Risoluzione limite con valore assoluto

[mazzy89-votailprof]

Dovrei risolvere questo limite:

$lim_(x to 0^+) e^(x(log|x|-|log|x||))$

Parto dalla risoluzione dell' esponente di $e$:

$lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||)$

E' corretto scrivere il limite:

$lim_(x to 0^+) x/(1/(log|x|(1-|1|))=0$

il limite $lim_(x to 0^+) e^(x(log|x|-|log|x||))$ sara quindi uguale ad $1$. Corretto o c'è qualche errore?

[Aliseo1]

Quando metti in evidenza il $log|x|$ non è corretto! Ti consiglio di studiare il valore assoluto e solo dopo puoi applicare l'Hopital ok? Il risultato comunque è $1$

[mazzy89-votailprof]

"Aliseo":Quando metti in evidenza il $log|x|$ non è corretto! Ti consiglio di studiare il valore assoluto e solo dopo puoi applicare l'Hopital ok? Il risultato comunque è $1$

Scusa cosa intendi per studiare il valore assoluto?

[Aliseo1]

devi studiare i valori assoluti, per esempio

$ |x|={(x, if x>0), (-x, if x<=0) :} $, $ |log|x||={(log|x|, if log|x|>0), (-log|x|, if log|x|<=0) :} $ e così via.

Una volta che li hai analizzati tutti, devi combinare naturalmente le funzioni che ti interessano per il limite ok?

[mazzy89-votailprof]

"Aliseo":devi studiare i valori assoluti, per esempio

$ |x|={(x, if x>0), (-x, if x<=0) :} $, $ |log|x||={(log|x|, if log|x|>0), (-log|x|, if log|x|<=0) :} $ e così via.

Una volta che li hai analizzati tutti, devi combinare naturalmente le funzioni che ti interessano per il limite ok?

Quindi diciamo che se non ho capito male devo fare ogni limite per ogni caso?
Quindi un limite nel caso: $|x|>0$ $vv$ $log|x|>0$
un altro nel caso $|x|>0$ $vv$ $log|x|<0$
un altro nel caso $|x|<0$ $vv$ $log|x|>0$
ed un altro nel caso $|x|<0$ $vv$ $log|x|<0$

giusto?

[K.Lomax]

Rigorosamente dovresti procedere come ti è stato suggerito. Forse, però, dato che non vuoi l'intero studio della funzione ma solo il calcolo del limite, potresti semplificare come segue. Innanzitutto noti che $log|x|$ è negativa nell'intervallo $-10$. Inoltre x tende a zero dalla destra e quindi puoi eliminare anche il modulo più interno $|x|$. A questo punto ottieni:

$lim_(x->0^+)e^(2xlogx)$

e quindi 1.

[mazzy89-votailprof]

"K.Lomax":Rigorosamente dovresti procedere come ti è stato suggerito. Forse, però, dato che non vuoi l'intero studio della funzione ma solo il calcolo del limite, potresti semplificare come segue. Innanzitutto noti che $log|x|$ è negativa nell'intervallo $-10$. Inoltre x tende a zero dalla destra e quindi puoi eliminare anche il modulo più interno $|x|$. A questo punto ottieni:

$lim_(x->0^+)e^(2xlogx)$

e quindi 1.

Be per dirla tutta il limite fa parte di uno studio completo di una funzione ovvero $f(x)=e^(x(log|x|-|log|x||))$ però il tuo ragionamento mi piace molto. L'unica cosa che non mi torna è che se il limite $lim_(x to 0^+) logx=-oo$ allora perchè si elimina il modulo per farlo diventare $x$ e non $-x$?

[K.Lomax]

Se $x->0^+$ allora essa è positiva e quindi $|x|=x$. Il fatto che $logx$ tenda a $-\infty$ non crea problemi in quanto è la funzione a tendere a quel valore e non l'argomento.

[mazzy89-votailprof]

"K.Lomax":Se $x->0^+$ allora essa è positiva e quindi $|x|=x$. Il fatto che $logx$ tenda a $-\infty$ non crea problemi in quanto è la funzione a tendere a quel valore e non l'argomento.

Esatto.Io consideravo tutta la funzione $logx$ e non l'argomento $x$.

[Marco512]

Nel limite dell'esponente

$lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||)$

puoi tranquillamente considerare $0
$lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||)=lim_(x to 0^+) x(logx - logx) = 0$

[mazzy89-votailprof]

"Marco512":Nel limite dell'esponente

$lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||)$

puoi tranquillamente considerare $0
$lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||)=lim_(x to 0^+) x(logx - logx) = 0$

Il post di K.Lomax recita diversamente. la funzione che devi considerare è $log|x|$ e non $logx$ dato che essa è contenuto nel valore assoluto $|log|x||$.Essa quindi risulta negativa per valori compresi tra $-1

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[Marco512]

mazzy89:[quote=Marco512]Nel limite dell'esponente

$lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||)$

puoi tranquillamente considerare $0
$lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||)=lim_(x to 0^+) x(logx - logx) = 0$

Il post di K.Lomax recita diversamente. la funzione che devi considerare è $log|x|$ e non $logx$ dato che essa è contenuto nel valore assoluto $|log|x||$.Essa quindi risulta negativa per valori compresi tra $-1
..Svista! risulta $lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||) ~~ lim_(x to 0^+) x(logx + logx) = lim_(x to 0^+) 2xlogx= 0$, come avevate scritto voi. Però dato che la x tende a zero da destra, puoi considerare la funzione in $0

Cita

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[Aliseo1]

Vedo che hanno risposto già per conto mio! L'unica cosa che voglio dirti mazzy89 è che quando effettui il limite di un valore assoluto, devi considerare quale sia l'intervallo che più si addice al limite: in altre parole è come se considerassi l'intersezione dei "sotto-domini" che più si addicono allo studio del limite ok?

Cioè, hai la funzione $ |log|x||={(log|x|, if log|x|>0), (-log|x|, if log|x|<=0) :} $, cioè $ |log|x||={(log|x|, if |x|>1), (-log|x|, if |x|<=1) :} $, ossia $ |log|x||={(log|x|, if x in A), (-log|x|, if x in B) :} $,

dove $A=(-\infty, -1) uu (1,+\infty)$ e $B=[-1,1]$. Questo significa che se il limite fosse stato per $ x \to 1^{+} $ avresti considerato la funzione $ log|x| $ giusto? ma poiché il limite tende per $ x \to 0^{+} $ allora consideri la funzione $ -log|x| $ ok?

Ma il "gioco" non finisce qui, perché di quest'ultima funzione devi ancora studiare il valore assoluto. Infatti hai che $ -log|x|={(-log(x), if x >0) , (-log(-x), if x <=0) :} $. Anche in questo caso, poiché il il limite tende per $ x \to 0^{+} $ consideri $ -log(x) $ ok?

Alla fine cosa hai

$ \lim_{x \to 0^{+}}e^(x(log|x|-|log|x||))=\lim_{x to 0^{+}}e^(x(log(x)-(-log(x))))=\lim_{x to 0^{+}}e^(2xlogx) $ ed è ora qui che applichi l'Hopital ok?

Spero di essermi spiegato bene!!


P.S. considera lo stesso limite, ma per $ x \to -1^{-} $. Come opereresti?

[mazzy89-votailprof]

"Aliseo":Vedo che hanno risposto già per conto mio! L'unica cosa che voglio dirti mazzy89 è che quando effettui il limite di un valore assoluto, devi considerare quale sia l'intervallo che più si addice al limite: in altre parole è come se considerassi l'intersezione dei "sotto-domini" che più si addicono allo studio del limite ok?

Cioè, hai la funzione $ |log|x||={(log|x|, if log|x|>0), (-log|x|, if log|x|<=0) :} $, cioè $ |log|x||={(log|x|, if |x|>1), (-log|x|, if |x|<=1) :} $, ossia $ |log|x||={(log|x|, if x in A), (-log|x|, if x in B) :} $,

dove $A=(-\infty, -1) uu (1,+\infty)$ e $B=[-1,1]$. Questo significa che se il limite fosse stato per $ x \to 1^{+} $ avresti considerato la funzione $ log|x| $ giusto? ma poiché il limite tende per $ x \to 0^{+} $ allora consideri la funzione $ -log|x| $ ok?

Ma il "gioco" non finisce qui, perché di quest'ultima funzione devi ancora studiare il valore assoluto. Infatti hai che $ -log|x|={(-log(x), if x >0) , (-log(-x), if x <=0) :} $. Anche in questo caso, poiché il il limite tende per $ x \to 0^{+} $ consideri $ -log(x) $ ok?

Alla fine cosa hai

$ \lim_{x \to 0^{+}}e^(x(log|x|-|log|x||))=\lim_{x to 0^{+}}e^(x(log(x)-(-log(x))))=\lim_{x to 0^{+}}e^(2xlogx) $ ed è ora qui che applichi l'Hopital ok?

Spero di essermi spiegato bene!!


P.S. considera lo stesso limite, ma per $ x \to -1^{-} $. Come opereresti?

Be Aliseo sei stato no chiaro no chiarissimo ma limpido come acqua di fonte.Ora è tutto chiaro.E il tuo ragionamento mi apre la strada in molti altri esercizi.
Nel caso che il limite fosse stato per $x to -1^{-}$ allora avrei considerato $log|x|$. Studiando il valore assoluto di $log|x|$ avrei scelto $log(-x)$.Così il limite sarebbe stato:

$lim_(x to -1^-) e^(x(log(-x)-(log(-x))))=1$

[Aliseo1]

ok!

[Marco512]

Aliseo:
Alla fine cosa hai

$ \lim_{x \to 0^{+}}e^(x(log|x|-|log|x||))=\lim_{x to 0^{+}}e^(x(log(x)-(-log(x))))=\lim_{x to 0^{+}}e^(2xlogx) $ ed è ora qui che applichi l'Hopital ok?

Non vedo perchè devi utilizzare l'Hospital visto che $\lim_{x to 0^{+}} 2xlogx $ si può risolvere per sostituzione.

[K.Lomax]

Forse intende una sostituzione del tipo $x=1/y$, ottenendo

$lim_(x->0^+)2xlogx=-2lim_(y->+\infty)logy/y$

e per confronto tra infiniti il risultato. Comunque, con Hopital sarebbe stato ugualmente facile

[salvozungri]

"K.Lomax":Forse intende una sostituzione del tipo $x=1/y$, ottenendo

$lim_(x->0^+)2xlogx=-2lim_(y->+\infty)logy/y$

e per confronto tra infiniti il risultato. Comunque, con Hopital sarebbe stato ugualmente facile

Preferisco ricordarmi il limite notevole:
$lim_{x->0^+} x^\alpha log(x)=0$ per ogni $\alpha>0$

Edit: cancellato frase inutile

[Marco512]

K.Lomax:Forse intende una sostituzione del tipo $x=1/y$, ottenendo

$lim_(x->0^+)2xlogx= 2lim_(y->+\infty)logy/y$

e per confronto tra infiniti il risultato. Comunque, con Hopital sarebbe stato ugualmente facile :-)

Si, intendevo proprio quello. Per sostituzione eviti di tirare in ballo le derivate, che non sempre sono immediate.

[Aliseo1]

Ho menzionato l'Hopital, in quanto $ 2lim_{x \to 0^{+}} xlog(x)=0*(-\infty) $, però si può sfruttare anche il limite notevole $ \lim_{x \to 0^{+}} x^{a}log(x)=0^{-} $, dove nel nostro caso $ a=1>0 $ ... come si dice "tutte le strade portano a Roma"

[Aliseo1]

Per esempio, mazzy89 come risolveresti questo limite?

$ \lim_{x \to 0^{+}}(\sqrt(1-ln|x+1|)-|x^2-1|)/(|1-|1-x||) $