Problema di Cauchy
Ciao a tutti, devo trovare la soluzione a un problema di Cauchy, il problema è il seguente:
${(y^[(4)]-3y^[(3)]+2y''=0),(y(0)=y'(0)=0),(y''(0)=1),(y'''(0)=-1):}$, io l'ho risolto ma non capisco una cosa;
l'integrale generale è: $y(x)=c_1+c_2x+c_3e^(2x)+c_4e^(x)$ e da questo segue che:
$y'(x)=c_2+2c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
$y''(x)=4c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
$y^[(3)](x)=8c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
adesso il problema sta nel trovare le costanti, io ho messo a sistema l'equazione $c_1+c_2+c_3+c_4=0$ insieme alle altre tre, però da quest'equazione il libro non mette il termine $c_2$ lo trascura, io all'inizio pensavo che fosse stato solo un errore di distrazione però poi mi sono dovuto ricredere perchè non mi trovo con la soluzione del libro... se ometto il termine anche io allora mi trovo con la soluzione del libro... dove sto sbagliando???
${(y^[(4)]-3y^[(3)]+2y''=0),(y(0)=y'(0)=0),(y''(0)=1),(y'''(0)=-1):}$, io l'ho risolto ma non capisco una cosa;
l'integrale generale è: $y(x)=c_1+c_2x+c_3e^(2x)+c_4e^(x)$ e da questo segue che:
$y'(x)=c_2+2c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
$y''(x)=4c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
$y^[(3)](x)=8c_3e^(2x)+c_4e^(x)$
adesso il problema sta nel trovare le costanti, io ho messo a sistema l'equazione $c_1+c_2+c_3+c_4=0$ insieme alle altre tre, però da quest'equazione il libro non mette il termine $c_2$ lo trascura, io all'inizio pensavo che fosse stato solo un errore di distrazione però poi mi sono dovuto ricredere perchè non mi trovo con la soluzione del libro... se ometto il termine anche io allora mi trovo con la soluzione del libro... dove sto sbagliando???
Risposte
la tabella che ho io dice nel caso in cui:
$f(x)= K_1cos(omega x)+K_2sin(omegax)$ la forma in cui si cerca l'integrale particolare è del tipo:
$y_p(x)=Acos(omega x)+Bsin(omegax)$, con $omega$, $A$ e $B $ da determinarsi;
poi fa un osservazione e dice nel caso in cui $f$ ha soltanto uno degli addendi (seno o coseno) in genere la soluzione li ha entrambi. Se b=0 può accadere che $Acos(omega x)+Bsin(omegax)$ sia soluzione dell'omogenea:
in tal caso, cercare soluzione $x[Acos(omega x)+Bsin(omegax)]$. Ecco perchè ho scritto che è quello....
la tabella è questa:
http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=& ... UAmVgBgU1A
$f(x)= K_1cos(omega x)+K_2sin(omegax)$ la forma in cui si cerca l'integrale particolare è del tipo:
$y_p(x)=Acos(omega x)+Bsin(omegax)$, con $omega$, $A$ e $B $ da determinarsi;
poi fa un osservazione e dice nel caso in cui $f$ ha soltanto uno degli addendi (seno o coseno) in genere la soluzione li ha entrambi. Se b=0 può accadere che $Acos(omega x)+Bsin(omegax)$ sia soluzione dell'omogenea:
in tal caso, cercare soluzione $x[Acos(omega x)+Bsin(omegax)]$. Ecco perchè ho scritto che è quello....
la tabella è questa:
http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=& ... UAmVgBgU1A
Beh ok, ma in questo caso hai una \(x\) lì davanti!
però mi sa che hai ragione perchè la mia $f(x)= x* cos(2x)$ quindi devo trattarlo come come se ci fosse un polinomio con il coseno, se provassi ad usare il principio di sovrapposizione delle soluzioni??? 
scrivendo:
$y_p(x)=y^[(1)]_p(x)+y^[(2)]_p(x)$ con:
$y^[(1)]_p(x)= Ax+B$ ed
$y^[(2)]_p(x)= x[Ccos(2x)+Dsin(2x)]$
scrivendo:$y_p(x)=y^[(1)]_p(x)+y^[(2)]_p(x)$ con:
$y^[(1)]_p(x)= Ax+B$ ed
$y^[(2)]_p(x)= x[Ccos(2x)+Dsin(2x)]$
Non puoi usare la sovrapposizione perché la \(x\) ed il coseno sono moltiplicati, non sommati.
Ah si giusto pensavo che fosse la stessa cosa... Quindi devo usare l'integrale particolare che mi hai suggerito, ma come hai fatto a trovare quel tipo integrale particolare?
Come ho scritto anche sopra [sono sicuro di non parlare arabo, ho controllato] non sono affatto sicuro che quella sia la forma dell'integrale particolare, ho solo ipotizzato che possa essere quella lì!
hai ragione scusami, il fatto è che ci sto sopra da tanto tempo e cerco ogni strada possibile....
Mi hanno suggerito di provare $y_p(x)=x(Acos(2x))+Bsin(2x)$; così facendo si trova, però non capito una cosa, forse facendo questo esempio capisco:
se $f(x)$ fosse stata uguale a : $x *sin(2x)$ allora in questo caso $y_p(x)= A cos(2x)+x(B sin(2x))$???
Mi hanno suggerito di provare $y_p(x)=x(Acos(2x))+Bsin(2x)$; così facendo si trova, però non capito una cosa, forse facendo questo esempio capisco:
se $f(x)$ fosse stata uguale a : $x *sin(2x)$ allora in questo caso $y_p(x)= A cos(2x)+x(B sin(2x))$???
Non lo so XD
Bisogna vedere la forma generale della soluzione particolare associata a quella forzante!
Magari, riesci comunque ad uscirne con qualche formula che trasforma il seno in un coseno [tipo formule degli archi associati].
Bisogna vedere la forma generale della soluzione particolare associata a quella forzante!
Magari, riesci comunque ad uscirne con qualche formula che trasforma il seno in un coseno [tipo formule degli archi associati].
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