Riscrivere funzione in coordinate polari: che significa?
Salve, che vuol dire riscrivere una funzione in coordinate polari?
Grazie!
Grazie!
Risposte
Credo di aver capito la questione. Innanzitutto, geometricamente il discorso è questo. Un punto del piano cartesiano può essere individuato in due modi:
1) misura della lunghezza delle proiezioni ortogonali del punto sugli assi cartesiani (coordinate cartesiane);
2) misura della distanza del punto dall'origine del riferimento e misura dell'angolo che il segmento che congiunge il punto all'origine forma con l'asse $x$ (coordinate polari). Inoltre, per un qualunque punto del piano, le quattro cordinate cartesiane e polari soddisfano il sistema di equazioni $x=rcos(theta), y=rsin(theta)$.
Questo è il discorso geometrico, che però non c'entra nulla con quello che verrà dopo.
Prendiamo la funzione $(2x^2y)/(x^2+y^2)$. Voglio verificare che, al tendere di $(x,y)->(0,0)$, il limite è $0$. Un modo potrebbe essere quello di verificarlo tramite la definizione, ma è troppo complicato. "Riscriviamo" allora la funzione in coordinate polari, cioè come $2rcos^2(theta)sin(theta)$. Queste due funzioni sono totalmente diverse e non hanno un bel niente in comune. In altre parole, quello delle coordinate polari potrebbe essere visto come un "operatore" che associa ad una funzione una funzione diversa. Perché fare questo? Semplice. Consideriamo $2rcos^2(theta)sin(theta)$. Supponiamo di voler verificare che, al tendere di $(r,theta)->(0,0)$, gli output della funzione tendano a $0$. Per funzioni che hanno questa forma (cioè in cui compaiono seni e coseni) dimostrare ciò è molto semplice. Infatti, siccome le uscite delle funzioni $sin, cos$ sono limitate tra $-1$ e $1$, possiamo concludere che la funzione $2r$ maggiora la funzione $2rcos^2(theta)sin(theta)$, nel senso che le immagini di $f(r,theta)=2r$ sono sempre maggiori/uguali delle immagini di $f(r,theta)=2rcos^2(theta)sin(theta)$. Siccome inoltre il limite per $(r,theta)->(0,0)$ di $f(r,theta)=2r$ è $0$, allora abbiamo dimostrato (grazie alla maggiorazione) che anche il limite per $(r,theta)->(0,0)$ di $f(r,theta)=2rcos^2(theta)sin(theta)$ è $0$. Ma noi volevamo dimostrare che il limite per $(x,y)->(0,0)$ di $f(x,y)=(2x^2y)/(x^2+y^2)$ è $0$. Ma è il fatto che lo sia quello della funzione $f(r,theta)=2rcos^2(theta)sin(theta)$ a dimostrarlo. Infatti questa funzione è stata ottenuta semplicemente sostituendo $rcos(theta)$ e $rsin(theta)$ rispettivamente nella $x$ e nella $y$ della prima funzione. E, se $r, theta$ tendono a zero, anche $rcos(theta)$ e $rsin(theta)$ ci tendono ( e ciò è la stessa cosa che far tendere $x,y$ a zero). Spero di essermi spiegato!
1) misura della lunghezza delle proiezioni ortogonali del punto sugli assi cartesiani (coordinate cartesiane);
2) misura della distanza del punto dall'origine del riferimento e misura dell'angolo che il segmento che congiunge il punto all'origine forma con l'asse $x$ (coordinate polari). Inoltre, per un qualunque punto del piano, le quattro cordinate cartesiane e polari soddisfano il sistema di equazioni $x=rcos(theta), y=rsin(theta)$.
Questo è il discorso geometrico, che però non c'entra nulla con quello che verrà dopo.
Prendiamo la funzione $(2x^2y)/(x^2+y^2)$. Voglio verificare che, al tendere di $(x,y)->(0,0)$, il limite è $0$. Un modo potrebbe essere quello di verificarlo tramite la definizione, ma è troppo complicato. "Riscriviamo" allora la funzione in coordinate polari, cioè come $2rcos^2(theta)sin(theta)$. Queste due funzioni sono totalmente diverse e non hanno un bel niente in comune. In altre parole, quello delle coordinate polari potrebbe essere visto come un "operatore" che associa ad una funzione una funzione diversa. Perché fare questo? Semplice. Consideriamo $2rcos^2(theta)sin(theta)$. Supponiamo di voler verificare che, al tendere di $(r,theta)->(0,0)$, gli output della funzione tendano a $0$. Per funzioni che hanno questa forma (cioè in cui compaiono seni e coseni) dimostrare ciò è molto semplice. Infatti, siccome le uscite delle funzioni $sin, cos$ sono limitate tra $-1$ e $1$, possiamo concludere che la funzione $2r$ maggiora la funzione $2rcos^2(theta)sin(theta)$, nel senso che le immagini di $f(r,theta)=2r$ sono sempre maggiori/uguali delle immagini di $f(r,theta)=2rcos^2(theta)sin(theta)$. Siccome inoltre il limite per $(r,theta)->(0,0)$ di $f(r,theta)=2r$ è $0$, allora abbiamo dimostrato (grazie alla maggiorazione) che anche il limite per $(r,theta)->(0,0)$ di $f(r,theta)=2rcos^2(theta)sin(theta)$ è $0$. Ma noi volevamo dimostrare che il limite per $(x,y)->(0,0)$ di $f(x,y)=(2x^2y)/(x^2+y^2)$ è $0$. Ma è il fatto che lo sia quello della funzione $f(r,theta)=2rcos^2(theta)sin(theta)$ a dimostrarlo. Infatti questa funzione è stata ottenuta semplicemente sostituendo $rcos(theta)$ e $rsin(theta)$ rispettivamente nella $x$ e nella $y$ della prima funzione. E, se $r, theta$ tendono a zero, anche $rcos(theta)$ e $rsin(theta)$ ci tendono ( e ciò è la stessa cosa che far tendere $x,y$ a zero). Spero di essermi spiegato!
"lisdap":
per un qualunque punto del piano, le quattro cordinate cartesiane e polari soddisfano il sistema di equazioni $x=rcos(theta), y=rsin(theta)$.
Più che di equazioni parlerei di identità, ma è meglio non perderci in chiacchiere
Supponiamo di voler verificare che, al tendere di $(r,theta)->(0,0)$, gli output della funzione tendano a $0$.
Precisazione: $\theta$ non tende a zero. Condizione necessaria e sufficiente affinché risulti
\[\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=\ell\in\widetilde{\mathbb{R}}\]
è che si abbia, uniformemente rispetto alla variabile $\theta\in [0,2 \pi)$,
\[\lim_{\rho \to 0} f_\star (\rho,\theta)=\ell\]
dove $f_\star$ è la $f$ "riscritta" in coordinate polari.
Che significato geometrico avrebbe far tendere anche $\theta$ a zero?
EDIT: s'intende che il sistema di coordinate polari è centrato in $(x_0,y_0)$...
"Plepp":
[quote="lisdap"]per un qualunque punto del piano, le quattro cordinate cartesiane e polari soddisfano il sistema di equazioni $x=rcos(theta), y=rsin(theta)$.
Più che di equazioni parlerei di identità, ma è meglio non perderci in chiacchiere
[/quote]Ciao Plepp! Non capisco, sei d'accordo sul fatto che le due coordinate cartesiane e le due coordinate polari di un punto del piano soddisfano quel sistema di equazioni? Perché dici identità?
Ma quella condizione che hai enunciato è qualche teorema?
"Kashaman":
Altra cosa. Capisco che chi studia solo di facciata la matematica, fatica a comprenderla. Ma ti do un consiglio.
Quando pensi che quello che studi sia pura astrazione, prova a pensare a quale connessione c'è tra la matematica e la fisica e di conseguenza con l'ingegneria. Se non c'arrivi, beh,vuol dire che devi studiare ancora molto[...]
caro mio, il concetto di "uguaglianza" in matematica è un po strano
[...]Cambia il modo di rappresentare ,non la sostanza della stessa. E' sottile come cosa, rifletti
Evita questi atteggiamenti di superiorità. Anche tu devi studiare ancora molto, come me e come quasi tutti qui.
"dissonance":
[quote="Kashaman"]Altra cosa. Capisco che chi studia solo di facciata la matematica, fatica a comprenderla. Ma ti do un consiglio.
Quando pensi che quello che studi sia pura astrazione, prova a pensare a quale connessione c'è tra la matematica e la fisica e di conseguenza con l'ingegneria. Se non c'arrivi, beh,vuol dire che devi studiare ancora molto
caro mio, il concetto di "uguaglianza" in matematica è un po strano
[...]Cambia il modo di rappresentare ,non la sostanza della stessa. E' sottile come cosa, rifletti
Evita questi atteggiamenti di superiorità. Anche tu devi studiare ancora molto, come me e come quasi tutti qui.[/quote]
Chiedo scusa se il post è stato male interpretato o ha potuto offendere lisdap.
Se è stato cosi, lisdap, ti chiedo scusa.
Il mio è voluto essere semplicemente un consiglio. Anche io trovo fatica a trovare connessioni tra ciò che studio con la realtà. La mia non è una provocazione. Non è un atto di superiorità.E' solo un consiglio che do a lisdap è il seguente : se qualcosa non la si afferra, si continuii a studiarla, a porsi delle domande, a sforzarsi, fintanto che non si giunge a dei risultati.
No, non mi sono offeso, tranquillo
"gugo82":
Siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) non vuoto ed \(u:\Omega \to \mathbb{R}\).
Supponiamo che \(\Omega = \Phi (\widetilde{\Omega})\), ove \(\widetilde{\Omega}\subseteq [0,\infty[\times \mathbb{R}\) è non vuoto e:
\[
\Phi :[0,\infty[\times \mathbb{R} \ni (r,\theta)\mapsto (r\ \cos \theta, r\ \sin \theta) \in \mathbb{R}^2
\]
è il passaggio di coordinate cartesiane a \xpolari (si noti che la mappa \(\Phi\) è suriettiva ma non iniettiva).
Esiste un'unica funzione \(\tilde{u} :\widetilde{\Omega} \to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\forall (r, \theta) \in \widetilde{\Omega},\quad \tilde{u} (r,\theta) = u(\Phi (r,\theta)) = u(r\ \cos \theta, r\ \sin \theta)\; ;
\]
la funzione \(\tilde{u}\) è anche chiamata espressione di \(u\) in coordinate polari.
Scusate se riapro un vecchio post, però ho una domanda piuttosto elementare che mi sembra attinente:
sia $\Phi: [0,\infty ) \times [0,2 \pi ) \to \mathbb{R}^2$
con al solito $( \rho , \theta ) \to ( \rho Cos( \theta ), \rho Sin( \theta ) )$
Questa applicazione è iniettiva sull'immagine (che è tutto R^2 giusto?) per $ \rho \ne 0 $ ?
Presa quindi un'altra funzione $f: R^2 \to \R$ iniettiva, la composizione $f( \rho Cos( \theta ), \rho Sin( \theta ) )$ è ancora iniettiva per $ \rho \ne 0 $ e $ \theta$ in $[0,2 \pi )$?
Grazie mille!
Giusto
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