Ortogonalità
Salve, vorrei cortesemente sapere quali sono le condizioni che assicurano l'ortogonalità tra due funzioni.
In particolare avrei bisogno di trovare le condizioni che mi assicurino che la seguente funzione:
$ f(x(t),y(j)) $
sia ortogonale a t.Ovvero il mio obiettivo sarebbe quello di trovare quella j che rende vera la condizione di ortogonalità.
In particolare avrei bisogno di trovare le condizioni che mi assicurino che la seguente funzione:
$ f(x(t),y(j)) $
sia ortogonale a t.Ovvero il mio obiettivo sarebbe quello di trovare quella j che rende vera la condizione di ortogonalità.
Risposte
Ma ortogonali rispetto a quale prodotto scalare? E in quale spazio?
non capisco cosa intendi per "rispetto a quale prodotto scalare". per lo spazio sia t che che j sono in R mentre sia x che y sono in un sottoinsieme compatto di R+.
Mi servirebbe ottenere la j tale che la funzione f rimanga costante indipendentemente da x(t) (e quindi anche da t suppongo).
Mi servirebbe ottenere la j tale che la funzione f rimanga costante indipendentemente da x(t) (e quindi anche da t suppongo).
dunque ho pensato che una condizione di ortogonalità fosse necessaria per raggiungere il mio scopo.
forse il prodotto scalare in questione potrebbe essere
$ int_(-oo)^(+oo) t*f(x(t),y(j)) dt$
forse il prodotto scalare in questione potrebbe essere
$ int_(-oo)^(+oo) t*f(x(t),y(j)) dt$
"gabriele81":
non capisco cosa intendi per "rispetto a quale prodotto scalare". per lo spazio sia t che che j sono in R mentre sia x che y sono in un sottoinsieme compatto di R+.
Mi servirebbe ottenere la j tale che la funzione f rimanga costante indipendentemente da x(t) (e quindi anche da t suppongo).
Non esiste un solo prodotto scalare, ce ne possono essere molti. Ecco perché chiedo. Tu dopo introduci il prodotto scalare come integrale e va bene, ma prima non lo hai specificato. Inoltre, come sono fatte le $f$? Su quale insieme sono definite? Cos'è $j$? Ti rendi conto che stai chiedendo delle cose dando per scontato che chi legga sappia chi sei, come ti chiami, quando tu sia nato, i tuoi gusti di gelato preferiti e quanle sia il tuo film del cuore?
Ciampax innanzitutto vorrei ringraziarti per l'attenzione che mi stai concedendo. Purtroppo a volte mi capita di essere intrappolato in questioni di carattere matematico di cui non ho avuto mai modo di approfondire e come ti sarai accorto non sono un matematico, ho un approccio più intuitivo al problema ed è proprio per questo motivo che chiedo 
Sto tentando di scrivere un paper di economia su un problema che richiede questo tipo di soluzione. La f te la dico subito, è la seguente:
$f(x(t),y(j))= |x(t)-y(j)| / 2-(x(t))/2+(y(j))/2 $
in realtà
dove
$ j in R $ , $ t in R $ , $ x(t) in R+ $ , $ y(j) in R+ $
se manca qualcosa fammelo sapere
quello che mi chiedevo è se esiste un modo generico ( quindi senza specificare x(t) e y(j) tale che scegliendo una i tale che j= i tale f risulti essere ortogonale a t (cioè intendo tale che f sia capace di restituire un numero che rimane costante indipendentemente dalla scelta di t oppure x(t))
Sto tentando di scrivere un paper di economia su un problema che richiede questo tipo di soluzione. La f te la dico subito, è la seguente:$f(x(t),y(j))= |x(t)-y(j)| / 2-(x(t))/2+(y(j))/2 $
in realtà
dove
$ j in R $ , $ t in R $ , $ x(t) in R+ $ , $ y(j) in R+ $
se manca qualcosa fammelo sapere
quello che mi chiedevo è se esiste un modo generico ( quindi senza specificare x(t) e y(j) tale che scegliendo una i tale che j= i tale f risulti essere ortogonale a t (cioè intendo tale che f sia capace di restituire un numero che rimane costante indipendentemente dalla scelta di t oppure x(t))
E la tua richiesta è di avere ortogonalità rispetto alla funzione $g(t)=t$ giusto? Bene, l'integrale che hai scritto è corretto, tuttavia a meno che le funzioni $x(t)$, $y(j)$ non abbiano qualche altra proprietà la vedo dura riuscire ad ottenere una condizione utile. Ad esempio, tanto per dirne una molto banale, poiché tu vuoi che
$\int_{-\infty}^{+\infty} t\cdot f(x(t),y(j))\ dt=0$
dovresti come minimo assicurarti l'integrabilità della funzione, il che implica almeno una condizione del tipo $t\cdot f(x(t),y(j))\sim 1/t^\alpha$ con $\alpha>1$, da cui segue $f(x(t),y(j))\sim 1/t^{\alpha+1}$ e di conseguenza, data la natura della tua funzione, che $x(t)\sim1/t^{\alpha+1}$. Ora la mia domanda è: siamo certi che l'rotgonalità tu debba definirla su tutto $RR$ e non, ad esempio, su un intervallo del tipo $[0,T)$?
$\int_{-\infty}^{+\infty} t\cdot f(x(t),y(j))\ dt=0$
dovresti come minimo assicurarti l'integrabilità della funzione, il che implica almeno una condizione del tipo $t\cdot f(x(t),y(j))\sim 1/t^\alpha$ con $\alpha>1$, da cui segue $f(x(t),y(j))\sim 1/t^{\alpha+1}$ e di conseguenza, data la natura della tua funzione, che $x(t)\sim1/t^{\alpha+1}$. Ora la mia domanda è: siamo certi che l'rotgonalità tu debba definirla su tutto $RR$ e non, ad esempio, su un intervallo del tipo $[0,T)$?
Hai colto in pieno il mio problema! Anche io la vedo dura riuscire ad ottenere una condizione "gestibile" in questo modo. Bhe si potrebbe separare l'intervallo in due sottogruppi da $0$ a $T$ e da $0$ a $-T$ con $T-> oo $ che tende ad infinito, e verificare l'ipotesi di indipendenza in entrambi i gruppi perchè cio non contrasterebbe con la mia teoria. ma mi sfugge come mi potrebbe aiutare. Pensavo che si potesse sfruttare qualche teorema di analisi funzionale?(che probabilmente a me risulta ignoto).
P.S. cosa intendi con la tilde?
P.S. cosa intendi con la tilde?
secondo voi ha senso affermare che essendo la funzione $f(x(t),y(j)$ con $j=i$ ortogonale a $t$ allora la funzione dovrà risultare costante per ogni $t$ e quindi sfruttando il teorema della funzione implicita possiamo calcolarci
$ (del j)/(del t) $ in j=i
se il risultato di tale derivata fosse 0 indipendentemente da $t$ allora, possiamo affermare che $f$ è ortogonale a $t$ per $j=i$?
$ (del j)/(del t) $ in j=i
se il risultato di tale derivata fosse 0 indipendentemente da $t$ allora, possiamo affermare che $f$ è ortogonale a $t$ per $j=i$?
Non ti seguo: perché dovrebbe essere vero che la funzione è ortogonale quando $j=i$? Comunque $\sim$ rappresenta l'equivalenza asintotica.
per tre motivi sostanzialmente :
1) se $f(x(t),y(j))$ risultasse costante quando $j=i$ allora vuol dire che modificando t il risultato non cambierebbe
2) se ciò è vero, cioè se $f$ risultasse costante per $j=i$, allora potremmo utilizzare il teorema di Dini per calcolarci in quel punto come $j$ dovrebbe cambiare rispetto ad una variazione infinitesima di $t$
3) data la condizione di ortogonalità ci dovremmo aspettare che ad una variazione di $t$ non corrisponda una variazione di $j$ quando siamo in corrispondenza di $j=i$.
Di questo ultimo passaggio sono fortemente in dubbio
1) se $f(x(t),y(j))$ risultasse costante quando $j=i$ allora vuol dire che modificando t il risultato non cambierebbe
2) se ciò è vero, cioè se $f$ risultasse costante per $j=i$, allora potremmo utilizzare il teorema di Dini per calcolarci in quel punto come $j$ dovrebbe cambiare rispetto ad una variazione infinitesima di $t$
3) data la condizione di ortogonalità ci dovremmo aspettare che ad una variazione di $t$ non corrisponda una variazione di $j$ quando siamo in corrispondenza di $j=i$.
Di questo ultimo passaggio sono fortemente in dubbio
Continuo a non seguire il tuo ragionamento.
ora parlo in generale:
se ho compreso bene il teorema di Dini, esso ci dice, avendo una funzione in $R2$ e partendo da un punto della funzione, di quanto una delle due variabili deve modificarsi al variare infinitesimo dell'altra, in un particolare level set (cioè lasciando costante il valore della funzione di partenza)
dunque
ritornando alla mia funzione.
vediamo se sbaglio:
1) se stiamo imponendo la condizione di ortogonalità della mia funzione rispetto a t possiamo affermare che esso non varia in t ?
2) ipotizziamo che esista una "sola" j=i tale che la nostra f rimanga costante in t allora il teorema di Dini non ci dovrebbe permettere di individuare questa $i$ se sarà vero che la derivata $ (del j)/(del t)=0 $ quando $j=i$ $ AA t $?
Il motivo è: a) che il level set rimane lo stesso $ AA t $ ( quindi possiamo partire da qualunque valore di t) b) che se si modificasse la j al variare di t nel level set quando j=i vorrebbe dire che in quel punto t ha ancora la capacità di modificare la funzione f e quindi si deduce che non è ortogonale ad esso.
Sbaglio?
se ho compreso bene il teorema di Dini, esso ci dice, avendo una funzione in $R2$ e partendo da un punto della funzione, di quanto una delle due variabili deve modificarsi al variare infinitesimo dell'altra, in un particolare level set (cioè lasciando costante il valore della funzione di partenza)
dunque
ritornando alla mia funzione.
vediamo se sbaglio:
1) se stiamo imponendo la condizione di ortogonalità della mia funzione rispetto a t possiamo affermare che esso non varia in t ?
2) ipotizziamo che esista una "sola" j=i tale che la nostra f rimanga costante in t allora il teorema di Dini non ci dovrebbe permettere di individuare questa $i$ se sarà vero che la derivata $ (del j)/(del t)=0 $ quando $j=i$ $ AA t $?
Il motivo è: a) che il level set rimane lo stesso $ AA t $ ( quindi possiamo partire da qualunque valore di t) b) che se si modificasse la j al variare di t nel level set quando j=i vorrebbe dire che in quel punto t ha ancora la capacità di modificare la funzione f e quindi si deduce che non è ortogonale ad esso.
Sbaglio?
Forse non ci siamo capiti su un fatto. Supponiamo che $f(x(t),y(j))=c$ costante, come dici. Allora
$\int_a^b t\cdot c\ dt=c/2(b^2-a^2)\ne 0$
ameno che non sia $|b|=|a|$. Per cui, in generale, non può essere possibile che la funzione sia costante per darti ortogonalità. In ogni caso siamo al punto di partenza: non espliciti chiaramente cosa stai studiando, perché, su quale insieme di funzioni sei ecc...
Non si fanno così le cose in matematica!
$\int_a^b t\cdot c\ dt=c/2(b^2-a^2)\ne 0$
ameno che non sia $|b|=|a|$. Per cui, in generale, non può essere possibile che la funzione sia costante per darti ortogonalità. In ogni caso siamo al punto di partenza: non espliciti chiaramente cosa stai studiando, perché, su quale insieme di funzioni sei ecc...
Non si fanno così le cose in matematica!
Potresti spiegarti meglio? Credo di non aver compreso come tu abbia calcolato l'integrale.
dal mio punto di vista di "economista" l'integrale che tu hai scritto farebbe
$ int_(a)^(b) tcdt=c/2(b^2-a^2) $
quindi il risultato può essere pari a zero quandoo $c=0$ oppure con c numero finito quando $ |a| =|b| $
proprio come nel mio caso in cui $a=-oo$ mentre $b=oo$
dal mio punto di vista di "economista" l'integrale che tu hai scritto farebbe
$ int_(a)^(b) tcdt=c/2(b^2-a^2) $
quindi il risultato può essere pari a zero quandoo $c=0$ oppure con c numero finito quando $ |a| =|b| $
proprio come nel mio caso in cui $a=-oo$ mentre $b=oo$
Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh sacrilegio! Secondo te $\int_{-\infty}^{+\infty} t\ dt=0$??????????? ma dico, siamo matti????? Ma lo sai quali sono le regole affinché un integrale converga?
P.S.: corretto sopra!
P.S.: corretto sopra!
continuo a non capirti, se ti trovi con me che la funzione ha il seguente risultato
$ int_(a)^(b) tcdt=c/2*(b^2-a^2) $
e se sappiamo che a tende $-oo$ e b tende a più $+oo$ allora possiamo anche scrivere che
$lim_(b -> oo) int_(-b)^(b) tcdt=lim_(b -> oo)c/2*(b^2-(-b)^2) $
da cui
poichè $ b^2=(-b)^2$
allora risulta pacifico che
$lim_(b -> oo)c/2*(b^2-b^2)^2$ = $lim_(b -> oo) c/2*(0)=0 $
scusami ma qual è l'errore
$ int_(a)^(b) tcdt=c/2*(b^2-a^2) $
e se sappiamo che a tende $-oo$ e b tende a più $+oo$ allora possiamo anche scrivere che
$lim_(b -> oo) int_(-b)^(b) tcdt=lim_(b -> oo)c/2*(b^2-(-b)^2) $
da cui
poichè $ b^2=(-b)^2$
allora risulta pacifico che
$lim_(b -> oo)c/2*(b^2-b^2)^2$ = $lim_(b -> oo) c/2*(0)=0 $
scusami ma qual è l'errore
che hai una forma indeterminata $\infty-\infty$????? Ma insomma, ma sai calcolare i segni?????
Ma che dici?
Il fatto che l'integrale non converga non significa che io ho torto!
Fai una cosa informati meglio: leggiti questi link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +to+%2Binf
http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_pri ... _di_Cauchy
http://books.google.it/books?id=ArFX62H ... hy&f=false
Il fatto che l'integrale non converga non significa che io ho torto!
Fai una cosa informati meglio: leggiti questi link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +to+%2Binf
http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_pri ... _di_Cauchy
http://books.google.it/books?id=ArFX62H ... hy&f=false
Ciccio, io questa roba la insegno. Se ti dico che stai dicendo una cavolata, fidati che è così!
Il primo link ti dà il valore principale di Cauchy di quell'integrale, ma il problema è che quella roba NON si può integrare! Tu dovresti imparare: 1) cos'è un integrale di Riemann (o di Lebesgue); 2) cos'è un integrale improprio; 3) quali sono le condizioni di integrabilità all'infinito; 4) cos'è il valore principale di Cauchy (che NON è l'integrale).
Detto questo, ripeto nuovamente ciò che ti ho già scritto: non stai specificando cosa, come, perché, dove e quando! La Matematica non si fa così! E per quanto mi riguarda, puoi andare a chiedere consiglio all'ignorante che ti ha spiegato in maniera così becera il calcolo integrale. Arrivederci!
Il primo link ti dà il valore principale di Cauchy di quell'integrale, ma il problema è che quella roba NON si può integrare! Tu dovresti imparare: 1) cos'è un integrale di Riemann (o di Lebesgue); 2) cos'è un integrale improprio; 3) quali sono le condizioni di integrabilità all'infinito; 4) cos'è il valore principale di Cauchy (che NON è l'integrale).
Detto questo, ripeto nuovamente ciò che ti ho già scritto: non stai specificando cosa, come, perché, dove e quando! La Matematica non si fa così! E per quanto mi riguarda, puoi andare a chiedere consiglio all'ignorante che ti ha spiegato in maniera così becera il calcolo integrale. Arrivederci!
L'ho detto sin dall'inizio di non aver studiato alla facoltà di matematica, altrimenti non avrei avuto bisogno di fare domande!Ma ne so molto più di quanto tu possa immaginare. Quello che mi risulta avvilente è che tu che insegni queste cose sia stato capace di sbagliare un semplice integrale immediato che ti ho dovuto correggere io! poveri alunni. 
comunque mi dispiace che tu abbia chiuso la discussione in questo modo, ma vedo che non c'è verso di ricevere risposte. Arrivederci 
comunque mi dispiace che tu abbia chiuso la discussione in questo modo, ma vedo che non c'è verso di ricevere risposte. Arrivederci
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