Problema di Cauchy
Ciao a tutti, devo trovare la soluzione a un problema di Cauchy, il problema è il seguente:
${(y^[(4)]-3y^[(3)]+2y''=0),(y(0)=y'(0)=0),(y''(0)=1),(y'''(0)=-1):}$, io l'ho risolto ma non capisco una cosa;
l'integrale generale è: $y(x)=c_1+c_2x+c_3e^(2x)+c_4e^(x)$ e da questo segue che:
$y'(x)=c_2+2c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
$y''(x)=4c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
$y^[(3)](x)=8c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
adesso il problema sta nel trovare le costanti, io ho messo a sistema l'equazione $c_1+c_2+c_3+c_4=0$ insieme alle altre tre, però da quest'equazione il libro non mette il termine $c_2$ lo trascura, io all'inizio pensavo che fosse stato solo un errore di distrazione però poi mi sono dovuto ricredere perchè non mi trovo con la soluzione del libro... se ometto il termine anche io allora mi trovo con la soluzione del libro... dove sto sbagliando???
${(y^[(4)]-3y^[(3)]+2y''=0),(y(0)=y'(0)=0),(y''(0)=1),(y'''(0)=-1):}$, io l'ho risolto ma non capisco una cosa;
l'integrale generale è: $y(x)=c_1+c_2x+c_3e^(2x)+c_4e^(x)$ e da questo segue che:
$y'(x)=c_2+2c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
$y''(x)=4c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
$y^[(3)](x)=8c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
adesso il problema sta nel trovare le costanti, io ho messo a sistema l'equazione $c_1+c_2+c_3+c_4=0$ insieme alle altre tre, però da quest'equazione il libro non mette il termine $c_2$ lo trascura, io all'inizio pensavo che fosse stato solo un errore di distrazione però poi mi sono dovuto ricredere perchè non mi trovo con la soluzione del libro... se ometto il termine anche io allora mi trovo con la soluzione del libro... dove sto sbagliando???
Risposte
Non mi è chiaro cosa significa che "il libro non mette il termine \(c_2\)".
Se fai il sistema delle 4 condizioni iniziali non viene?
Scrivi qualche conto in più magari...
Se fai il sistema delle 4 condizioni iniziali non viene?
Scrivi qualche conto in più magari...
volevo scrivere qualcosa in più però temevo che il messaggio diventasse una cosa estremamente lunga.... ecco come ho fatto io:
${(c_1+c_2+c_3+c_4=0),(c_2+2c_3+c_4=0),(4c_3+c_4=1),(8c_3+c_4=-1):}$ $rarr$ ${(-----),(-----),(4c_3-1-8c_3=1),(c_4=-1-8c_3):}$ $rarr$ ${(-----),(-----),(4c_3=-2),(c_4=-1-8c_3):}$ $rarr$ ${(-----),(-----),(c_3=-1/2),(c_4=-1+4):}$ $rarr$
${(c_1+c_2-1/2+3=0),(c_2-1+3=0),(c_3=-1/2),(c_4=3):}$$rarr$ ${(c_1-2-1/2+3=0),(c_2=-2),(c_3=-1/2),(c_4=3):}$ $rarr$ ${(c_1=1/2),(c_2=-2),(c_3=-1/2),(c_4=3):}$...
andano a sostituire in $y(x)=c_1+c_2x+c_3e^(2x)+c_4e^x$ ottengo: $y(x)= 1/2-2x-1/2e^(2x)+3e^x$ ma il risultato non è questo si deve trovare: $y(x)= -5/2-4x-1/2e^(2x)+3e^x$
andando a ricontrollare sul libro, manca un termine nella prima equazione del primo sistema ovvero manca il termine $c_2$ togliendo questo $c_2$ il risultato si trova...però non capisco perchè si teve togliere... oppure ho sbagliato io a fare qualche conto ma ho ricontrollato fino ad ora....
${(c_1+c_2+c_3+c_4=0),(c_2+2c_3+c_4=0),(4c_3+c_4=1),(8c_3+c_4=-1):}$ $rarr$ ${(-----),(-----),(4c_3-1-8c_3=1),(c_4=-1-8c_3):}$ $rarr$ ${(-----),(-----),(4c_3=-2),(c_4=-1-8c_3):}$ $rarr$ ${(-----),(-----),(c_3=-1/2),(c_4=-1+4):}$ $rarr$
${(c_1+c_2-1/2+3=0),(c_2-1+3=0),(c_3=-1/2),(c_4=3):}$$rarr$ ${(c_1-2-1/2+3=0),(c_2=-2),(c_3=-1/2),(c_4=3):}$ $rarr$ ${(c_1=1/2),(c_2=-2),(c_3=-1/2),(c_4=3):}$...
andano a sostituire in $y(x)=c_1+c_2x+c_3e^(2x)+c_4e^x$ ottengo: $y(x)= 1/2-2x-1/2e^(2x)+3e^x$ ma il risultato non è questo si deve trovare: $y(x)= -5/2-4x-1/2e^(2x)+3e^x$
andando a ricontrollare sul libro, manca un termine nella prima equazione del primo sistema ovvero manca il termine $c_2$ togliendo questo $c_2$ il risultato si trova...però non capisco perchè si teve togliere... oppure ho sbagliato io a fare qualche conto ma ho ricontrollato fino ad ora....
Ciao! E' l'equazione
\( c_1 +c_2+c_3+c_4=0\)
che non ha senso. Sostituiscila con l'equazione
\( y(0)=0.\)
\( c_1 +c_2+c_3+c_4=0\)
che non ha senso. Sostituiscila con l'equazione
\( y(0)=0.\)
Ci credo che il termine \(c_2\) manca: stai valutando \(c_2 x \) con \(x=0\)!
ah giusto!!!!! se non scoccio troppo vorrei farvi vedere un'altro problema, si tratta sempre di un problema di Cauchy solo che l'equazione differenziale è non omogenea a coefficienti costanti...l'esercizio è:
${(y''+y'=1),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$ io l'ho risolto così:
cerco l'equazione omogenea associata a quella data è:
$lambda^2+lambda=0$ le cui soluzioni sono $lambda=0$ e $lambda=-1$ quindi l'integrale generale è:
$y_0(x)=c_1+c_2 e^(-x)$
ora devo cercare l'integrale particolare, il libro dice che è uguale a:
$y_p(x)=Ax$
ma come ha fatto per far uscire $Ax$???che operazione???giro sul web da ieri ma non trovo qualcosa che mi aiuta a capire proprio come si fa, e sul libro nn si capisce molto...
non riesco a capire!!!
${(y''+y'=1),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$ io l'ho risolto così:
cerco l'equazione omogenea associata a quella data è:
$lambda^2+lambda=0$ le cui soluzioni sono $lambda=0$ e $lambda=-1$ quindi l'integrale generale è:
$y_0(x)=c_1+c_2 e^(-x)$
ora devo cercare l'integrale particolare, il libro dice che è uguale a:
$y_p(x)=Ax$
ma come ha fatto per far uscire $Ax$???che operazione???giro sul web da ieri ma non trovo qualcosa che mi aiuta a capire proprio come si fa, e sul libro nn si capisce molto...
non riesco a capire!!!
Se l'equazione differenziale fosse stata $z'+z=1$, tu quale avresti scelto come soluzione particolare?
se ho fatto bene i conti dovrebbe essere $y(x)=c_1e^(-x)-1$...
Cioè, per te $y_p(x) = c_1 * e^-x -1$?
mi sembra di essere tornato all'asislo 
ahahahah
sceglierei $x=0$...
ahahahah sceglierei $x=0$...
Io direi che una soluzione particolare di $z' +z=1$ si può trovare partendo da $z_p(x) = c_1$
Si ha $z_p ' (x) = 0$, dunque $z_p ' +z_p = 0+c_1$. DUnque $c_1 =1$.
Ecco, una soluzione particolare di $z' +z=1$ è $z_p(x) = 1$
Si ha $z_p ' (x) = 0$, dunque $z_p ' +z_p = 0+c_1$. DUnque $c_1 =1$.
Ecco, una soluzione particolare di $z' +z=1$ è $z_p(x) = 1$
ho capito quasi tutto, l'ultimo dubbio è perchè hai scelto $z_p(x)=c_1$?
cioè il problema sta proprio nel scegliere $z_p(x)=c_1$ (il resto l'ho capito nel tuo ultimo post)...
cioè il problema sta proprio nel scegliere $z_p(x)=c_1$ (il resto l'ho capito nel tuo ultimo post)...
Quando $f(x)$ è un polinomio di grado $n$ si cerca una soluzione particolare di grado $n$.
Nel nostro caso $f(x)=1$, dunque è un polinomio di grado $0$. Ho cercato come soluzione particolare un polinomio di grado $0$ generico.
Tornando al tuo problema: $y'' +y' =1$
Qui c'è una peculiarità in più: non c'è il termine in $y$.
In questo caso, quando $f(x)$ è un polinomio di grado $n$ si cerca una soluzione particolare di grado $n+1$.
Cioè si cerca una soluzione del tipo $y_p = Ax+B$
Nel nostro caso $f(x)=1$, dunque è un polinomio di grado $0$. Ho cercato come soluzione particolare un polinomio di grado $0$ generico.
Tornando al tuo problema: $y'' +y' =1$
Qui c'è una peculiarità in più: non c'è il termine in $y$.
In questo caso, quando $f(x)$ è un polinomio di grado $n$ si cerca una soluzione particolare di grado $n+1$.
Cioè si cerca una soluzione del tipo $y_p = Ax+B$
ma il fatto che le radici dell'omogenea associata a quella data sono reali e distinte non c'entra nulla? perchè il libro dice:
"Una soluzione particolare è (caso radici reali distinte):
$y_p(x)=Ax$ ..."
cioè manca la $B$...
"Una soluzione particolare è (caso radici reali distinte):
$y_p(x)=Ax$ ..."
cioè manca la $B$...
"domy90":Lo stesso libro dovrebbe spiegare anche il motivo (nella sezione di teoria)
...perchè il libro dice:
"Una soluzione particolare è (caso radici reali distinte):
$y_p(x)=Ax$ ..."
Non è che non voglio spiegarti la cosa, è che non è così immediata.
Aggiungo: prova a dare un'occhiata qui.
Non mi sembra troppo complicato
@domy90: quello che il libro fa è utilizzare un teorema chiamato "metodo di somiglianza", che riassume la forma della soluzione particolare di un'ODE in base alla forma della forzante.
http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/co ... lianza.pdf
http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/co ... lianza.pdf
Scusate se disturbo sempre, volevo chiedere un chiarimento per un altro esercizio, l'esercizio è:
${(y''-2y'+y=sinx),(y(0)=0),(y'(0)=-1):}$ le soluzioni dell'associata sono $lambda_12=1$ l'integrale generale è $y_0(x)=c_1e^x+c_2xe^x$
l'integrale particolare è di questo tipo: $y_p(x)=Acosx+Bsinx$ le cui rispettive derivate prime e seconde sono:
$y'_p(x)=-Asinx+Bcosx$
$y''_p(x)=-Acosx-Bsinx$
e si ottiene:
$y'_p(x)-2y'_p(x)+y_p(x)= 2Asinx-2Bcosx$
da cui ne segue che:
$2Asinx-2Bcosx=sinx$
fino a questo punto mi trovo, poi si devono cercare le costanti $A$ e $B$ allora il libro procede nel mettere a sistema:
${(2A=0),(-2B=1):}$ ora mi chiedo perchè ha scelto di uguagliare a zero ed a uno la prima è la seconda?
${(y''-2y'+y=sinx),(y(0)=0),(y'(0)=-1):}$ le soluzioni dell'associata sono $lambda_12=1$ l'integrale generale è $y_0(x)=c_1e^x+c_2xe^x$
l'integrale particolare è di questo tipo: $y_p(x)=Acosx+Bsinx$ le cui rispettive derivate prime e seconde sono:
$y'_p(x)=-Asinx+Bcosx$
$y''_p(x)=-Acosx-Bsinx$
e si ottiene:
$y'_p(x)-2y'_p(x)+y_p(x)= 2Asinx-2Bcosx$
da cui ne segue che:
$2Asinx-2Bcosx=sinx$
fino a questo punto mi trovo, poi si devono cercare le costanti $A$ e $B$ allora il libro procede nel mettere a sistema:
${(2A=0),(-2B=1):}$ ora mi chiedo perchè ha scelto di uguagliare a zero ed a uno la prima è la seconda?
Qual è il coefficiente di $\sin x$ a destra e sinistra? E quello di $\cos x$? Lo sai che $\sin x,\ \cos x$ sono linearmente indipendenti?
il coefficiente a destra e a sinistra del seno è: a sinistra è $2A$ e a destra è $1$
del coseno invece a sinistra è $-2B$ e al secondo membro non c'è... Per la terza domanda, sapevo che fossero linearmente indipendenti e che in uno spazio V formano una base di V....
del coseno invece a sinistra è $-2B$ e al secondo membro non c'è... Per la terza domanda, sapevo che fossero linearmente indipendenti e che in uno spazio V formano una base di V....
chiedo scusa, ho un altro esercizio di cui non capisco perchè non si trova, l'equazione differenziale è:
$y''+y=x cos(2x)$
l'equazione caratteristica ha come soluzione $λ_12= +-i$
l'integrale generale è del tipo:
$y(x)=c_1cosx+c_2sinx$
ora l'integrale particolare è del tipo:
$y_p(x)= x[Acos(2x)+Bsin(2x)]$ e andiamo a cercare la derivata seconda:
$y'_p(x)= Acos(2x)+Bsin(2x)-2Axsin(2x)+2Bxcos(2x)$
$y''_p(x)= -4Asin(2x)+4Bcos(2x)-4Ax cos(2x)-4Bxsin(2x)$
e deve aversi che : $y'_p(x)+y_p(x)=x cos(2x)$ e perciò ottengo:
$-4Asin(2x)+4Bcos(2x)-3Axcos(2x)-3Bxsin(2x)= x cos(2x)$
però quando vado a cercare le costanti:
${(-4A+4B=0),(-3A-3B=1):}$
e non si trova, come risultato mi esce che $A=-1/6$ e $B=-1/6$...
la soluzione dell'equazione differenziale è $y(x)=c_1cosx+c_2sinx+1/9[4sin(2x)-3x cos(2x)]$ sto ricontrollando da almeno 2 ore, però non capisco cosa sbaglio, eppure l'integrale particolare mi sa che è giusto e anche le derivate sono corrette, però non capisco perchè non si trova, come posso fare?????
$y''+y=x cos(2x)$
l'equazione caratteristica ha come soluzione $λ_12= +-i$
l'integrale generale è del tipo:
$y(x)=c_1cosx+c_2sinx$
ora l'integrale particolare è del tipo:
$y_p(x)= x[Acos(2x)+Bsin(2x)]$ e andiamo a cercare la derivata seconda:
$y'_p(x)= Acos(2x)+Bsin(2x)-2Axsin(2x)+2Bxcos(2x)$
$y''_p(x)= -4Asin(2x)+4Bcos(2x)-4Ax cos(2x)-4Bxsin(2x)$
e deve aversi che : $y'_p(x)+y_p(x)=x cos(2x)$ e perciò ottengo:
$-4Asin(2x)+4Bcos(2x)-3Axcos(2x)-3Bxsin(2x)= x cos(2x)$
però quando vado a cercare le costanti:
${(-4A+4B=0),(-3A-3B=1):}$
e non si trova, come risultato mi esce che $A=-1/6$ e $B=-1/6$...
la soluzione dell'equazione differenziale è $y(x)=c_1cosx+c_2sinx+1/9[4sin(2x)-3x cos(2x)]$ sto ricontrollando da almeno 2 ore, però non capisco cosa sbaglio, eppure l'integrale particolare mi sa che è giusto e anche le derivate sono corrette, però non capisco perchè non si trova, come posso fare?????
Non ho sotto mano una tabella delle forzanti, però ad occhio ti direi di controllare se la soluzione particolare è davvero quella.
Io piuttosto scriverei una cosa del tipo \(y_p = (x + a) (b\cos(2x) + c\sin(2x))\), però sto andando ad intuito: per verificare devi prendere una tabella del metodo di somiglianza...
Io piuttosto scriverei una cosa del tipo \(y_p = (x + a) (b\cos(2x) + c\sin(2x))\), però sto andando ad intuito: per verificare devi prendere una tabella del metodo di somiglianza...
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