Serie

[Dodò9012]

scusate......ma stasera sono stressante!.....
ho una serie a segno alterno che va da n=1 a +inf
an=pigreco/2-arctan n
quando devo verificare il secondo punto del criterio di leibnitz
ovvero quello che la funzione sia non crescente
posso farlo facendo la derivata prima e guardando il segno di quest'ultima???

[klarence1]

Per studiarla torna utile la formula : per $n>0$ vale $pi/2=arctan(1/n)+arctan(n)$

quindi sostituendo a $pi/2$ la quantità $arctan(1/n)+arctan(n)$ la serie diventa $sum arctan(1/n)$ che è divergente (confronto asintotico con $1/n$).

[Darèios89]

Non ci sono.....perchè quella formula?
Mai sentita....non la capisco....[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] per me è il limite.....non capisco cosa vuol dire, perchè quella "roba" è uguale a pi mezzi?

[klarence1]

"Darèios89":Non ci sono.....perchè quella formula?
Mai sentita....non la capisco....[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] per me è il limite.....non capisco cosa vuol dire, perchè quella "roba" è uguale a pi mezzi?

E' un'uguaglianza che ricavi usando alcune formule trigonometriche.
Diciamo che prendendola per buona (la dimostrazione ora non ci serve per risolvere l'esercizio) ti risparmia un po' di conti.

[Darèios89]

Vabbè....allora ero disarmato...ma non le conosco ste formule, domani cerco qualche formulario in più, fa sempre bene.


P.S....perchè ho fatto il classico???

[klarence1]

"Darèios89":Vabbè....allora ero disarmato...ma non le conosco ste formule, domani cerco qualche formulario in più, fa sempre bene.


P.S....perchè ho fatto il classico???

Detto da uno che ha fatto lo scientifico... è meglio NON aver fatto scientifico o Itis per studiare matematica. Sempre secondo la mia opinione eh.

[Darèios89]

Perchè?
Io che ho fatto il classico sono dovuto andare a rivedere esponenziali e logaritmi eccetera, mentre allo scientifico vanno molto più avanti, ora mi sono messo più o meno al passo, anche se la mia mentalità matematica è sempre con delle lacune.....

P.S....la formula l'ho trovato in un formulario che avevo scaricato.

MA come si fa a ricordarsi per l'esame tutta quella roba, si rischia di non passare per una cosa come quella...e al solo pensiero delle formule di prostaferesi....


Buona notte e grazie di tutto..

[Darèios89]

Ultima cosa...il tuo confronto era:

[tex]arctang\frac{1}{n}<\frac{1}{n}[/tex]

Perchè possiamo dire che è minore?
Io non ci leggo numeri da confrontare...

Buona notte..

[klarence1]

"Darèios89":Ultima cosa...il tuo confronto era:

[tex]arctang\frac{1}{n}<\frac{1}{n}[/tex]

Perchè possiamo dire che è minore?
Io non ci leggo numeri da confrontare...

Buona notte..

Quell'uguaglianza non è vera, occhio.
Con criterio del confronto asintotico si ottiene che il limite (rispetto a n) del rapporto fra $arctan(1/n)$ e $(1/n)$ è uguale a uno.

[klarence1]

"Darèios89":Perchè?
Io che ho fatto il classico sono dovuto andare a rivedere esponenziali e logaritmi eccetera, mentre allo scientifico vanno molto più avanti, ora mi sono messo più o meno al passo, anche se la mia mentalità matematica è sempre con delle lacune.....

P.S....la formula l'ho trovato in un formulario che avevo scaricato.

MA come si fa a ricordarsi per l'esame tutta quella roba, si rischia di non passare per una cosa come quella...e al solo pensiero delle formule di prostaferesi....


Buona notte e grazie di tutto..

Se devi fare ingegneria o altre facoltà dove hai esami di matematica a livello 'basso' (dove ci son più che altro procedimenti da imparare in modo abbastanza meccanico e pochi ragionamenti) effettivamente è comodo fare lo scientifico. Ma se vai a studiare matematica a mio parere diventa 'scomodo' il liceo scientifico perchè spesso si portano dietro delle 'convinzioni matematiche' sbagliate che non sempre son facili da rimuovere.

[Darèios89]

Cioè è vero il contrario scusami:

[tex]arctang\frac{1}{n}>\frac{1}{n}[/tex] ?

Criterio del confronto e quindi diverge?
Sennò non ho capito come....sucsa se insisto, e nemmeno come fare a stabilire quel confronto.

[klarence1]

"Darèios89":Cioè è vero il contrario scusami:

[tex]arctang\frac{1}{n}>\frac{1}{n}[/tex] ?

Criterio del confronto e quindi diverge?
Sennò non ho capito come....sucsa se insisto, e nemmeno come fare a stabilire quel confronto.

Anche quella disuguaglianza è vera, però può essere un po' più laborioso dimostrarla (ma neanche tanto). Se applici il criterio del confronto asintotico (lo conosci?) e confronti il termine generale della nostra serie con $1/n$ la cosa diventa immediata.

[Darèios89]

Mh....per le serie so il criterio del confronto:

an
se bn converge allora converge anche an, mentre se an converge anche bn converge.

Non so altro....uff....mi spiegate rapidamente qual'èil modo migliore per risolvere?

[regim]

Comunque a me quell'uno come estremo inferiore d'integrazione e una funzione strettamente decrescente e sempre positiva per $x>=0$ mi ispira il criterio integrale.
Questa è la primitiva della funzione che si ottiene sostituendo $n$ della successione dei termini della serie con $x$:

$pi/2*x -x*atan(x) + ln(1+x^2)/2$

$lim_(x->+oo) [pi/2*x -x*atan(x) + ln(1+x^2)/2] =$ [edit] $+oo$

[edit] scusate ma il limite non era corretto

[klarence1]

"Darèios89":Mh....per le serie so il criterio del confronto:

an
se bn converge allora converge anche an, mentre se an converge anche bn converge.

Non so altro....uff....mi spiegate rapidamente qual'èil modo migliore per risolvere?

Vedi qui http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di ... asintotico

[Darèios89]

Se era complicato prima...............

[Darèios89]

Ah ok......si cosìquadra, però non ricordo se abbiamo fatto quel criterio......ad ogni modo, mi va bene adesso....grazie mille e buona notte a tutti..

[regim]

Non converge, il limite era $+oo$ avevo erroneamente posto un $x$ sotto il logaritmo e mi veniva $1$.
Il criterio integrale ti dice che se converge l'integrale improprio con estremi d'integrazione inferiore $1$ e superiore $+oo$ della funzione desunta da quella dei termini della serie sostituente a $n$, $x$. Allora converge la serie e viceversa, se converge la serie converge l'integrale, ma qui l'integrale non converge quindi nemmeno la serie.
Comunqe con un cirterio del confronto asontitico con la serie armonica andava bene lo stesso.

$a_n = pi/2 - atan(n)$

$lim_(n->oo) a_n/(1/n)=1$ ergo diverge.

PS
Scusate ho proposto il citerio integrale di cui nessuno sentiva la mancanza tranne io,:smt021 e non ve n'era assolutamente bisogno,
va bene il criterio del confronto asintotico.

[klarence1]

"regim":Non converge, il limite era $+oo$ avevo erroneamente posto un $x$ sotto il logaritmo e mi veniva $1$.
Il criterio integrale ti dice che se converge l'integrale improprio con estremi d'integrazione inferiore $1$ e superiore $+oo$ della funzione desunta da quella dei termini della serie sostituente a $n$, $x$. Allora converge la serie e viceversa, se converge la serie converge l'integrale, ma qui l'integrale non converge quindi nemmeno la serie.
Comunqe con un cirterio del confronto asontitico con la serie armonica andava bene lo stesso.

$a_n = pi/2 - atan(n)$

$lim_(n->oo) a_n/(1/n)=1$ ergo diverge.

PS
Scusate ho proposto il citerio integrale di cui nessuno sentiva la mancanza tranne io, e non ve n'era assolutamente bisogno,
va bene il criterio del confronto asintotico.

Una domanda: vale quindi che se la serie diverge allora l'integrale della funzione desunta (come lo hai descritto tu) diverge?

Edit: mi rispondo da solo... si.

[regim]

Diverge, perchè il limite di cui sopra vale $1$.

$lim_(x->oo) x*(pi/2 - atan(x)) = lim_(x->oo) (pi/2 -atan(x))/(1/x) = lim_(x->oo) (-1/(1+x^2))/(-1/x^2) = lim_(x->oo) x^2/(1+x^2) =1$

Lo stesso vale quindi per ogni successione di valori della funzione calcolata sui punti di una qualunque successione che tende a $+oo$ in particolare quella per cui $x=n$ $n$ numero naturale.
Ergo la successione tende a $1$

Quindi poichè tende a $1$

$1-epsilon <(a_n /(1/n))$ definitivamente $epsilon < 1$ quindi $(1-epsilon)*(1/n)

Cita

Segnala

[gugo82]

"klarence":[quote="Darèios89"]Cioè è vero il contrario scusami:

[tex]arctang\frac{1}{n}>\frac{1}{n}[/tex] ?

[...]

Anche quella disuguaglianza è vera [...][/quote]
Ma anche no.

La disuguaglianza giusta è [tex]$\arctan x\leq x$[/tex] per [tex]$x\geq 0$[/tex], quindi [tex]$\arctan \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}$[/tex] per [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex].
Il viceversa non può esser valido.