Relazione fra limiti di funzioni e successioni

[vs88]

Ciao a tutti, qualcuno mi potrebbe dimostrare, o quantomeno spiegarmi, questo "teorema di collegamento" fra limite di funzioni e limite di succesioni.... io ci arrivo solo a livello intuitivo

$\lim_{x\tox0} f(x)= L $ <=> $AA$ successione $ {Xn}tox0 $ si ha $ \lim_{n\to oo} f(Xn)=L$


Confido in voi! Grazie...

[Luca.Lussardi]

Farò di tutto per capovolgere la scuola di Analisi italiana....

[Luca.Lussardi]

Figurati, anzi ringrazio anche io te per avermi dato la possibilità di tirare in gioco il mio punto di vista sulla teoria dei limiti, cosa a cui ci tengo molto. Farò di tutto per convincere Fioravante a cambiare modo di definire il limite..... anche se la vedo dura....

[Gaal Dornick]

Dai, allora visto che ci siamo.. qual è l'opinione di Fioravante sul "tuo modo di vedere" il limite?
Perchè ad oggi si usa l'altra? E' da preferirsi o sono semplicemente motivi storici? E ci sono anche "pezzi grossi" a sostegno della non Luca definizione?

[Fioravante Patrone1]

mi spiace, ma come avevo detto sopra:

"Fioravante Patrone":...
Non ho tempo per discutere della impostazione personale di Luca...

io mi tiro fuori.

Quando avrò un po' di tempo, magari.
In ogni caso, qui di utenti ce ne sono tanti!

[gugo82]

Da buon matematico dico che la tua definizione di limite è accettabile, come qualsiasi altra che lasci inalterate le nostre "certezze". Certo, presenta l'inconveniente di definire il limite anche nei punti isolati (ai quali non è possibile "avvicinarsi" dall'interno dell'insieme di definizione: questo come glielo spieghi agli studenti?), ma d'altra parte ogni definizione ha i suoi pregi ed i suoi difetti.

Rimangono i gusti personali: a me piace credere che la regolarità in un punto interno all'insieme di definizione sia cosa distinta (e più debole) dalla continuità, a te piace credere siano la stessa cosa. Ripeto, "Contento tu, contenti tutti", però io continuo a preferire la definizione classica.

Ultima domanda.

"Luca.Lussardi":Quanto alla continuità, quello che dicevo è che la definizione di funzione continua si semplifica: $f$ è continua in $x_0$ punto del dominio se e solo se il limite per $x \to x_0$ di $f$ vale $f(x_0)$. Ricordo che tale risultato non vale se uno adotta la definizione classica di limite.

Scusa Luca, ma sei proprio sicuro che l'equivalenza non valga con la definizione classica?
Mi lascia perplesso questa affermazione: infatti, se $x_0 in D(A)cap A$ ($D(A)$ è il derivato ossia l'insieme dei punti d'accumulazione di $A$), allora le due proposizioni "$lim_(xrarr x_0) f(x)=f(x_0)$" e "$f$ continua in $x_0$" si equivalgono; d'altra parte se $x_0 in I(A)$ ($I(A)$ è l'insieme dei punti isolati di $A$) allora troviamo di nuovo l'equivalenza perchè ex falso quodlibet. Sbaglio?



@ Gaal Dornick: Che domande, certo che ci sono sostenitori della "non-Luca" definizione di limite, altrimenti questa non si chiamerebbe definizione classica!
Credo che il primo a formularla nel modo cui siamo abituati sia stato Cauchy nel suo voluminoso Cours d'Analyse (1821), poi vengono tutti gli altri (esclusi Schwartz, De Giorgi e Degiovanni, stando a quanto riportato da Luca, e lo stesso Luca).

[Luca.Lussardi]

Se $x_0$ è un punto isolato non puoi dire che una funzione è continua se e solo se il limite è $f(x_0)$ poichè stando alla definizione classica il limite non è definito nei punti isolati, mentre con il mio approccio sì.

Quanto alla storia di tale approccio credo che siano in parecchi comunque ad usarlo: una volta ne ho parlato con un mio collega a Pavia che ha fatto la Scuola Normale ed anche lui ha studiato così nei corsi di Analisi.

[Fioravante Patrone1]

"Sergio":[quote="Luca.Lussardi"]Se $x_0$ è un punto isolato non puoi dire che una funzione è continua se e solo se il limite è $f(x_0)$ poichè stando alla definizione classica il limite non è definito nei punti isolati, mentre con il mio approccio sì.

Be', se la discussione va avanti....
Potresti dare un esempio di funzione continua in $x_0$ quando $x_0$ è un punto isolato?[/quote]ogni funzione è continua in un punto isolato

[Luca.Lussardi]

Esattamemte; quello che dicevo è che se uno usa la definizione classica deve dire che ogni funzione è continua in un punto isolato per definizione; se invece uno usa l'approccio seguito da me basta dire che $f$ è continua in $x_0$ se e solo se esiste il limite per $x \to x_0$. Ecco perchè dicevo che la definizione di limite diventa equivalente a quella di continuità (per i punti del dominio ben inteso).

[gugo82]

"Sergio":Mi sono perso.
Quello che capisco io è: dato un insieme $A={0, pi/6, pi/3, pi/2}$, la funzione $x\mapsto sin x:A->RR$ è continua in ciascuno dei punti di $A$.
Oppure: dato un insieme $A=[0,pi/6]U{pi/4}U[pi/3,pi/2]$, la funzione $x\mapsto sin x:A->RR$ è continua in ciascuno dei punti di $A$.
Ma mi sembra, come dire, poco intuitivo.....

Sì, la definizione del limite che propone Luca ha questa controindicazione (come avevo già segnalato).
Il fatto è che il concetto di limite, intuitivamente, è fondato sulla possibilità di avvicinarsi ad un punto, non sulla possibilità di raggiungerlo: questo comporta che la definizione classica di limite di un'applicazione valga per i punti di accumulazione del suo insieme di definizione e non per i punti isolati di tale insieme.

D'altra parte, il concetto di continuità si basa sulla effettiva possibilità di raggiungere un punto (e di trovarvi un preciso valore della funzione): questo comporta che la definizione di continuità debba valere pure per i punti isolati dell'insieme di definizione di un'applicazione, perchè essi sono "raggiungibili".

Si tratta di decidere quale tra le seguenti due è da preferirsi: una definizione di limite che sia più debole rispetto a quella di continuità e che non metta in evidenza la continuità nei punti isolati; o una definizione di limite che equivalga alla continuità in ogni caso ma perda un po' del suo aspetto intuitivo.

Come si è capito, io propendo per la prima, ossia per la definizione classica: questo soprattutto perchè non vedo l'utilità di "aggarbare" la situazione per i punti isolati, dei quali si può pure fare tranquillamente a meno.
Luca, invece, propende per la seconda... ma è più che evidente che lo fa per far sentire in compagnia i punti isolati!


@ Luca.Lussardi: in ambito classico l'implicazione $lim_(xrarr x_0)f(x)=f(x_0) quad => quad f " è continua in " x_0$ continua a valere per $x_0$ isolato, poichè da un'antecedente falsa discende qualunque cosa. Non vale l'implicazione inversa, ma c'è poco da fare perchè dipende proprio dalla definizione del limite.
Una curiosità: potresti dirmi quanti passaggi logici ti servono per determinare il salto di discontinuità in $0$ dell'applicazione:
$f(x)=\{(x-1, " se " x<0),(0, " se " x=0),(x+1, " se " x>0):}$
con prima con la tua definizione e poi con la definizione classica? Grazie.

[gugo82]

"Sergio":Fioravante aveva detto che "ogni funzione è continua in un punto isolato" e immagino che intendesse restare alla definizione classica. E infatti Luca aveva ribadito che "se uno usa la definizione classica deve dire che ogni funzione è continua in un punto isolato per definizione".
Quello che mi sembra poco intuitivo è questo considerare/definire continua una funzione in un punto isolato usando la definizione classica di limite (e di continuità)

L'unica difficoltà con la definizione classica è che l'implicazione $f " è continua in " x_0 quad => quad lim_(xrarr x_0) f(x)=f(x_0)$ non è vera se $x_0$ è isolato; l'unica difficoltà della definizione di Schwartz è che fornisce meno funzioni regolari.

Al momento, mi sembra abbastanza esiguo il guadagno che otterrei accettando la nuova definizione di limite, perciò non credo valga la pena cambiare (che volete farci... considerate il valore affettivo!). Se mi si presenterà l'occasione di ricredermi, non ci penserò sù due volte ed adotterò la definizione di Schwartz, però fino ad allora...

$lim_(xrarr x_0) f(x)=l quad "se e solo se" quad x_0 in D(A) " e " AA epsilon>0, exists delta>0:quad AAx in (x_0-delta,x_0+delta)capA-{x_0}, |f(x)-l|

[Luca.Lussardi]

Non ho capito la tua domanda gugo82.

Ad ogni modo io non sto dicendo che la definizione che seguo io è oggettivamente meglio di quella classica; secondo me sì, visto che c'è la definizione di limite approssimato se uno vuole levare dai piedi un po' di punti cattivi.

Comunque sia visto che sento che tale approccio viene criticato, io ho presentato i vantaggi del mio approccio; quali vantaggi ha la definizione classica invece della "mia"? A questa domanda non mi avete ancora dato risposta...

[Fioravante Patrone1]

"gugo82":
$lim_(xrarr x_0) f(x)=l quad "se e solo se" quad x_0 in D(A) " e " AA epsilon>0, exists delta>0:quad AAx in (x_0-delta,x_0+delta)capA-{x_0}, |f(x)-l|

$ l \in Lim_(xrarr x_0) f(x) quad "se e solo se" quad AA epsilon>0, exists delta>0:quad AAx in (x_0-delta,x_0+delta)capA-{x_0}, |f(x)-l|

$f$ è continua in $x_0$ se e solo se $f(x_0) \in Lim_(xrarr x_0) f(x)$


ovviamente i punti di accumulazione sono interessanti perché garantiscono che la cardinalità di $Lim_(xrarr x_0) f(x)$ sia minore o uguale di uno


la continuità è mooooolto interessante in quanto realizza un "matching" fra due cose completamente diverse e del tutto indipendenti tra loro:

1. il valore di $f$ in $x_0$
2. il limite di $f$ per $x \to x_0$


EDIT: corretto "errore di stampa". Sostituito $f(x_0)$ ad $l$ nella caratterizzazione della continuità. Grazie per la segnalazione a gugo82

[gugo82]

"Fioravante Patrone"::smt055 $ l \in Lim_(xrarr x_0) f(x) quad "se e solo se" quad AA epsilon>0, exists delta>0:quad AAx in (x_0-delta,x_0+delta)capA-{x_0}, |f(x)-l|

Ok, con questa hai definito l'insieme dei valori limite di $f$ in $x_0$: se $x_0 in D(A)$ allora $Lim_(xrarr x_0) f(x)$ o è vuoto oppure e un singleton (siamo in uno spazio metrico, ma possiamo pensare di generalizzare la definizione a spazi in cui ciò non è necessariamente vero); ma se $x_0 in I(A)$ cosa posso concludere riguardo agli elementi di $Lim_(xrarr x_0) f(x)$? Le uniche due possibilità che mi vengono in mente sono o che sia vuoto o che sia uguale ad $RR$.

"Fioravante Patrone":$f$ è continua in $x_0$ se e solo se $l \in Lim_(xrarr x_0) f(x)$

La seconda proposizione mi sa che dovrebbe avere un quantificatore su $l$: dovrebbe essere del tipo $exists l in RR: quad l in Lim_(xrarr x_0) f(x)$, o equivalentemente $Lim_(xrarr x_0)f(x)!=\emptyset$; comunque mi sembra manchi qualcosa... si dovrebbe aggiungere che $l=f(x_0)$, o sbaglio?
Potresti illuminarmi Fioravante? Grazie.

"Fioravante Patrone":la continuità è mooooolto interessante in quanto realizza un "matching" fra due cose completamente diverse e del tutto indipendenti tra loro:

1. il valore di $f$ in $x_0$
2. il limite di $f$ per $x \to x_0$

Ecco.



@ Luca.Lussardi: si vede che la chiarezza non è il mio forte... riformulo la domanda. Enumera e descrivi tutti i passaggi che fai per risolvere questo esercizio:

Assegnata la funzione:
$f(x)=\{ (x-1, " se "x<0),(0, " se "x=0),(x+1, " se "x>0):}$
determinare il salto di discontinuità di $f$ in $0$.

con la definizione di limite che usi tu correntemente.
Con la definizione classica di limite i passaggi sono tre:
1) calcolo del limite a sinistra di $0$: $f(0-)=lim_(xrarr 0^(-)) f(x)$;
2) calcolo del limite a destra di $0$: $f(0+)=lim_(xrarr 0^(+)) f(x)$;
3) calcolo della differenza tra i due risultati: $f(0+)-f(0-)$;
con la tua dovrebbero essere almeno quattro.
La definizione di limite approssimato sarebbe la seguente?

"il prof. K. Payne, insieme ad alcuni colleghi del dip. di Matematica dell'Università di Milano,":
Siano $f:RR^nrarr RR$ una funzione misurabile secondo Lebesgue, $x_0 in RR^n$ ed $l in RR$.
Diciamo che $l$ è il limite approssimato di $f$ in $x_0$ se e solo se risulta:

$AA epsilon >0, lim_(r rarr0^(+))(m(B(x_0;r)cap {x in RR^n:quad |f(x)-l|
in tal caso scriveremo $l=applim_(xrarr x_0) f(x)$.

(Citazione tratta da una raccolta di esercizi.)
La cosa è carina e non l'avevo mai sentita, però mi sa che poco maneggevole per gli studenti del primo anno.

[Fioravante Patrone1]

@gugo82
nella caratterizzazione della continuità avevo scritto per sbaglio $l$ invece di $f(x_0)$. Ora ho corretto

Mi sembra sensato cercare gli elementi di "Lim" dentro ad $RR$, se sto lavorando in $RR$. Comunque decido io cosa è ammissibile come elemento: dentro a "Lim" ci metto quello che voglio. Anche il gatto Giosué:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#175937

[Luca.Lussardi]

Per gugo82: seguendo il mio approccio basta un passaggio per risolvere quell'esercizio: il limite da destra non esiste, per cui la funzione data è discontinua in $x=0$.

Quanto alla definizione di limite approssimato sì, è proprio quella, anche se io non ho mai detto che essa debba essere usata per gli studenti del primo anno.

[Fioravante Patrone1]

Luca,
sulla base di quanto dicevo prima, una funzione definita su $]0,+oo[$ e che lì vale $7$ "dovrebbe" avere limite desto uguale a $7$ in $0$.
Invece "secondo te" non ha limite in $0$, se ho capito bene.

Come ben immagini, visto quanto dicevo sopra in "bold", se così fosse il "tuo" approccio non mi piace.
Però, se vuoi, mi piacerebbe capire cosa pensi ci sia da guadagnare rispetto a quello classico.

[Luca.Lussardi]

Se la funzione è definita solo su $(0,+\infty)$ e ivi vale $7$ (se ho capito bene) allora il limite destro in $0$ vale $7$ anche seguendo il mio approccio, poichè la funzione non è definita in $x=0$.

Proprio questo fatto che la definizione classica trascuri quanto fa la $f$ (eventualmente) nel punto non mi piace: l'idea di limite dovrebbe essere che se io mi avvicino al punto $x_0$ la $f$ si avvicina ad un certo valore $l$, ma nessuno mi deve dire come avvicinarmi ad $x_0$, perchè uno invece mi deve obbligare a chiudere gli occhi quando becco proprio $x_0$? Secondo me l'idea di limite deve coincidere con quella di continuità invece.

[Fioravante Patrone1]

"Luca.Lussardi":Se la funzione è definita solo su $(0,+\infty)$ e ivi vale $7$ (se ho capito bene) allora il limite destro in $0$ vale $7$ anche seguendo il mio approccio, poichè la funzione non è definita in $x=0$.

Proprio questo fatto che la definizione classica trascuri quanto fa la $f$ (eventualmente) nel punto non mi piace: l'idea di limite dovrebbe essere che se io mi avvicino al punto $x_0$ la $f$ si avvicina ad un certo valore $l$, ma nessuno mi deve dire come avvicinarmi ad $x_0$, perchè uno invece mi deve obbligare a chiudere gli occhi quando becco proprio $x_0$? Secondo me l'idea di limite deve coincidere con quella di continuità invece.

ok, grazie per la risposta.

Quindi se invece la $f$ era definita come, che so, $47$ in $0$, allora il limite non ci sarebbe stato.

Comunque, vedo che il "disaccordo" è tutto concentrato nella tua ultima frase.
Come hai visto, il mio punto di vista è diametralmente opposto. Per me l'idea di limite è importante e lo è proprio in quanto non mi dice nulla sulla continuità della funzione.

Ovviamente ho "ragione" io, in quanto non ha senso dare nomi diversi a concetti equivalenti

[Fioravante Patrone1]

"Sergio":
[1] Mi sa che questa è quell'affermazione di Fioravante, "ogni funzione è continua in un punto isolato", che mi è alquanto oscura....

Ormai dovrebbe essere chiaro, anzi, abbacinante.

Ho scritto sopra:
$f$ è continua in $x_0$ se e solo se $f(x_0) \in Lim_(xrarr x_0) f(x)$.
Aggiungendo a questo che in un punto isolato "qualunque robba" è limite, il gioco è fatto.


Al di là di questi giochetti formali, quel che è rilevante per me è il principio (la "filosofia" che ci sta dietro).
Il principio è che la continuità realizza un "matching" fra due cose distinte ed indipendenti: comportamento vicino a un punto e comportamento nel punto.
Se ho un punto isolato, il comportamento vicino non ha senso, per le persone normali.
Ma i matematici sanno che in realtà possono fare quello che vogliono in un punto isolato e se ne approfittano decidendo d'autorità che una funzione è continua in un punto isolato.
Come mai? Prego confrontare la farraginosità del teorema sul limite per funzioni composte rispetto alla semplicità paradisiaca (fin noiosa, intendo...) del teorema sulla continuità della funzione composta.

[Luca.Lussardi]

Capisco; io invece sono dell'idea che quando la funzione è definita in un punto l'idea di limite deve coincidere con quella di continuità. Il disaccordo alla fine è tutto qua, bene! Quanto ai nomi diversi ok, ma il limite diventa comunque una generalizzazione della continuità quando il punto non sta nel dominio di $f$, quindi non sono esattamente la stessa cosa.

Volevo solo ribadire una cosa importante: l'approccio che seguo io coincide con quello classico tutte le volte che il punto $x_0$ non sta nel dominio di $f$, dunque per praticamente tutte le applicazioni importanti della teoria dei limiti.

Detto ciò per conto mio la discussione forse è arrivata al capolinea, visto che è stato chiarito nettamente il punto di disaccordo.