Serie con criterio del confronto
Salve a tutti ,
volevo chiedervi come posso determinare il carattere delle seguenti serie con il teorema del confronto: $ sum_(n = 1)^(+oo )lnn/n^2 $ e di $ sum_(n = 1)^(+oo ) n/(n+1) $
Grazie a tutti
Ciao
volevo chiedervi come posso determinare il carattere delle seguenti serie con il teorema del confronto: $ sum_(n = 1)^(+oo )lnn/n^2 $ e di $ sum_(n = 1)^(+oo ) n/(n+1) $
Grazie a tutti
Ciao
Risposte
Se non sbaglio fa 1. Quindi non verifica la C.N. e l'esercizio è finito, no?
"Orlok":
Se non sbaglio fa 1. Quindi non verifica la C.N. e l'esercizio è finito, no?
Esatto. E' importante verificarlo ogni volta, perchè spesso ti permette di chiudere rapidamente un esercizio
"faximusy":
[quote="Orlok"][quote="faximusy"]
Invece lla serie armonica generalizzata con esponente $2$, usata da gian è convergente, quindi il ragionamento del confronto asintoticco funziona
Non ho capito cosa c'entra la serie armonica con esponente 2 dato che definitivamente [tex]\frac{\ln n}{n^2}>\frac{1}{n^2}[/tex] (ma anche per ogni n). Cioè, in che modo è stato fatto il confronto?[/quote]
La serie armonica di esponente 2 è stata usata da gian per il confronto asintotico; insomma per dimostrare che la sua serie diverge. Quindi l'esercizio è terminato
[/quote]
Effettivamente l'esercizio non è finito; il confronto asintotico non arriva ad una conclusione.
Ora ci lavoro
La serie $ln(n)/n^2$ è maggiorata dalla serie geometrica con $x=0.999$, che converge. Quindi converge.
Anche applicando il criterio integrale (essendo la serie monotona decrescente per gioni $x>2$, anche se in realtà non lo è partendo da 1 quindi non so se è ammissibile usare questo metodo), mi viene convergente.
Avendo preso una cantonata prima col confronto asintotico, vi invito a prendere queste considerazioni con le molle Magari in attesa di qualcuno che ci illumini meglio, o ci confermi la strada intrapresa
Anche applicando il criterio integrale (essendo la serie monotona decrescente per gioni $x>2$, anche se in realtà non lo è partendo da 1 quindi non so se è ammissibile usare questo metodo), mi viene convergente.
Avendo preso una cantonata prima col confronto asintotico, vi invito a prendere queste considerazioni con le molle
Magari in attesa di qualcuno che ci illumini meglio, o ci confermi la strada intrapresa
Allora io ho fatto così, ma ci vorrebbe qualcuno che mi dicesse se è giusto o meno:
Dunque, esaminando il termine generale della serie [tex]\frac{\log n}{n^2}[/tex] credo che sia una successione che va a zero con monotonia, ergo applico il criterio di condensazione di Cauchy e costruisco la serie:
[tex]\sum 2^{n} \frac{2^n \log {2^n}}{(2^{n})^2}=\sum \frac{n\log 2}{2^n}=\log 2\sum \frac{n}{2^n}[/tex]
A questo punto applico il criterio della radice ennesima alla serie [tex]\sum \frac{n}{2^n}[/tex]
[tex]\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}}=\frac{n^{\frac{1}{n}}}{2} \to \frac{1}{2}<1[/tex]
La serie è dunque convergente.
Ripeto: qualcuno dovrebbe confermarmi che [tex]\frac{\log n}{n^2}[/tex] è una successione che va a zero con monotonia.
Dunque, esaminando il termine generale della serie [tex]\frac{\log n}{n^2}[/tex] credo che sia una successione che va a zero con monotonia, ergo applico il criterio di condensazione di Cauchy e costruisco la serie:
[tex]\sum 2^{n} \frac{2^n \log {2^n}}{(2^{n})^2}=\sum \frac{n\log 2}{2^n}=\log 2\sum \frac{n}{2^n}[/tex]
A questo punto applico il criterio della radice ennesima alla serie [tex]\sum \frac{n}{2^n}[/tex]
[tex]\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}}=\frac{n^{\frac{1}{n}}}{2} \to \frac{1}{2}<1[/tex]
La serie è dunque convergente.
Ripeto: qualcuno dovrebbe confermarmi che [tex]\frac{\log n}{n^2}[/tex] è una successione che va a zero con monotonia.
Puoi farla anche più breve: basta osservare che, detto $a_n = \frac{\log n}{n^2}$ il termine generale della serie, e posto
$b_n = \frac{1}{n^{3/2}}$, si ha che $\sum a_n$ e $\sum b_n$ sono serie a termini positivi e $\lim_n \frac{a_n}{b_n} = 0$.
Poiché $\sum b_n$ è convergente, anche $\sum a_n$ è convergente.
$b_n = \frac{1}{n^{3/2}}$, si ha che $\sum a_n$ e $\sum b_n$ sono serie a termini positivi e $\lim_n \frac{a_n}{b_n} = 0$.
Poiché $\sum b_n$ è convergente, anche $\sum a_n$ è convergente.
"Rigel":
Puoi farla anche più breve: basta osservare che, detto $a_n = \frac{\log n}{n^2}$ il termine generale della serie, e posto
$b_n = \frac{1}{n^{3/2}}$, si ha che $\sum a_n$ e $\sum b_n$ sono serie a termini positivi e $\lim_n \frac{a_n}{b_n} = 0$.
Poiché $\sum b_n$ è convergente, anche $\sum a_n$ è convergente.
Ecco qual era il valore di $p$ nell'armonica che ieri non ho ricordato di provare!
Mi scuso con Orlok.
@Orlok: E' monotona decrescente a partire più o meno da $n=2$, però penso vada bene lo stesso. L'importante è che lo sia per $n$ grande, infatti ti trovi con i calcoli
Quindi il mio ragionamento seppur lunghetto è giusto, dico bene? :O
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo