[RISOLTO]Punti critici funzione in 3 variabili
Devo trovare ed identificare i punti critici della seguente funzione:
$x^2+y^2+yz+z^3$
${(2x=0 ),(2y+z=0),(y+3z^2=0):}$
Si trovano due punti critici $P_1=(0,0,0)$ e $P_2=(0,\frac(1)(12),-\frac(1)(6))$
Costruisco l'hessiana:
$H_f=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$
Adesso però non saprei proseguire... Calcolo ad esempio il determinante dell'hessiana in $P_1$ ed ottengo un valore $<0$... E' quindi un punto di sella??? Lo calcolo pure nel punto $P_2$ ma ottengo un punto di sella invece dovrebbe essere un minimo locale... Sto sbagliando qualcosa, ma non ho trovato un riquadro semplice da capire tipo le funzioni in due variabili, dove si considera il $f_{x*x}$(è la derivata seconda di x, ma non lo riesco a scrivere) per capire che punto è...
$x^2+y^2+yz+z^3$
${(2x=0 ),(2y+z=0),(y+3z^2=0):}$
Si trovano due punti critici $P_1=(0,0,0)$ e $P_2=(0,\frac(1)(12),-\frac(1)(6))$
Costruisco l'hessiana:
$H_f=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$
Adesso però non saprei proseguire... Calcolo ad esempio il determinante dell'hessiana in $P_1$ ed ottengo un valore $<0$... E' quindi un punto di sella??? Lo calcolo pure nel punto $P_2$ ma ottengo un punto di sella invece dovrebbe essere un minimo locale... Sto sbagliando qualcosa, ma non ho trovato un riquadro semplice da capire tipo le funzioni in due variabili, dove si considera il $f_{x*x}$(è la derivata seconda di x, ma non lo riesco a scrivere) per capire che punto è...
Risposte
Questo $-1$ a volte si presenta a volte no... Però se andiamo un attimo dalla concorrenza di questo $-1$ non se ne parla... Infatti loro scrivono solo di calcolare i determinanti di tutti i minori, chiamando minore anche la matrice stessa completa... Fatto questo, si guardano i segni... Se sono discordi si ottiene una matrice indefinita quindi un punto di sella... Io ottengo sempre e solo indefinite... Esempio:
$H= ((-2,-2,0),(-2,6y-4,2),(0,2,-2))$
Calcolo i determinati dei minori principali nel punto $P=(1,-1,-1)$ che so essere punto critico:
$A_1=-2$ $A_2=20-4=16$ $A_3=H=-24$
Vedo il cambio di segno, deduco che è indefinita quindi punto di sella... Ma deve essere di massimo locale... Eppure seguo correttamente il metodo linkato... Io non so più come fare
$H= ((-2,-2,0),(-2,6y-4,2),(0,2,-2))$
Calcolo i determinati dei minori principali nel punto $P=(1,-1,-1)$ che so essere punto critico:
$A_1=-2$ $A_2=20-4=16$ $A_3=H=-24$
Vedo il cambio di segno, deduco che è indefinita quindi punto di sella... Ma deve essere di massimo locale... Eppure seguo correttamente il metodo linkato... Io non so più come fare
Bene.
Siccome i tre minori di quest'ultimo esempio soddisfano le condizioni
$|A_1|<0$
$|A_2|>0$
$|A_3|<0$
equivalenti alla condizione $(-1)^i*|A_i|>0, i=1,2,3$, allora la matrice $H(P)$ è definita negativa, il che conferma che il punto $P$ è di massimo.
L'indefinitezza della matrice la si ha avendo minori con determinanti di segni differenti, ma che non si alternano nel senso specificato nei post precedenti.
Saluti.
Siccome i tre minori di quest'ultimo esempio soddisfano le condizioni
$|A_1|<0$
$|A_2|>0$
$|A_3|<0$
equivalenti alla condizione $(-1)^i*|A_i|>0, i=1,2,3$, allora la matrice $H(P)$ è definita negativa, il che conferma che il punto $P$ è di massimo.
L'indefinitezza della matrice la si ha avendo minori con determinanti di segni differenti, ma che non si alternano nel senso specificato nei post precedenti.
Saluti.
Adesso si che ho capito... Mi hai aperto un mondo... Quando rispettano quella condizione è definita negativa... Non avevo capito questo...
Grazie del tempo impiegato con questo problema, ora ho capito e si può chiudere
Grazie del tempo impiegato con questo problema, ora ho capito e si può chiudere
Lieto di essere stato utile.
Saluti.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo