Riscrivere funzione in coordinate polari: che significa?
Salve, che vuol dire riscrivere una funzione in coordinate polari?
Grazie!
Grazie!
Risposte
Siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) non vuoto ed \(u:\Omega \to \mathbb{R}\).
Supponiamo che \(\Omega = \Phi (\widetilde{\Omega})\), ove \(\widetilde{\Omega}\subseteq [0,\infty[\times \mathbb{R}\) è non vuoto e:
\[
\Phi :[0,\infty[\times \mathbb{R} \ni (r,\theta)\mapsto (r\ \cos \theta, r\ \sin \theta) \in \mathbb{R}^2
\]
è il passaggio di coordinate cartesiane a polari (si noti che la mappa \(\Phi\) è suriettiva ma non iniettiva).
Esiste un'unica funzione \(\tilde{u} :\widetilde{\Omega} \to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\forall (r, \theta) \in \widetilde{\Omega},\quad \tilde{u} (r,\theta) = u(\Phi (r,\theta)) = u(r\ \cos \theta, r\ \sin \theta)\; ;
\]
la funzione \(\tilde{u}\) è anche chiamata espressione di \(u\) in coordinate polari.
Supponiamo che \(\Omega = \Phi (\widetilde{\Omega})\), ove \(\widetilde{\Omega}\subseteq [0,\infty[\times \mathbb{R}\) è non vuoto e:
\[
\Phi :[0,\infty[\times \mathbb{R} \ni (r,\theta)\mapsto (r\ \cos \theta, r\ \sin \theta) \in \mathbb{R}^2
\]
è il passaggio di coordinate cartesiane a polari (si noti che la mappa \(\Phi\) è suriettiva ma non iniettiva).
Esiste un'unica funzione \(\tilde{u} :\widetilde{\Omega} \to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\forall (r, \theta) \in \widetilde{\Omega},\quad \tilde{u} (r,\theta) = u(\Phi (r,\theta)) = u(r\ \cos \theta, r\ \sin \theta)\; ;
\]
la funzione \(\tilde{u}\) è anche chiamata espressione di \(u\) in coordinate polari.
"gugo82":
Siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) non vuoto ed \(u:\Omega \to \mathbb{R}\).
Supponiamo che \(\Omega = \Phi (\widetilde{\Omega})\), ove \(\widetilde{\Omega}\subseteq [0,\infty[\times \mathbb{R}\) è non vuoto e:
\[
\Phi :[0,\infty[\times \mathbb{R} \ni (r,\theta)\mapsto (r\ \cos \theta, r\ \sin \theta) \in \mathbb{R}^2
\]
è il passaggio di coordinate cartesiane a polari (si noti che la mappa \(\Phi\) è suriettiva ma non iniettiva).
Esiste un'unica funzione \(\tilde{u} :\widetilde{\Omega} \to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\forall (r, \theta) \in \widetilde{\Omega},\quad \tilde{u} (r,\theta) = u(\Phi (r,\theta)) = u(r\ \cos \theta, r\ \sin \theta)\; ;
\]
la funzione \(\tilde{u}\) è anche chiamata espressione di \(u\) in coordinate polari.
Beh, vista la precarietà del concetto di funzione nella mia testa in questo momento forse è meglio rimandare la lettura della tua risposta.
Allora avevo ragione sul fatto che voi matematici fate abuso di funzioni!
In realtà questa è una domanda che mi posi anche io tempo fa:
operatori-differenziali-e-cambiamenti-di-coordinate-t40856.html
La definizione precisa del concetto è quella che dice Gugo, ed è un concetto standard della geometria differenziale, che si occupa di condurre delle analisi a livello globale e indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate. Naturalmente si fa ampio uso del concetto di funzione, centrale nella matematica moderna, e contro cui tu ti sei assurdamente schierato.
operatori-differenziali-e-cambiamenti-di-coordinate-t40856.html
La definizione precisa del concetto è quella che dice Gugo, ed è un concetto standard della geometria differenziale, che si occupa di condurre delle analisi a livello globale e indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate. Naturalmente si fa ampio uso del concetto di funzione, centrale nella matematica moderna, e contro cui tu ti sei assurdamente schierato.
"dissonance":
In realtà questa è una domanda che mi posi anche io tempo fa:
operatori-differenziali-e-cambiamenti-di-coordinate-t40856.html
Ah bene, meno male, allora non sono un povero pazzo isterico.
"dissonance":
Naturalmente si fa ampio uso del concetto di funzione, centrale nella matematica moderna, e contro cui tu ti sei assurdamente schierato.
Dissonance, la mia ottica è questa: non sono io che devo piegarmi verso un concetto, ma è il concetto a doversi piegare a me. Quindi se andando avanti il concetto di funzione farà il "bravo" e non mi tormenterà più, non potrò che esserne felice; ma se ciò non accadrà, pazienza, non sarà una grande perdita e ne farò a meno.
[OT]
Dissonance, la mia ottica è questa: non sono io che devo piegarmi verso un concetto, ma è il concetto a doversi piegare a me. Quindi se andando avanti il concetto di funzione farà il "bravo" e non mi tormenterà più, non potrò che esserne felice; ma se ciò non accadrà, pazienza, non sarà una grande perdita e ne farò a meno.[/quote]
Ottica inutile, giacché non ti consente di imparare nulla (anche perché i concetti non si possono "piegare", non avendo un apparato muscolo-scheletrico adatto
).
Il più delle volte, è l'apertura mentale dello studente che consente di non avere problemi con i concetti della Matematica.
[/OT]
"lisdap":
[quote="dissonance"]
Naturalmente si fa ampio uso del concetto di funzione, centrale nella matematica moderna, e contro cui tu ti sei assurdamente schierato.
Dissonance, la mia ottica è questa: non sono io che devo piegarmi verso un concetto, ma è il concetto a doversi piegare a me. Quindi se andando avanti il concetto di funzione farà il "bravo" e non mi tormenterà più, non potrò che esserne felice; ma se ciò non accadrà, pazienza, non sarà una grande perdita e ne farò a meno.[/quote]
Ottica inutile, giacché non ti consente di imparare nulla (anche perché i concetti non si possono "piegare", non avendo un apparato muscolo-scheletrico adatto
).Il più delle volte, è l'apertura mentale dello studente che consente di non avere problemi con i concetti della Matematica.
[/OT]
non sono io che devo piegarmi verso un concetto, ma è il concetto a doversi piegare a me. Quindi se andando avanti il concetto di funzione farà il "bravo" e non mi tormenterà più, non potrò che esserne felice; ma se ciò non accadrà, pazienza, non sarà una grande perdita e ne farò a meno.
Cioè vuoi dire che fin quando non incontrerai qualcuno o un testo che ti imboccherà la definizione/concetto di funzione tu ne farai a meno!?
Che discorso è?!
Dato che in matematica il concetto di funzione è centrale, è come dire che se io sto steso sul divano e voglio cambiare canale alla tv, se il telecomando viene da me da solo o se c'è qualcuno che me lo dà...bene...altrimenti mi frego e continuo a guardare quello che stavo guardando.
Allora, sto cercando di capire cosa significhi scrivere una funzione in coordinate polari, ma non ci riesco. Prendiamo la funzione $f(x,y)=xy$.
Lo "schema" della funzione è questo:
In coordinate polari la funzione diventa: $f(r,theta)=r^2cos(theta) sin(theta)$.
Lo "schema" di questa funzione è:
Le due funzioni sono totalmente diverse. Infatti, la prima è formata dalla composizione di due funzioni identità e la funzione moltiplicazione. La seconda è formata da tre funzioni identità, la funzione potenza, seno, coseno e due funzioni moltiplicazione.
L'unica cosa che mi sembra evidente è che ho ottenuto una funzione diversa dalla prima, ma non capisco a quale pro.
Grazie per l'aiuto!
Lo "schema" della funzione è questo:
In coordinate polari la funzione diventa: $f(r,theta)=r^2cos(theta) sin(theta)$.
Lo "schema" di questa funzione è:
Le due funzioni sono totalmente diverse. Infatti, la prima è formata dalla composizione di due funzioni identità e la funzione moltiplicazione. La seconda è formata da tre funzioni identità, la funzione potenza, seno, coseno e due funzioni moltiplicazione.
L'unica cosa che mi sembra evidente è che ho ottenuto una funzione diversa dalla prima, ma non capisco a quale pro.
Grazie per l'aiuto!
"lisdap":
L'unica cosa che mi sembra evidente è che ho ottenuto una funzione diversa dalla prima, ma non capisco a quale pro.
Un cambiamento di coordinate serve a semplificare qualche conto: è un trucco che funziona in certe situazioni e non funziona in altre.
Di solito, si impara con l'esperienza quando può servire e quando no (anche se -a quanto ho capito leggendo qui e là- esistono sono metodi avanzatissimi che consentono di descrivere tutti i casi in cui un dato cambiamento di variabili risulta utile).
[OT, parlando a nome di tutta l'utenza seria del forum]
Lisdap, sinceramente hai rotto le scatole con queste "scatolette"...
Ma è mai possibile che ancora tu abbia problemi a comprendere come agiscano le funzioni, tanto da non poter fare a meno di disegnare ogni volta uno schemino?
[/OT]
"gugo82":
[quote="lisdap"]L'unica cosa che mi sembra evidente è che ho ottenuto una funzione diversa dalla prima, ma non capisco a quale pro.
Un cambiamento di coordinate serve a semplificare qualche conto: è un trucco che funziona in certe situazioni e non funziona in altre.
Di solito, si impara con l'esperienza quando può servire e quando no (anche se -a quanto ho capito leggendo qui e là- esistono sono metodi avanzatissimi che consentono di descrivere tutti i casi in cui un dato cambiamento di variabili risulta utile).
[OT, parlando a nome di tutta l'utenza seria del forum]
Lisdap, sinceramente hai rotto le scatole con queste "scatolette"...
Ma è mai possibile che ancora tu abbia problemi a comprendere come agiscano le funzioni, tanto da non poter fare a meno di disegnare ogni volta uno schemino?
[/OT][/quote]
Non ho problemi a comprendere come funzionano le funzioni, semplicemente mi piace schematizzarle con le scatolette, tutto qua
Da piccolo mi piaceva giocare con le pile, i fili e le lampadine: a te no?Quindi, facendo questo cambiamento di coordinate, ottengo a partire da una funzione una funzione diversa?
"lisdap":
[quote="gugo82"][OT, parlando a nome di tutta l'utenza seria del forum]
Lisdap, sinceramente hai rotto le scatole con queste "scatolette"...
Ma è mai possibile che ancora tu abbia problemi a comprendere come agiscano le funzioni, tanto da non poter fare a meno di disegnare ogni volta uno schemino?
[/OT]
Non ho problemi a comprendere come funzionano le funzioni, semplicemente mi piace schematizzarle con le scatolette, tutto qua
Da piccolo mi piaceva giocare con le pile, i fili e le lampadine: a te no?[/quote]Appunto... Da bambino.
Ma ormai sei un adulto.
"lisdap":
Quindi, facendo questo cambiamento di coordinate, ottengo a partire da una funzione una funzione diversa?
E tu che dici?
"gugo82":
E tu che dici?
Dico si. Però, se ottengo una funzione diversa, dire "riscrivere la f. in coordinate polari" è sbagliato. Infatti le due funzioni non hanno nulla in comune, a parte il dominio.
Comunque, spero prima o poi di comprendere l'utilità di una cosa simile!
"lisdap":
[quote="gugo82"]
E tu che dici?
Dico si. Però, se ottengo una funzione diversa, dire "riscrivere la f. in coordinate polari" è sbagliato. Infatti le due funzioni non hanno nulla in comune, a parte il dominio.[/quote]
In realtà, se avessi letto e non solo "guardato" ciò che ho scritto, non la penseresti così sul dominio...
"lisdap":
Comunque, spero prima o poi di comprendere l'utilità di una cosa simile!
Probabilmente, quando comincerai a studiare, la capirai.
"gugo82":
In realtà, se avessi letto e non solo "guardato" ciò che ho scritto, non la penseresti così sul dominio...
Il problema è che tutti quei simboli mi mandano in tilt. Vediamo un pò...
Secondo me stai sbagliando. Riveli una forte ignoranza, e nessuna voglia di "imparare".
mi ha fatto ridere quando dici "il concetto di funzione deve fare il bravo". Vabbe'.
Punti di vista. Se continui così non vai da nessuna parte.
Non conosco l'argomento comunque , ti inviterei a riflettere su una cosa.
Che senso ha (in fisica) passare da coordinate cartesiane a coordinate polari?
mi ha fatto ridere quando dici "il concetto di funzione deve fare il bravo". Vabbe'.
Punti di vista. Se continui così non vai da nessuna parte.
Non conosco l'argomento comunque , ti inviterei a riflettere su una cosa.
Che senso ha (in fisica) passare da coordinate cartesiane a coordinate polari?
Altra cosa. Capisco che chi studia solo di facciata la matematica, fatica a comprenderla. Ma ti do un consiglio.
Quando pensi che quello che studi sia pura astrazione, prova a pensare a quale connessione c'è tra la matematica e la fisica e di conseguenza con l'ingegneria. Se non c'arrivi, beh,vuol dire che devi studiare ancora molto
caro mio, il concetto di "uguaglianza" in matematica è un po strano
è vero, ottieni una funzione diversa, ma che si comporta esattamente come quella di partenza. Mi verrebbe quasi da dire , che quelle due funzioni, in termini algebrici sono isomorfe.
.
Cambia il modo di rappresentare ,non la sostanza della stessa. E' sottile come cosa, rifletti
Quando pensi che quello che studi sia pura astrazione, prova a pensare a quale connessione c'è tra la matematica e la fisica e di conseguenza con l'ingegneria. Se non c'arrivi, beh,vuol dire che devi studiare ancora molto
"lisdap":
Dico si. Però, se ottengo una funzione diversa, dire "riscrivere la f. in coordinate polari" è sbagliato. Infatti le due funzioni non hanno nulla in comune, a parte il dominio.
Comunque, spero prima o poi di comprendere l'utilità di una cosa simile!
caro mio, il concetto di "uguaglianza" in matematica è un po strano
è vero, ottieni una funzione diversa, ma che si comporta esattamente come quella di partenza. Mi verrebbe quasi da dire , che quelle due funzioni, in termini algebrici sono isomorfe.
.Cambia il modo di rappresentare ,non la sostanza della stessa. E' sottile come cosa, rifletti
"è il concetto di funzione che deve piegarsi a me"
spesso scherzosamente con miei amici che studiano ingegneria scherzo dicendo che noi fisici vogliamo conoscere le leggi della natura per puro amore della conoscenza, mentre gli ingegneri nel loro pragmatismo studiano solo per..."sodomizzarle"...
leggendo questa tua frase, lisdap, mi fai capire che il mio non è solo uno scherzo...O_O
spesso scherzosamente con miei amici che studiano ingegneria scherzo dicendo che noi fisici vogliamo conoscere le leggi della natura per puro amore della conoscenza, mentre gli ingegneri nel loro pragmatismo studiano solo per..."sodomizzarle"...
leggendo questa tua frase, lisdap, mi fai capire che il mio non è solo uno scherzo...O_O
"newton_1372":
"è il concetto di funzione che deve piegarsi a me"
E' la solita superbia da ingegnere
Avete un vocabolario a casa? Bene, apritelo e studiatevi la voce: "senso dell'umorismo", che penso non conoscete.
@silence1992: siete proprio una ventata di ottimismo
@silence1992: siete proprio una ventata di ottimismo
appunto lisdap..ovviamente stavo scherzando... ridici su
ridici su
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