ln^2x-3)-x(1/x)^2)/(ln^2x-3)^2$ ma non so se è giusta, lo è? se non lo è come è?
4)Pongo la funzione maggiore di 0 per vedere dove è positiva.
5)Cerco gli eventuali asintoti facendo i limiti per$x->+oo$ e per x tendente agli altri estremi dell'intervallo ma non saprei come calcolarli, avevo pensato ad una sostituzione tipo $x=t-1$ ma non sono sicuro, che dovrei fare?
Graze aticipatamente
Io ho fatto così:
1)Il dominio è per $x>0$, $x!=0$ e $x!=e^(+-sqrt3)$ quindi $D=]0;e^(-sqrt3)e^(+sqrt3);+oo[$ è giusto?
2) Non ci sono intersezioni con gli assi.
3)Calclolo la derivata prima usando la formula di derivata di rapporto tra funzioni e ottengo $f'(x)=((ln^2x-3)-x(1/x)^2)/(ln^2x-3)^2$ ma non so se è giusta, lo è? se non lo è come è?
4)Pongo la funzione maggiore di 0 per vedere dove è positiva.
5)Cerco gli eventuali asintoti facendo i limiti per$x->+oo$ e per x tendente agli altri estremi dell'intervallo ma non saprei come calcolarli, avevo pensato ad una sostituzione tipo $x=t-1$ ma non sono sicuro, che dovrei fare?
Graze aticipatamente
Risposte
Dunque.. Il dominio è sbagliato: tra 0 e $+oo$ devi escludere 2 punti, mentre ne hai esclusi infiniti.
Le intersezioni sono ok.
La derivata è sbagliata, riguarda la derivazione di $[f(x)]^n$.
Per i punti 4 e 5 scrivi i tuoi calcoli!
Ciao!
Le intersezioni sono ok.
La derivata è sbagliata, riguarda la derivazione di $[f(x)]^n$.
Per i punti 4 e 5 scrivi i tuoi calcoli!
Ciao!
Si hai ragione. Come potrei scrivere il dominio allora?
Per quanto riguarda la derivata ho controllato e viene così : $((ln^2x-3)-(2xlnx))/(ln^2x-3)^2$ giusto ?
Per quanto riguarda gli asintoti non posso scrivere i calcoli se prima non ho il dominio esatto quindi aspetto le vostre risposte, nel mentre posso cercare solo asintoti orizzontali poichè sono sicuro che $+oo$ nel dominio c'è e asintoto verticale per $x->0^+$.
Allora abbiamo :
1)$lim_(x->0^+)x/(ln^2x-3)$. Avevo pensato di fare una sostituzione del tipo $x=t+1$ . Ma non ne sono convinto.
2)$lim_(x->+oo)x/(ln^2x-3)$. Anche in questo caso vorrei ricondurmi a delle forme note per utilizzare le equivalenze ma non mi viene in mente una sostituzione adatta. Forse potrei usare De l'Hopital e in questo caso avrei $lim_(x->+oo)1/(2xlnx)$ dove operando una opportuna sostituzione potrei ottenere qualosa o sbaglio?
Dico questo perchè sono sicuro del fatto che la funzione non ha asintoti obliqui quindi il limite deve venirmi finito...
Per quanto riguarda la derivata ho controllato e viene così : $((ln^2x-3)-(2xlnx))/(ln^2x-3)^2$ giusto ?
Per quanto riguarda gli asintoti non posso scrivere i calcoli se prima non ho il dominio esatto quindi aspetto le vostre risposte, nel mentre posso cercare solo asintoti orizzontali poichè sono sicuro che $+oo$ nel dominio c'è e asintoto verticale per $x->0^+$.
Allora abbiamo :
1)$lim_(x->0^+)x/(ln^2x-3)$. Avevo pensato di fare una sostituzione del tipo $x=t+1$ . Ma non ne sono convinto.
2)$lim_(x->+oo)x/(ln^2x-3)$. Anche in questo caso vorrei ricondurmi a delle forme note per utilizzare le equivalenze ma non mi viene in mente una sostituzione adatta. Forse potrei usare De l'Hopital e in questo caso avrei $lim_(x->+oo)1/(2xlnx)$ dove operando una opportuna sostituzione potrei ottenere qualosa o sbaglio?
Dico questo perchè sono sicuro del fatto che la funzione non ha asintoti obliqui quindi il limite deve venirmi finito...
Al dominio ci sei quasi: riguarda i passaggi perché l'errore è semplice, ma non sarò io a dirtelo; la derivata ancora non mi piace, e l'errore è sempre lo stesso.
Il primo limite lo sbagli perché hai saltato il passaggio che si fa sempre prima di fare qualunque altra cosa; il secondo limite lo potresti fare con il teorema della gerarchia degli infiniti, ma se applichi de l'Hopital come dici tu poi ti blocchi perché fai lo stesso errore del primo limite.
Il fatto che una funzione non abbia asintoti obliqui non implica che abbia asintoti orizzontali!
Il primo limite lo sbagli perché hai saltato il passaggio che si fa sempre prima di fare qualunque altra cosa; il secondo limite lo potresti fare con il teorema della gerarchia degli infiniti, ma se applichi de l'Hopital come dici tu poi ti blocchi perché fai lo stesso errore del primo limite.
Il fatto che una funzione non abbia asintoti obliqui non implica che abbia asintoti orizzontali!
Per quanto riguarda il dominio non saprei cosa dire. I punti che devo escludere sono quei due e lo 0. Per il resto la funzione è definita per ogni x maggiore di 0 quindi come devo scriverlo?
Per quanto riguarda la derivata io applico la formula $(f'(x))/(g'(x))=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x)^2)$ quindi quale è l'errore? Sbaglio a derivare il denominatore?
Quale è questo passaggio del limite? Davvero non ci penso.
Il teorema della gerarchia degli infiniti dice che se in un limite vengono sommati più infiniti, si eliminano quelli di ordine inferiore. Giusto? Se si in questo caso non c'è una somma o differenza quindi che elimino?
Per quanto riguarda gli asintoti obliqui so che non ci sono, non perchè lo implica qualcosa ma perchè c'è scritto nel testo dell'esercizio di non calcolare as. obliqui perchè non ce ne sono.
Per quanto riguarda la derivata io applico la formula $(f'(x))/(g'(x))=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x)^2)$ quindi quale è l'errore? Sbaglio a derivare il denominatore?
Quale è questo passaggio del limite? Davvero non ci penso.
Il teorema della gerarchia degli infiniti dice che se in un limite vengono sommati più infiniti, si eliminano quelli di ordine inferiore. Giusto? Se si in questo caso non c'è una somma o differenza quindi che elimino?
Per quanto riguarda gli asintoti obliqui so che non ci sono, non perchè lo implica qualcosa ma perchè c'è scritto nel testo dell'esercizio di non calcolare as. obliqui perchè non ce ne sono.
Sul dominio: ti sei dimenticato di includere l'intervallo tra i due zeri trascendenti!
Nella derivata sbagli a fare la derivata di $[ln(x)]^2$
Con ogni limite, per prima cosa sostituisci e verifica se c'è forma indeterminata
Quello che dici tu non è il teorema della gerarchia degli infiniti; torna al libro!
Nella derivata sbagli a fare la derivata di $[ln(x)]^2$
Con ogni limite, per prima cosa sostituisci e verifica se c'è forma indeterminata
Quello che dici tu non è il teorema della gerarchia degli infiniti; torna al libro!
se non sbaglio la derivata viene f'(x)=$(ln^2x-2lnx-3)/(ln^2x-3)$
mi son dimenticato di elevare il denominatore alla seconda
Ah già vero quindi il dominio è questo $D=]0;e^(-sqrt3)e^(-sqrt3);e^(+sqrt3)e^(+sqrt3);+oo[$ Ci siamo ora?
Nella derivata è questo che mi confonde. Praticamente $ln^2x$ è uguale a $(lnx)^2$ ? o no?
Nel limite sostituiamo e viene nel primo caso $0/(-oo-3)$ e cioè?
Per quanto riguarda il teorema degli infiniti tu ti riferisci all'ordine di infinito? Ossia al fatto che, per esempio , per $x->oo$ il logaritmo è infinito di ordine inferiore rispetto alle potenze e così via per le altre funzioni?
Nella derivata è questo che mi confonde. Praticamente $ln^2x$ è uguale a $(lnx)^2$ ? o no?
Nel limite sostituiamo e viene nel primo caso $0/(-oo-3)$ e cioè?
Per quanto riguarda il teorema degli infiniti tu ti riferisci all'ordine di infinito? Ossia al fatto che, per esempio , per $x->oo$ il logaritmo è infinito di ordine inferiore rispetto alle potenze e così via per le altre funzioni?
Il dominio adesso è a posto
$ln^2(x)=[ln(x)]^2$
$0/-oo$ HA significato
Il teorema è quello.
Ormai ci siamo
$ln^2(x)=[ln(x)]^2$
$0/-oo$ HA significato
Il teorema è quello.
Ormai ci siamo
Quindi se vale $ln^2x=[lnx]^2$ la derivata sarebbe $2lnx$ ? Quindi dovrebbe venire $f'(x)=((ln^2x-3)-2lnx)/(ln^2x-3)^2$ giusto?
VIsto che ha significato, fa $0$ o $-oo$ ?
Per quanto riguarda il secondo limite, sfruttando quel teorema, abbiamo che il logaritmo è infinito di ordine inferiore rispetto a $x$ quindi quanto viene il limite?Non può essere infinito perchè altrimenti dovrei andare a cercare asintoti obliqui ma sono sicuro che non ce ne sono e che l'asintoto deve avere valore finito. Un mio amico mi ha fatto vedere che lui l'ha risolto facendo una sostituzione del tipo che dicevo io e otteneva come valore del limite $1/2$ ma non ricordo se era per $x->0^+$ o per $x->+oo$. In poche parole io so, perchè c'è scritto nella soluzione, che ci sono 2 asintoti veritcali e uno orizzontale ma non so il valore di questi.
Per quanto riguarda gli altri asintoti dovrei fare pure $lim_(x->e^-(sqrt3))f(x)$ e $lim_(x->e^+(sqrt3))f(x)$ ma questi vorrei farli dopo aver chiarito gli altri due limiti.
Dovrei studiare anche la positività e per fare questo ho studiato la funzione $f(x)>0$ e per questo non ho avuto problemi. Se volessi vedere invece se ci sono dei punti critici e sapere quali sono devo porre $f'(x)=0$ quindi se la derivata è quella giusta dovrei risolvere l'equazione $ln^2x -2lnx-3=0$ perchè il denominatore va via. A questo punto posto $y=lnx$ abbiamo $y^2-2y-3=0$ quindi $y=(-1+sqrt(4))$ e $y=(-1-sqrt(4))$ e quindi $y=1$ e $y=-3$ e ancora $lnx=1$ e $lnx=-3$ Quindi otteniamo $e$ e $e^(-3)$ giusto? Per vedere se sono punti di max o min calcolo la derivata seconda e sostituisco uno alla volta questi valori ecc....
Ho fatto tutto bene?
VIsto che ha significato, fa $0$ o $-oo$ ?
Per quanto riguarda il secondo limite, sfruttando quel teorema, abbiamo che il logaritmo è infinito di ordine inferiore rispetto a $x$ quindi quanto viene il limite?Non può essere infinito perchè altrimenti dovrei andare a cercare asintoti obliqui ma sono sicuro che non ce ne sono e che l'asintoto deve avere valore finito. Un mio amico mi ha fatto vedere che lui l'ha risolto facendo una sostituzione del tipo che dicevo io e otteneva come valore del limite $1/2$ ma non ricordo se era per $x->0^+$ o per $x->+oo$. In poche parole io so, perchè c'è scritto nella soluzione, che ci sono 2 asintoti veritcali e uno orizzontale ma non so il valore di questi.
Per quanto riguarda gli altri asintoti dovrei fare pure $lim_(x->e^-(sqrt3))f(x)$ e $lim_(x->e^+(sqrt3))f(x)$ ma questi vorrei farli dopo aver chiarito gli altri due limiti.
Dovrei studiare anche la positività e per fare questo ho studiato la funzione $f(x)>0$ e per questo non ho avuto problemi. Se volessi vedere invece se ci sono dei punti critici e sapere quali sono devo porre $f'(x)=0$ quindi se la derivata è quella giusta dovrei risolvere l'equazione $ln^2x -2lnx-3=0$ perchè il denominatore va via. A questo punto posto $y=lnx$ abbiamo $y^2-2y-3=0$ quindi $y=(-1+sqrt(4))$ e $y=(-1-sqrt(4))$ e quindi $y=1$ e $y=-3$ e ancora $lnx=1$ e $lnx=-3$ Quindi otteniamo $e$ e $e^(-3)$ giusto? Per vedere se sono punti di max o min calcolo la derivata seconda e sostituisco uno alla volta questi valori ecc....
Ho fatto tutto bene?
La derivata è giusta, ma ti scrivo comunque la formula e ti invito a ripassarla perché non sono convinto che tu abbia capito il procedimento: $D[f(x)]^n=n*[f(x)]^{n-1}*f'(x)$.
Visto che ha significato, apri il tuo libro al capitolo dell'algebra degli infiniti e cerca la risposta!
Anche per il secondo limite, stesso capitolo del tuo libro.
Sui due asintoti verticali sono d'accordo, ma su quello orizzontale proprio no..
Per vedere se i punti critici sono massimi o minimi, non conviene fare la derivata seconda, ma lo studio del segno della derivata prima! In questo modo ti eviti un sacco di calcoli.
Visto che ha significato, apri il tuo libro al capitolo dell'algebra degli infiniti e cerca la risposta!
Anche per il secondo limite, stesso capitolo del tuo libro.
Sui due asintoti verticali sono d'accordo, ma su quello orizzontale proprio no..
Per vedere se i punti critici sono massimi o minimi, non conviene fare la derivata seconda, ma lo studio del segno della derivata prima! In questo modo ti eviti un sacco di calcoli.
Ok grazie mille. Coumque se la formula della derivata è quella che mi hai scritto tu allora ho dimenticato di moltiplicare per $f'(x)$ quindi non è giusta la derivata che ho scritto io, o si?
Il problema è che, come ho detto più volte, il mio libro non è buono per niente e di algebra degli infiniti ti dice solo 3 delle forme che ci sono e questa proprio non c'è però ho cercato su internet ed è uguale a $0$ giusto? Quindi questo è il primo asintoto veritcale cioè $x=0$. Per gli altri asintoti verticali faccio il limite:$lim_(x->e^(-sqrt3))x/(ln^2x-3)$ quindi se facciamo una sostituzione iniziale otteniamo $(e^(-sqrt3))/(ln^2(e^(-sqrt3)-3)$ Ma viene infinito. Quindi un altro asintoto è $x=+oo$? Che tralaltro è uguale al valore del secondo limite quindi gli asintoti verticali sono 2 e cioè $x=0$ e $x=+oo$? Però io ricordo che il mio amico aveva un asintoto uguale a $1/2$ e a quanto pare era giusto perchè il compito gli è stato corretto dal professore e lui ha usato proprio quella sostituzione che dicevo io che se non ricordo male era $x=t-1$. Boh
L'asintoto orizzontale quindi non c'è? Ne sei sicuro?
Per quanto riguarda i max e min lo so che ci sono due metodi ma come dici tu è meglio che uso lo studio della derivata così faccio meno calcoli
Il problema è che, come ho detto più volte, il mio libro non è buono per niente e di algebra degli infiniti ti dice solo 3 delle forme che ci sono e questa proprio non c'è
però ho cercato su internet ed è uguale a $0$ giusto? Quindi questo è il primo asintoto veritcale cioè $x=0$. Per gli altri asintoti verticali faccio il limite:$lim_(x->e^(-sqrt3))x/(ln^2x-3)$ quindi se facciamo una sostituzione iniziale otteniamo $(e^(-sqrt3))/(ln^2(e^(-sqrt3)-3)$ Ma viene infinito. Quindi un altro asintoto è $x=+oo$? Che tralaltro è uguale al valore del secondo limite quindi gli asintoti verticali sono 2 e cioè $x=0$ e $x=+oo$? Però io ricordo che il mio amico aveva un asintoto uguale a $1/2$ e a quanto pare era giusto perchè il compito gli è stato corretto dal professore e lui ha usato proprio quella sostituzione che dicevo io che se non ricordo male era $x=t-1$. Boh L'asintoto orizzontale quindi non c'è? Ne sei sicuro?
Per quanto riguarda i max e min lo so che ci sono due metodi ma come dici tu è meglio che uso lo studio della derivata così faccio meno calcoli
Ora che sai la formula, rifai il calcolo e vedrai che la derivata è giusta.
Hai fatto bene a cercare in internet, e setaccia anche gli appunti del forum: https://www.matematicamente.it/appunti/a ... niversita/
comunque è giusto 0, più giusto $0^-$
Se il limite tende a zero, come può essere un asintoto verticale? Riparti dalla definizione di asintoto
Anche per i limiti ai valori trascendenti devi riguardare la definizione di asintoto. Dire che la funzione ha un asintoto di equazione $x=+oo$ non ha proprio senso..
Ad $x=1/2$ continuo a sostenere che non ci sia nulla di particolare.
Per gli asintoti orizzontali, rileggi la definizione e poi dimmi tu se ce ne sono o no.
Ecco, meglio fare lo studio del segno della derivata prima, così evitiamo un'altra derivata
Hai fatto bene a cercare in internet, e setaccia anche gli appunti del forum: https://www.matematicamente.it/appunti/a ... niversita/
comunque è giusto 0, più giusto $0^-$
Se il limite tende a zero, come può essere un asintoto verticale? Riparti dalla definizione di asintoto
Anche per i limiti ai valori trascendenti devi riguardare la definizione di asintoto. Dire che la funzione ha un asintoto di equazione $x=+oo$ non ha proprio senso..
Ad $x=1/2$ continuo a sostenere che non ci sia nulla di particolare.
Per gli asintoti orizzontali, rileggi la definizione e poi dimmi tu se ce ne sono o no.
Ecco, meglio fare lo studio del segno della derivata prima, così evitiamo un'altra derivata
Ok per la derivata ci siamo.
Per quanto riguarda gli asintoti ho avuto un lapsus, scusa. Un asintoto verticale c'è se il limite tendente al punto finito è infinito. Un asintoto orizzontale se il limite tendente a infinito è uguale a un num. reale. Un asintoto obliquo dobbiamo cercARLO se per lim tendente a infinito abbiamo infinito. Quindi per quanto riguarda $lim_(x->0^+)f(x)$ non si ha asintoto. Ha solo per $lim_(x->e^(sqrt3))f(x)$ asintoto verticale quindi $x=e^(sqrt3)$ ho ragione? As. Obliqui non ce ne sono. Ho usato anche derive per tracciare il grafico e ho verificato che è vero.
Per quanto riuarda $x=1/2$ hai ragione quindi non capisco proprio da dove gli sia uscito fuori. Non c'è bisogno di fare sostituzioni di nessun tipo.
Per quanto riguarda gli asintoti ho avuto un lapsus, scusa. Un asintoto verticale c'è se il limite tendente al punto finito è infinito. Un asintoto orizzontale se il limite tendente a infinito è uguale a un num. reale. Un asintoto obliquo dobbiamo cercARLO se per lim tendente a infinito abbiamo infinito. Quindi per quanto riguarda $lim_(x->0^+)f(x)$ non si ha asintoto. Ha solo per $lim_(x->e^(sqrt3))f(x)$ asintoto verticale quindi $x=e^(sqrt3)$ ho ragione? As. Obliqui non ce ne sono. Ho usato anche derive per tracciare il grafico e ho verificato che è vero.
Per quanto riuarda $x=1/2$ hai ragione quindi non capisco proprio da dove gli sia uscito fuori.
Non c'è bisogno di fare sostituzioni di nessun tipo.
Ti manca un limite, all'altro zero trascendente
Si quello con il segno meno davanti che tralatro tende alla stessa quantità quindi l'altro asintoto è $x=e^(-sqrt3)$
Bene, adesso comincia a piacermi
Lo studio di funzione era tutto quì. Ho finito. Grazie mille per l'aiuto. Appena avroò qualche altro problema lo posterò. Ciao
Di niente, ciao!
Ehy Raptorista se non ti dispiace puoi dare un'occhiata all'altro mio post Convergenza integrali? E' nello stessa pagina. Ho bisogno di sapere se il metodo che uso è giusto o no e se sono giusti quelli che ho fatto. 
Ciao
Ciao
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo