Serie con criterio del confronto
Salve a tutti ,
volevo chiedervi come posso determinare il carattere delle seguenti serie con il teorema del confronto: $ sum_(n = 1)^(+oo )lnn/n^2 $ e di $ sum_(n = 1)^(+oo ) n/(n+1) $
Grazie a tutti
Ciao
volevo chiedervi come posso determinare il carattere delle seguenti serie con il teorema del confronto: $ sum_(n = 1)^(+oo )lnn/n^2 $ e di $ sum_(n = 1)^(+oo ) n/(n+1) $
Grazie a tutti
Ciao
Risposte
Per la prima
$ lnn/n^2 <= 1/n^2 $
Perciò la serie $ sum_(n = 1)^(oo ) 1/n^2 $ è la serie armonica che per p>1 converge quindi questa converge
Per la seconda se fai il limite viene 1 e quindi diverge
$ lnn/n^2 <= 1/n^2 $
Perciò la serie $ sum_(n = 1)^(oo ) 1/n^2 $ è la serie armonica che per p>1 converge quindi questa converge
Per la seconda se fai il limite viene 1 e quindi diverge
Scusa i termini della serie $1/n^2$ a partire da n=3 risultano minori dei termini $ln(n)/n^2$ e quindi la serie $1/n^2$ nn è maggiorante convergente e quindi nn è utilizzabile per il confronto?
La prima converge perchè potrebbe essere visto il $Ln(n)$ come asintotico di $n$ e quindi il limite dell'argomento con $n->oo$ è $0$.
(giustamente questo è il confronto asintotico)
Per la seconda, io facio il limite e mi trovo $1$, diverge.
Io credo che $1/n^2$ è maggiorante perchè nel confronto sta nel secondo membro.
(giustamente questo è il confronto asintotico)
Per la seconda, io facio il limite e mi trovo $1$, diverge.
Io credo che $1/n^2$ è maggiorante perchè nel confronto sta nel secondo membro.
Utilizzando il teorema del confronto asintotico tra la serie di $ln(n)/n^2$ (an)e la serie di $1/n^2$ (bn) essendo $1/n^2$ convergente e $ lim_(n -> oo ) (an)/(bn) $ non è finito quindi la serie non è convergente ma divergente o sbaglio?
Io vedevo
$ln(n)=n$ quell'uguale è il ''circa''
Se lo metto a posto di $ln(n)$ fa $n/n^2$ per $n->oo$ va a $0$ giusto?
Se il limite è 0, converge giusto?
(non so se va bene come ragionamento aspettiamo pareri più consoni xD)
$ln(n)=n$ quell'uguale è il ''circa''
Se lo metto a posto di $ln(n)$ fa $n/n^2$ per $n->oo$ va a $0$ giusto?
Se il limite è 0, converge giusto?
(non so se va bene come ragionamento aspettiamo pareri più consoni xD)
"clever":
La prima converge perchè potrebbe essere visto il $Ln(n)$ come asintotico di $n$ e quindi il limite dell'argomento con $n->oo$ è $0$.
(giustamente questo è il confronto asintotico)
Per la seconda, io facio il limite e mi trovo $1$, diverge.
Io credo che $1/n^2$ è maggiorante perchè nel confronto sta nel secondo membro.
La serie armonica con $p=1$: $a_n: 1/n$ diverge, non converge.
Probabilmente questa serie diverge
"clever":
Io vedevo
$ln(n)=n$ quell'uguale è il ''circa''
Se lo metto a posto di $ln(n)$ fa $n/n^2$ per $n->oo$ va a $0$ giusto?
Se il limite è 0, converge giusto?
(non so se va bene come ragionamento aspettiamo pareri più consoni xD)
Scusami clever, ma questa è solo la condizione necessaria. Ma non è sufficiente.
Infatti diverge.
Poi col confronto asintotico, si vede che la serie in esame è divergente
Aspetta, mi sto perdendo.
Tu dici che non va bene la mia considerazione sul confronto asintotico?
Diverge perchè il limite è 0?
Tu dici che non va bene la mia considerazione sul confronto asintotico?
Diverge perchè il limite è 0?
"clever":
Aspetta, mi sto perdendo.
Tu dici che non va bene la mia considerazione sul confronto asintotico?
Diverge perchè il limite è 0?
Il ragionamento è ottimo.
Però il fatto che il limite è zero significa solo che potrebbe convergere, ma non che converge certamente. (se fosse stato diverso da zero, si avrebbe avuto la certezza che non converge invece).
Perchè la serie armonica è divergente, infatti.
Il criterio necessario e sufficiente invece è un altro (il criterio di Cauchy) che però ha solo valenza teorica.
Invece lla serie armonica generalizzata con esponente $2$, usata da gian è convergente, quindi il ragionamento del confronto asintoticco funziona
Ah giusto!
$1/n$ è una serie armonica divergente giusto?
Quindi la mia osservazione va bene, ma è limitata dal fatto che non è una condizione sufficiene quella del limite.
E' cosi?
$1/n$ è una serie armonica divergente giusto?
Quindi la mia osservazione va bene, ma è limitata dal fatto che non è una condizione sufficiene quella del limite.
E' cosi?
Il criterio del confronto asintotico si può utilizzare solo se il limite è finito ed è diverso da 0 quindi nn va bn nemmeno il mio ragionamento
"faximusy":
Invece lla serie armonica generalizzata con esponente $2$, usata da gian è convergente, quindi il ragionamento del confronto asintoticco funziona
Non ho capito cosa c'entra la serie armonica con esponente 2 dato che definitivamente [tex]\frac{\ln n}{n^2}>\frac{1}{n^2}[/tex] (ma anche per ogni n). Cioè, in che modo è stato fatto il confronto?
Ma l'altro utente ha detto che va bene il confronto asintotico ma non mi da una sicurezza nel dire se è convergente.
Ora perchè non va bene? xD
Inoltre voglio capire:
Le serie armoniche del tipo $1/n^a$ divergono sempre quando $a=1$ dove questo $a$ è l'esponente del mio argomento della serie.
Giusto?
Ora perchè non va bene? xD
Inoltre voglio capire:
Le serie armoniche del tipo $1/n^a$ divergono sempre quando $a=1$ dove questo $a$ è l'esponente del mio argomento della serie.
Giusto?
"Orlok":
[quote="faximusy"]
Invece lla serie armonica generalizzata con esponente $2$, usata da gian è convergente, quindi il ragionamento del confronto asintoticco funziona
Non ho capito cosa c'entra la serie armonica con esponente 2 dato che definitivamente [tex]\frac{\ln n}{n^2}>\frac{1}{n^2}[/tex] (ma anche per ogni n). Cioè, in che modo è stato fatto il confronto?[/quote]
La serie armonica di esponente 2 è stata usata da gian per il confronto asintotico; insomma per dimostrare che la sua serie diverge. Quindi l'esercizio è terminato
Il confronto asintotico di cui discutiamo è fra $(ln(n))/n^2$ e $1/n$, che nonostante soddisfi il criterio necessario, non converge. In quanto questo criterio è si necessario, ma non sufficiente.
"clever":
Ma l'altro utente ha detto che va bene il confronto asintotico ma non mi da una sicurezza nel dire se è convergente.
Ora perchè non va bene? xD
Inoltre voglio capire:
Le serie armoniche del tipo $1/n^a$ divergono sempre quando $a=1$ dove questo $a$ è l'esponente del mio argomento della serie.
Giusto?
Esatto.
Si può dimostrare facilmente così:
per ogni $x>=k$ avremo $1/x<=1/k$ (perchè più grande è il denominatore, più piccolo sarà il numero)
Quindi:
$\int_k^(k+1) 1/x dx <= \int_k^(k+1) 1/k dx$
In particolare:
$\int_k^(k+1) 1/k = 1/k (k+1-k) = 1/k$
quindi:
$\int_k^(k+1) 1/xdx <= 1/k$
Sarà anche vero che:
$\sum_{k=1}^n \int_k^(k+1) 1/xdx <= \sum_{k=1}^n 1/k$
Ma il primo termine è uguale a:
$\sum_{k=1}^n \int_k^(k+1) 1/xdx = \int_1^(n+1) 1/xdx$
mentre il secondo è proprio la ridotyta n-esima:
$\sum_{k=1}^n 1/k = S_n$
Allora:
$\int_1^(n+1) 1/xdx <= S_n$
Che risolvendo l'integrale e invertendo i termini per vezzo personale
:$S_n >= ln(n+1)$
Poichè $ln(n+1)$ diverge per n che tende ad infinito, ed essendo maggiorato da $S_n$, $S_n$ non può che divergere.
Domanda.
Per verificare dunque che diverge, dovrei fare ogni volta una dimostrazione simile?
Perchè ora me la son scritta sul quaderno, cercando di capire passaggio per passaggio, ma è un pò lunga xD
Grazie delle spiegazioni.
Per verificare dunque che diverge, dovrei fare ogni volta una dimostrazione simile?
Perchè ora me la son scritta sul quaderno, cercando di capire passaggio per passaggio, ma è un pò lunga xD
Grazie delle spiegazioni.
"clever":
Domanda.
Per verificare dunque che diverge, dovrei fare ogni volta una dimostrazione simile?
Perchè ora me la son scritta sul quaderno, cercando di capire passaggio per passaggio, ma è un pò lunga xD
Grazie delle spiegazioni.
Questa è una dimostrazione teorica; si usa nei casi in cui, di solito all'orale, il professore fa finta di non capire il perchè la serie di termine ennesimo $a_n=1/n$ diverge. Anche perchè intuitivamente si potrebbe pensare il contrario.
Conoscerla è utile per non commettere errori insomma
Chiaramente quando risolvi gli esercizi dai per scontato che $1/n^p$ con $p=1$, diverge.
Precisamente, e con dimostrazione diversa, anche che diverge per $p<=1$.
Insomma, in fase di esercizi, queste cose le tieni per assodate; è in fase "di orale" che possono tornarti utili
Scusate...Una domanda che potrebbe risultare sciocca....
Ma la serie [tex]\sum \frac{1}{n+1}[/tex] essendo il termine generale di primo grado, è come [tex]\sum \frac{1}{n}[/tex] ovvero divergente?
No, perchè se è così mi domandavo per la seconda serie ([tex]\sum \frac{n}{n+1}[/tex]) se possiamo confrontarla con [tex]\sum \frac{1}{n+1}[/tex]
Ma la serie [tex]\sum \frac{1}{n+1}[/tex] essendo il termine generale di primo grado, è come [tex]\sum \frac{1}{n}[/tex] ovvero divergente?
No, perchè se è così mi domandavo per la seconda serie ([tex]\sum \frac{n}{n+1}[/tex]) se possiamo confrontarla con [tex]\sum \frac{1}{n+1}[/tex]
Per la tua prima domanda si, può essere trascurato il $+1$ al denominatore e fare la serie armonica generalizzata divergente.
Per la seconda domanda...non saprei
Per la seconda domanda...non saprei
"Orlok":
Scusate...Una domanda che potrebbe risultare sciocca....
Ma la serie [tex]\sum \frac{1}{n+1}[/tex] essendo il termine generale di primo grado, è come [tex]\sum \frac{1}{n}[/tex] ovvero divergente?
No, perchè se è così mi domandavo per la seconda serie ([tex]\sum \frac{n}{n+1}[/tex]) se possiamo confrontarla con [tex]\sum \frac{1}{n+1}[/tex]
Controlla bene quanto fa il limite di $a_n=n/(n+1)$
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