Relazione fra limiti di funzioni e successioni
Ciao a tutti, qualcuno mi potrebbe dimostrare, o quantomeno spiegarmi, questo "teorema di collegamento" fra limite di funzioni e limite di succesioni.... io ci arrivo solo a livello intuitivo 
$\lim_{x\tox0} f(x)= L $ <=> $AA$ successione $ {Xn}tox0 $ si ha $ \lim_{n\to oo} f(Xn)=L$
Confido in voi! Grazie...
$\lim_{x\tox0} f(x)= L $ <=> $AA$ successione $ {Xn}tox0 $ si ha $ \lim_{n\to oo} f(Xn)=L$
Confido in voi! Grazie...
Risposte
Ciao, per come lo hai scritto è falso. Devi aggiungere che ogni $x_n$ è distinto da $x_0$.
"luluemicia":
Ciao, per come lo hai scritto è falso. Devi aggiungere che ogni $x_n$ è distinto da $x_0$.
Ho capito ma una dimostrazione anke a parole del perchè è così???
"vs88":
Ciao a tutti, qualcuno mi potrebbe dimostrare, o quantomeno spiegarmi, questo "teorema di collegamento" fra limite di funzioni e limite di succesioni.... io ci arrivo solo a livello intuitivo
$\lim_{x\tox0} f(x)= L $ <=> $AA$ successione $ {Xn}tox0 $ si ha $ \lim_{n\to oo} f(Xn)=L$
Confido in voi! Grazie...
vedi se qui http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_(matematica) si capisce.
Così, sempre intuitivamente: vuoi trovare $\lim_{x\tox0} f(x)= L $. Che cosa fai? prendi la x e la fai sempre più vicina a $x_0$ e valuti la funzione in quell'intorno di $x_0$ dove, ripeto, la x si avvicina sempre di + a $x_0$. Questo avvicinarsi della x a un punto fissato che è $x_0$ diciamo che lo fai in modo continuo.. Ma puoi farlo anche discreto. Cioè ti avvicini alla $x_0$ a saltelli... Che signica "a saltelli"? Significa prendere una successione, vale a dire un insieme di punti ... come la scelgo questa successione, a caso? NO! ma in modo tale che, per n crescente, $x_n$ si avvicina a $x_0$.. Cioè mi sto di nuovo avvicinando a $x_0$, non im modo continuo, ma in modo discreto se vuoi. Quindi la successione può essere una qualunque, infatti hai detto " $AA$ successione", purché questa tenda a $x_0$ (non ci interessa se tende più o meno velocemente a $x_0$ basta che converge!)
Di conseguenza quando faccio $ \lim_{n\to oo} f(Xn)=L$ è come se stessi dicendo avvicinati a $x_0$ per valori discreti, non mi interessa quanto velocemente (=$AA$ successione), e valuta la funzione in queste x, vedrai che la funzione tende a L, perché stai facendo la stessa operazione del caso continuo, cioè valuti la finzione in x sempre più vicine a $x_0$
Grazie per la risposta! Ank'io ero arrivato al tuo ragionamento "intuitivo" però pensavo che ci fosse una dimostrazione "vera" del perchè i due valori (dei due limiti) che troviamo sono uguali....boh magari la sto facendo lunga io, ankora grazie...
"vs88":
Grazie per la risposta! Ank'io ero arrivato al tuo ragionamento "intuitivo" però pensavo che ci fosse una dimostrazione "vera" del perchè i due valori (dei due limiti) che troviamo sono uguali....boh magari la sto facendo lunga io, ankora grazie...
matematicamente non so dimostartelo.. mi dispiace.
Attendiamo se qualcuno si fa vivo, può essere interessante
"Sergio":
(è orrendo, lo so, ma spero che renda l'dea).
a me piace questa "matematica orrenda", perché rende l'idea prima di passare all'astrazione
I miei complimenti! non potevi essere più chiaro, grazie! Ottimo lavoro!!
Nella a) e anche lungo la dimostrazione di b) implica a) devi correggere in $A\\\{x_0\}$ invece di $A\\\{x_n\}$. Corretto ciò la dimostrazione di b) implica a) è completa e corretta.
Quanto alla implicazione inversa anzitutto è scorretta la negazione della definizione di limite: alla fine di essa hai un "e" e non un "$\Rightarrow$". Detto ciò non capisco comunque la dimostrazione, che non mi sembra proprio una dimostrazione: per esempio perchè $a_n$ dovrebbe tendere a $0$?
Quanto alla implicazione inversa anzitutto è scorretta la negazione della definizione di limite: alla fine di essa hai un "e" e non un "$\Rightarrow$". Detto ciò non capisco comunque la dimostrazione, che non mi sembra proprio una dimostrazione: per esempio perchè $a_n$ dovrebbe tendere a $0$?
Sì, quel limite è $0$, ma tu devi dimostrare che cade la a) e quindi che esiste una successione che converge ad $x_0$ tale che ecc....
Sì, è corretta.
La nota a cui fai riferimento l'ho messa quando ho riscritto la definizione di limite usando $\epsilon$ e $\delta$ invece che la definizione che ho dato all'inizio passando per successioni. Siccome io ho usato tutte le successioni, allora la definizione $\epsilon$-$\delta$, come ho scritto, non richiede che $x$ sia diverso da $x_0$, cosa che invece accade nella definizione più usuale e classica di limite, come quella che hai in mente anche tu, e come sta scritta su tutti i libri (purtroppo).
Io uso questo approccio perchè anzitutto credo sia più semplice per uno studente: la definizione di limite che serve sapere è praticamente solo quella di successione, che è fortemente intuitiva. E' pur vero che è più restrittiva: ad esempio con l'approccio che seguo io (io ho studiato così in analisi 1...) la funzione che vale $0$ dappertutto tanne che in $x=0$ dove vale $1$ non ammette limite per $x \to 0$.
Quanto alle conseguenze non ve ne sono di sostanziali: tieni conto che quando usi concretamente un limite anche per questioni teoriche, nella maggior parte dei casi la funzione data non è definita nel punto a cui tende la variabile indipendente, quindi in tal caso le definizioni si equivalgono.
Io uso questo approccio perchè anzitutto credo sia più semplice per uno studente: la definizione di limite che serve sapere è praticamente solo quella di successione, che è fortemente intuitiva. E' pur vero che è più restrittiva: ad esempio con l'approccio che seguo io (io ho studiato così in analisi 1...) la funzione che vale $0$ dappertutto tanne che in $x=0$ dove vale $1$ non ammette limite per $x \to 0$.
Quanto alle conseguenze non ve ne sono di sostanziali: tieni conto che quando usi concretamente un limite anche per questioni teoriche, nella maggior parte dei casi la funzione data non è definita nel punto a cui tende la variabile indipendente, quindi in tal caso le definizioni si equivalgono.
"Luca.Lussardi":
Io uso questo approccio perchè anzitutto credo sia più semplice per uno studente: la definizione di limite che serve sapere è praticamente solo quella di successione, che è fortemente intuitiva. E' pur vero che è più restrittiva: ad esempio con l'approccio che seguo io (io ho studiato così in analisi 1...) la funzione che vale $0$ dappertutto tanne che in $x=0$ dove vale $1$ non ammette limite per $x \to 0$.
Proprio per ovviare a inconvenienti antipatici come questi che in ogni definizione di limite (topologica generale con gli intorni, in spazi metrici con $epsilon$-$delta$, in spazi T1 mediante le successioni) si richiede che i punti che "si avvicinano" ad $x_0$ siano in $A-{x_0}$.
"Luca.Lussardi":
Quanto alle conseguenze non ve ne sono di sostanziali: tieni conto che quando usi concretamente un limite anche per questioni teoriche, nella maggior parte dei casi la funzione data non è definita nel punto a cui tende la variabile indipendente, quindi in tal caso le definizioni si equivalgono.
Beh, se ritieni che dire "la funzione che vale $0$ dappertutto tanne che in $x=0$ dove vale $1$ non ammette limite per $x \to 0$" sia una cosa priva di importanza...
Non mi pare che hai argomentato tante cose a favore della definizione che usano tutti; cosa ti dà fastidio se la funzione nulla dappertutto tranne che in $x=0$ dove vale $1$ non ammette limite in $x=0$? A me sembra naturale che non lo ammetta: non è vero che se mi avvicino a $0$ la funzione si avvicina a $0$, se a volte becco $0$ la funzione salta a $1$. Perchè togliere proprio $0$? e perchè non togliere allora altri punti, magari avvicinarsi a $0$ togliendo una quantità numerabile di punti? Poi, come dicevo, l'approccio che seguo io equivale a quello classico se la funzione non è definita nel punto. Quindi ad esempio la definizione di derivata è la stessa, tanto per citarne una veramente importante.
Sottolineo altri due punti di forza dell'approccio che seguo io:
1) non serve il punto di accumulazione, basta aderente.
2) la definizione di limite è perfettamente equivalente a quella di continuità.
Sottolineo altri due punti di forza dell'approccio che seguo io:
1) non serve il punto di accumulazione, basta aderente.
2) la definizione di limite è perfettamente equivalente a quella di continuità.
La funzione che vale $0$ dappertutto tranne che per $x=0$ dove vale $1$ non ammette limite secondo la definizione data da me: basta prendere la successione $a_n$ che fa $1/n$ per $n$ pari e $0$ per $n$ dispari; allora $f(a_n)$ non ammette limite.
L'approccio che seguo io non solo è più semplice per uno studente ma secondo me è anche il più adatto a descrivere l'analisi in una variabile o in più variabili. Volendo usare una definizione più fine e meno restrittiva esiste il limite approssimato, che è proprio ideato allo scopo ti trascurare punti in cui la funzione potrebbe comportarsi male in certi punti.
Quanto alla continuità, quello che dicevo è che la definizione di funzione continua si semplifica: $f$ è continua in $x_0$ punto del dominio se e solo se il limite per $x \to x_0$ di $f$ vale $f(x_0)$. Ricordo che tale risultato non vale se uno adotta la definizione classica di limite. E' invece corretta la tua ultima osservazione: ammettono limite solo le funzioni continue se $x_0$ sta nel dominio ovviamente. Infatti si mostra che se $f$ ammette limite in $x_0$ e $x_0$ sta nel dominio di $f$ allora tale limite vale proprio $f(x_0)$.
L'approccio che seguo io non solo è più semplice per uno studente ma secondo me è anche il più adatto a descrivere l'analisi in una variabile o in più variabili. Volendo usare una definizione più fine e meno restrittiva esiste il limite approssimato, che è proprio ideato allo scopo ti trascurare punti in cui la funzione potrebbe comportarsi male in certi punti.
Quanto alla continuità, quello che dicevo è che la definizione di funzione continua si semplifica: $f$ è continua in $x_0$ punto del dominio se e solo se il limite per $x \to x_0$ di $f$ vale $f(x_0)$. Ricordo che tale risultato non vale se uno adotta la definizione classica di limite. E' invece corretta la tua ultima osservazione: ammettono limite solo le funzioni continue se $x_0$ sta nel dominio ovviamente. Infatti si mostra che se $f$ ammette limite in $x_0$ e $x_0$ sta nel dominio di $f$ allora tale limite vale proprio $f(x_0)$.
La funzione $(sen x)/x$ non è definita in $x=0$; ne segue che per tale funzione le definizioni di limite coincidono. Quindi anche seguendo il mio approccio hai che $\lim_{x \to 0}(sen x)/x=1$.
Esattamente, è proprio così. Perchè la cosa è strana? Le due funzioni che hai scritto non sono la stessa funzione.
@Sergio
Attenzione, lupacchiotto (Luca mi capirà)!
Non ho tempo per discutere della impostazione personale di Luca, però una lancia a suo favore la posso piegare, se non spezzare: il concetto di integrazione riguarda proprietà matematiche di tipo diverso, rispetto a continuità e limiti (non dico che non ha niente a che fare, eh!). Quindi ciò che ti sembra strano non lo è per niente. Tieni conto che nella teoria dell'integrazione il comportamento di una funzione su un insieme di misura nulla è irrilevante.
Attenzione, lupacchiotto (Luca mi capirà)!
Non ho tempo per discutere della impostazione personale di Luca, però una lancia a suo favore la posso piegare, se non spezzare: il concetto di integrazione riguarda proprietà matematiche di tipo diverso, rispetto a continuità e limiti (non dico che non ha niente a che fare, eh!). Quindi ciò che ti sembra strano non lo è per niente. Tieni conto che nella teoria dell'integrazione il comportamento di una funzione su un insieme di misura nulla è irrilevante.
Infatti Fioravante.... quando ho scritto $(sen x)/x$ ho subito pensato alla stessa cosa.....
Tornando a Sergio anzitutto la funzione a) non ha discontinuità, è continua in ogni punto del suo dominio, mentre la funzione b) non è continua in $x=0$.
Per quanto riguarda i limiti destro e sinistro sono definiti ancora per successioni ma prendendo tutte le successioni che stanno nel dominio di $f$ intersecato con $[x_0,+\infty)$ e $(-\infty,x_0]$ rispettivamente.
Nota storica. L'impostazione che seguo io non è "mia": io ho studiato così all'Università in tutti i corsi di Analisi; è un'impostazione che ho quindi ereditato da Degiovanni, il quale ha ereditato da DeGiorgi tale impostazione (che è stato il suo maestro) il quale a sua volta ha ereditato il tutto dall'impostazione (credo qui sia l'originale) di L.Schwartz.
Tornando a Sergio anzitutto la funzione a) non ha discontinuità, è continua in ogni punto del suo dominio, mentre la funzione b) non è continua in $x=0$.
Per quanto riguarda i limiti destro e sinistro sono definiti ancora per successioni ma prendendo tutte le successioni che stanno nel dominio di $f$ intersecato con $[x_0,+\infty)$ e $(-\infty,x_0]$ rispettivamente.
Nota storica. L'impostazione che seguo io non è "mia": io ho studiato così all'Università in tutti i corsi di Analisi; è un'impostazione che ho quindi ereditato da Degiovanni, il quale ha ereditato da DeGiorgi tale impostazione (che è stato il suo maestro) il quale a sua volta ha ereditato il tutto dall'impostazione (credo qui sia l'originale) di L.Schwartz.
"Luca.Lussardi":
Nota storica. L'impostazione che seguo io non è "mia": io ho studiato così all'Università in tutti i corsi di Analisi; è un'impostazione che ho quindi ereditato da Degiovanni, il quale ha ereditato da DeGiorgi tale impostazione (che è stato il suo maestro) il quale a sua volta ha ereditato il tutto dall'impostazione (credo qui sia l'originale) di L.Schwartz.
eqquanti babbi e nonni! Ora che lo dici, mi ricordo che già l'avevi fatto notare. Comunque, inutile appellarsi al principio di autorità: è una impostazione ampiamente minoritaria, tié. Viva le masse!
[size=75]Ma le minoranze talvolta sono destinate a diventare maggioranze...[/size]
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