Risoluzione limite con valore assoluto

[mazzy89-votailprof]

Dovrei risolvere questo limite:

$lim_(x to 0^+) e^(x(log|x|-|log|x||))$

Parto dalla risoluzione dell' esponente di $e$:

$lim_(x to 0^+) x(log|x|-|log|x||)$

E' corretto scrivere il limite:

$lim_(x to 0^+) x/(1/(log|x|(1-|1|))=0$

il limite $lim_(x to 0^+) e^(x(log|x|-|log|x||))$ sara quindi uguale ad $1$. Corretto o c'è qualche errore?

[mazzy89-votailprof]

"Aliseo":Per esempio, mazzy89 come risolveresti questo limite?

$ \lim_{x \to 0^{+}}(\sqrt(1-ln|x+1|)-|x^2-1|)/(|1-|1-x||) $

Dunque Aliseo intanto grazie per avermi posto questo interessante quesito.Detto questo incominciamo:

il limite da te proposto diventa:

$lim_{x \to 0^{+}}(\sqrt(1-ln(x+1))+x^2+1)/(x)$

perchè:

$|x+1|={(x+1,if x>-1),(-x-1,if x<-1):}$ Qui prendiamo in considerazione il caso $x+1$

$|x^2+1|={(x^2-1,if x<-1 \vv\ x>1),(-x^2+1,if -1
$|1-|1-x|={(1-|1-x|,if 02):}$ Qui prendiamo in considerazione il caso $1-|1-x|$

$|1-x|={(1-x,if x<1),(-1+x,if x>1):}$ Qui prendiamo in considerazione il caso $1-x$

Mettendo a sistema i risultati trovati trovo che $x in (0,1)$. Se non sbaglio anche $1$ compreso esatto?

In tal modo il limite proposto diventa come ho scritto. Applicando successivamente De Hospital giungo alla conclusione che il limte risulta $-1/2$

[Marco512]

Sergio:[quote=Aliseo]Per esempio, mazzy89 come risolveresti questo limite?

$ \lim_{x \to 0^{+}}(\sqrt(1-ln|x+1|)-|x^2-1|)/(|1-|1-x||) $

Ho l'esame a settembre! Vorrei provare anch'io ;-) mazzi89 non guardare!!!
[/quote]

A occhio hai fatto un errore dal secondo al terzo passaggio: $(sqrt(1-ln(1+x))-(1-x^2))(sqrt(1-ln(1+x))+(1-x^2))=$
$[(1-ln(1+x))^(1/2)]^2-(1-x^2)^2 = 1-ln(1+x) -1 -x^4 +2x^2 = -x^4 +2x^2 -ln(1+x)$

[Aliseo1]

Allora, procediamo con ordine. Riguardo:

1) $ ln|x+1|={(ln(x+1), if x >(-1)), (ln(-x-1), if x <= -1) :} $

2) $ |1-|1-x||={(1-|1-x|, if 0=1) :} $. Allora il limite diventa

$ \lim_{x \to o^{+}}(\sqrt(1-ln(x+1))-1+x^2)/x $. Ora applica i limiti notevoli, tipo $ \lim_{x \to 0}(ln(x+1))/x=1 $, $ \lim_{x \to 0}((1+x)^{a}-1)/x=a $, con $ a in RR-{0} $ ok? Alla fine nessun Hopital o altri passaggi




L'ho costruito apposta questo limite, perché si deve ragionare sia sui moduli, che sui limiti notevoli