Studio di funzione
$f(x)=xe^(-1/x)$ definita per $x!=0$
$f'(x)=e^(-1/x)*(1+1/x)$ definita per $x!=0$
$f''(x)=e^(-1/x)/x^3$ definita per $x!=0$
Come trovo gli eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui)?
$f'(x)=e^(-1/x)*(1+1/x)$ definita per $x!=0$
$f''(x)=e^(-1/x)/x^3$ definita per $x!=0$
Come trovo gli eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui)?
Risposte
Verticali: regolandoti con i punti dove la funzione non è definita.
Orizzontali: limite all'infinito.
Obliqui: c'è la formuletta.
Orizzontali: limite all'infinito.
Obliqui: c'è la formuletta.
Puoi essere un po più esplicito? 
"thedarkhero":
Puoi essere un po più esplicito?
Verticali: consideri il limite nei punti in cui non è definita, se va all'infinito (positivo o negativo) allora c'è un asintoto.
Orizzontali: guardi i limiti per più o meno infinito e se sono finiti allora hai un asintoto orizzontale
Obliquo: se non ci sono asintoti orizzontali allora usi la formula dalla parte che non li ha. La formula la trovi su ogni libro, si tratta di due limiti, uno della funzione diviso x e l'altro della funzione meno la retta per l'origine con quell'm (se il primo limite è finito). Se entrambi i limiti sono finiti allora hai un asintoto obliquo.
Comunque:
http://it.wikipedia.org/wiki/Asintoto
Posta i tuoi calcoli per avere consigli sui casi specifici...
Asintoto verticale:
$lim_(x->0+)xe^(-1/x)=0$
$lim_(x->0-)xe^(-1/x)=?$
$lim_(x->0+)xe^(-1/x)=0$
$lim_(x->0-)xe^(-1/x)=?$
Il problema è quindi diventato quello di calcolare il secondo limite...qualcuno mi può aiutare? (magari dandomi anche conferma del primo?).
per $x$ che tende a $0-$, $-1/x$ tende a $+oo$. il limite richiesto dunque è $-oo$. lo puoi vedere dal confronto di infiniti e infinitesimi o dall'applicazione di qualsiasi metodo per eliminare l'indeterminazione (ad esempio l'Hopital alla funzione $x/(e^(1/x))$). l'altro limite è corretto (se vogliamo essere pignoli, è $0+$).
spero sia chiaro. ciao.
spero sia chiaro. ciao.
No ma scusa, $lim_(x->o-)x/e^(1/x)$ è una forma 0/0 ma se applico de l'Hopital rimane nella forma 0/0...non mi è chiaro come hai fatto...
Ma il marchese lasciatelo riposare in pace una volta tanto...
Per risolvere $lim_(x\to 0^-) xe^(-1/x)$ basta sostituire $y=-1/x$ e ricordare la "scala degli infiniti".
Per risolvere $lim_(x\to 0^-) xe^(-1/x)$ basta sostituire $y=-1/x$ e ricordare la "scala degli infiniti".
"thedarkhero":
No ma scusa, $lim_(x->o-)x/e^(1/x)$ è una forma 0/0 ma se applico de l'Hopital rimane nella forma 0/0...non mi è chiaro come hai fatto...
a parte il suggerimento di Gugo82 di lasciar riposare il Marchese, in realtà io non l'avevo svolto, ed effettivamente non è la forma migliore da cui partire per applicare l'Hopital. molto meglio $(e^(-1/x))/(1/x)$. ciao.
Ricapitolando:
Non ha asintoti verticali perchè solo uno dei due limiti tende a infinito per x che tende a 0;
Non ha asintoti orizzontali perchè i limiti per x che tende a infinito sono infiniti;
Ora come trovo quelli obliqui?
Non ha asintoti verticali perchè solo uno dei due limiti tende a infinito per x che tende a 0;
Non ha asintoti orizzontali perchè i limiti per x che tende a infinito sono infiniti;
Ora come trovo quelli obliqui?
Per trovare gli asintoti obliqui
y=mx + n
m=$lim_(x->\infty)f(x)/x$
se viene un numero finito $!=o$
allora:
n=$lim_(x->\infty)f(x)-mx$
y=mx + n
m=$lim_(x->\infty)f(x)/x$
se viene un numero finito $!=o$
allora:
n=$lim_(x->\infty)f(x)-mx$
"thedarkhero":
Ricapitolando:
Non ha asintoti verticali perchè solo uno dei due limiti tende a infinito per x che tende a 0;
Non ha asintoti orizzontali perchè i limiti per x che tende a infinito sono infiniti;
Ora come trovo quelli obliqui?
la retta x=0 va considerata asintoto verticale: non è necessario che entrambi i limiti (destro e sinistro) siano infiniti, ma ne basta uno.
inoltre se il limite della funzione per $x->+oo$ è infinito, questo esclude l'esistenza dell'asintoto orizzontale, ma non garantisce l'esistenza dell'asintoto obliquo. il limite di $(f(x))/x$, perché ci sia asintoto obliquo, deve essere finito e diverso da zero, ed inoltre (se tale limite esiste e lo chiami $m$), anche il limite di $f(x)-mx$ deve esistere ed essere finito (questo può anche essere zero). controlla, ma non credo proprio che una funzione esponenziale di questo tipo possa avere asintoti obliqui.
ciao.
Non è questo il caso ma se i lim di f(x)/x fossero diversi a seconda che x tenda a $+oo$ o a $-oo$?
possono esserci anche due asintoti distinti (entrambi orizzontali, entrambi obliqui, uno orizzontale e uno obliquo), o magari un solo asintoto che vale per l'intorno solo di $+oo$ o solo di $-oo$ o magari nessun asintoto orizzontale né obliquo.
esempi:
$f(x)=|(x^2-9)/x|$
$g(x)=sqrt(|x|)$
$h(x)={[x/(x+5)" if "x<0],[(x-2)/(x-10)" if "x>=0] :}$
$s(x)={[(sinx)/x" if "x<=-4],[|x^2+x|/(x-1)" if " -4=1] :}$
mi sono venute in mente così, di getto, magari sono meno significative rispetto alle intenzioni, comunque prova a vedere che cosa ne pensi.
buon lavoro. ciao.
esempi:
$f(x)=|(x^2-9)/x|$
$g(x)=sqrt(|x|)$
$h(x)={[x/(x+5)" if "x<0],[(x-2)/(x-10)" if "x>=0] :}$
$s(x)={[(sinx)/x" if "x<=-4],[|x^2+x|/(x-1)" if " -4
mi sono venute in mente così, di getto, magari sono meno significative rispetto alle intenzioni, comunque prova a vedere che cosa ne pensi.
buon lavoro. ciao.
Nel calcolo degli asintoti obliqui ho trovato $m=1$ ma per calcolare q mi sono bloccato su $lim_(x->-oo)xe^(-1/x)-x$...
Allora ti viene ke y=x+n allora
n=$\lim_{x \to \infty}xe^(-1/x)-x=lim_{x \to \infty}x(e^(-1/x)-1)$
a questo punto poni $k=1/x$ ke sostituendo nel mimite ti tenderà a 0 quindi
n=$lim_(k->0)(e^-k-1)/k=lim_(k->0)-(e^-k-1)/(-k)=-1$
perchè questo è un limite notevole che fa 1 che moltiplica il -1 in evidenza.
Spero di esserti stato d'aiuto
n=$\lim_{x \to \infty}xe^(-1/x)-x=lim_{x \to \infty}x(e^(-1/x)-1)$
a questo punto poni $k=1/x$ ke sostituendo nel mimite ti tenderà a 0 quindi
n=$lim_(k->0)(e^-k-1)/k=lim_(k->0)-(e^-k-1)/(-k)=-1$
perchè questo è un limite notevole che fa 1 che moltiplica il -1 in evidenza.
Spero di esserti stato d'aiuto
siete certi che m=1?
non c'è per caso un asintoto orizzontale?
non c'è per caso un asintoto orizzontale?
I limiti di f(x) per x tendente a $+oo$ e a $-oo$ sono entrambi infiniti no? quindi non dovrebbero esserci asintoti orizzontali.
mi sono espressa male. era già stato escluso che potesse esserci un asintoto orizzontale.
mi riferivo ai limiti successivi, per trovare gli eventuali asintoti obliqui.
adesso non ricordo tutta la discussione e non ritrovo alcune annotazioni che potrebbero chiarire il mio dubbio: io non mi ritrovavo con i risultati di m e q (ma soprattutto ad intuito non mi aspettavo che la funzione potesse avere un asintoto obliquo).
è probabile che sia stata io a fare un po' di confusione con qualche altro limite precedente.
scusatemi. ignorate il messaggio precedente. se dovessi ritrovare qualcosa di interessante, lo posterò.
ciao.
mi riferivo ai limiti successivi, per trovare gli eventuali asintoti obliqui.
adesso non ricordo tutta la discussione e non ritrovo alcune annotazioni che potrebbero chiarire il mio dubbio: io non mi ritrovavo con i risultati di m e q (ma soprattutto ad intuito non mi aspettavo che la funzione potesse avere un asintoto obliquo).
è probabile che sia stata io a fare un po' di confusione con qualche altro limite precedente.
scusatemi. ignorate il messaggio precedente. se dovessi ritrovare qualcosa di interessante, lo posterò.
ciao.
Ultimo dubbio:
nel calcolo degli asintoti obliqui se $lim_(x->-oo)f(x)/x!=lim_(x->+oo)f(x)/x$ trovo due m diversi tra loro. Allo stesso modo se $lim_(x->-oo)f(x)-mx!=lim_(x->+oo)f(x)-mx$ trovo due q diversi. Quindi se si verificano le precedenti disuguaglianze ottengo quattro diversi asintoti obliqui?
nel calcolo degli asintoti obliqui se $lim_(x->-oo)f(x)/x!=lim_(x->+oo)f(x)/x$ trovo due m diversi tra loro. Allo stesso modo se $lim_(x->-oo)f(x)-mx!=lim_(x->+oo)f(x)-mx$ trovo due q diversi. Quindi se si verificano le precedenti disuguaglianze ottengo quattro diversi asintoti obliqui?
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