Relazione fra limiti di funzioni e successioni
Ciao a tutti, qualcuno mi potrebbe dimostrare, o quantomeno spiegarmi, questo "teorema di collegamento" fra limite di funzioni e limite di succesioni.... io ci arrivo solo a livello intuitivo 
$\lim_{x\tox0} f(x)= L $ <=> $AA$ successione $ {Xn}tox0 $ si ha $ \lim_{n\to oo} f(Xn)=L$
Confido in voi! Grazie...
$\lim_{x\tox0} f(x)= L $ <=> $AA$ successione $ {Xn}tox0 $ si ha $ \lim_{n\to oo} f(Xn)=L$
Confido in voi! Grazie...
Risposte
"Sergio":Ho capito che hai capito una cosa che non capivi
Tornando alla definizione di continuità di Prodi, $f$ è continua in $x_0$ se (è definita in $x_0$ e) $x_0$ è un punto isolato, in quanto, quale che sia $f(x_0)$ e detto $V$ un qualsiasi intorno di $f(x_0)$, esiste sempre un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(U) sub V$: basta prendere un intorno di $x_0$ che contenga solo $x_0$!
E quindi, se ho capito, posso chiudere dopo aver capito una cosa che proprio non capivo
Un po' più seriamente, l'idea di dire che ogni funzione è continua in ogni punto isolato ha il pregio che emerge dall'approccio che citi tu: permette di avere una def di continuità "buona per tutte le stagioni". Infatti la "machinery" degli intorni funge benissimo. Ed è anche la ragione per cui si dimostra facilmente il teorema sulla continuità della funzione composta.
La definizione di limite di Prodi è quella classica: infatti richiedi che l'intorno non contenga il punto. Comunque sia non dovete convincermi a passare alla definizione classica; a me torna più intuitivo, semplice e funzionale l'approccio che seguo io (quando ero studente di analisi 1 venivo anche io dalla definizione classica ovviamente, e sono stato inizialmente contrario alla nozione di limite che mi hanno insegnato ad analisi 1; con il tempo ho appreso che era molto meglio per tanti motivi accettare quella come definizione).
Anche la definizione "mia" di continuità è così, tale e quale, così come quella classica. E' solo la definizione di limite che io adotto in modo diverso.
"Luca.Lussardi":
Per gugo82: seguendo il mio approccio basta un passaggio per risolvere quell'esercizio: il limite da destra non esiste, per cui la funzione data è discontinua in $x=0$.
Ok, mi stai dicendo che la funzione che propongo non ha alcun salto di discontinuità in $0$. Insomma, adottando la definizione di limite di Schwartz non riesco a dare una rappresentazione di una funzione come somma di una funzione continua ed una funzione di salto, cosa che è sempre possibile con la definizione classica.
Va bene, finiamola qui. Ognuno rimane con le sue convinzioni e convenzioni e così sia.
@ Luca.Lussardi: carino il tuo fascicolo Note sugli operatori lineari limitati in $L^p$!
@ Fioravante Petrone: al posto di "matching" preferisco "coincidenza", "abbinamento", "collimazione", "combaciamento", od un verbo come "abbina" od ancora una bella costruzione come "fa coincidere". In generale sono contrario all'uso di termini inglesi quando al posto di questi possono essere usati termini della nostra lingua, che è molto più varia e bella (ad esempio odio gli economisti o gli ingegneri che usano parole inglesi sistematicamente, senza nemmeno pensare che esistono degli equivalenti in italiano).
E poi mi confermi che con la definizione classica risulta $Lim_(xrarr x_0) f(x)=RR$ per $x_0$ isolato dell'insieme di definizione di $f$ (ovviamente se si intende $f$ come funzione a valori reali).
sorry for not matching your preferences about the language to be used.
Non so se sia "classica". Digo tan sólo que me gusta (neolatna). Io semplicemente prendo "verbatim" (questo è latino, eh!) la def di limite solita e ci tolgo (dialettismo), sic et simpliciter (idem), la restizione che il punto $x_0$ sia di accumulazione. Insomma, un maquillage (neolatina comunque) assolutamente minimale. до свидания (sorry, solo indoeuropea):evil:
"gugo82":
E poi mi confermi che con la definizione classica risulta $Lim_(xrarr x_0) f(x)=RR$ per $x_0$ isolato dell'insieme di definizione di $f$ (ovviamente se si intende $f$ come funzione a valori reali).
Non so se sia "classica". Digo tan sólo que me gusta (neolatna). Io semplicemente prendo "verbatim" (questo è latino, eh!) la def di limite solita e ci tolgo (dialettismo), sic et simpliciter (idem), la restizione che il punto $x_0$ sia di accumulazione. Insomma, un maquillage (neolatina comunque) assolutamente minimale. до свидания (sorry, solo indoeuropea):evil:
"Fioravante Patrone":
sorry for not matching your preferences about the language to be used.
"Fioravante Patrone":
[quote="gugo82"]
E poi mi confermi che con la definizione classica risulta $Lim_(xrarr x_0) f(x)=RR$ per $x_0$ isolato dell'insieme di definizione di $f$ (ovviamente se si intende $f$ come funzione a valori reali).
Non so se sia "classica". Digo tan sólo que me gusta (neolatna). Io semplicemente prendo "verbatim" (questo è latino, eh!) la def di limite solita e ci tolgo (dialettismo), sic et simpliciter (idem), la restizione che il punto $x_0$ sia di accumulazione. Insomma, un maquillage (neolatina comunque) assolutamente minimale. до свидания (sorry, solo indoeuropea):evil:[/quote]
AHAHAHAHAH! AHAHAHAHAH!
Scusa Sergio se rispondo senza aver letto tutto il thread e magari ripeto delle cose- peraltro avendo dicussso in passato con qualcuno dei personaggi che citi credo di avere un'idea della questione (anche se in questo momento mi puo' sfuggire qualche motivazione filosofica).
Per come ricordo le cose:
La definizione "alla De Giorgi" (io l'ho sentita da lui) riguarda il limite $\lim_{x\to x_0}f(x)=l$ e non modifica la definizione di continuita' .
Se $f(x_0)$ non esiste ($f$ non e' definita nel punto) allora la definizone e' la solita (implicando che $x_0$ e' di accumulazione).
Se $f(x_0)$ esiste allora l'unico possibile limite e' $f(x_0)$ e la definizione di limite equivale alla continuita' di $f$ in $x_0$ (quindi la def. di continuita' si puo' dare
dicendo che il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ e' $f(x_0)$, ma si potrebbe anche dire che $x_0$ e' nel dominio di $f$ e il limite esiste).
Il teorema di composizione dei limiti vale nell'enunciato "naif"
Tutto questo per il fatto di lasciare $x_0$ nell'intorno ...
Comunque - rileggendo meglio il tuo post
- credo di aver ripetuto quello che scrivi - che mi pare tutto giusto ( nel caso c) il "limite" non esiste).
Per come ricordo le cose:
La definizione "alla De Giorgi" (io l'ho sentita da lui) riguarda il limite $\lim_{x\to x_0}f(x)=l$ e non modifica la definizione di continuita' .
Se $f(x_0)$ non esiste ($f$ non e' definita nel punto) allora la definizone e' la solita (implicando che $x_0$ e' di accumulazione).
Se $f(x_0)$ esiste allora l'unico possibile limite e' $f(x_0)$ e la definizione di limite equivale alla continuita' di $f$ in $x_0$ (quindi la def. di continuita' si puo' dare
dicendo che il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ e' $f(x_0)$, ma si potrebbe anche dire che $x_0$ e' nel dominio di $f$ e il limite esiste).
Il teorema di composizione dei limiti vale nell'enunciato "naif"
Tutto questo per il fatto di lasciare $x_0$ nell'intorno ...
Comunque - rileggendo meglio il tuo post
- credo di aver ripetuto quello che scrivi - che mi pare tutto giusto ( nel caso c) il "limite" non esiste).
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