Operazioni con taylor, aiuto
Non so ancora destreggiarmi correttamente con le operazioni con gli sviluppi di mclaurin. Leggendo degli appunti su internet, c'è scritto, riguardo il prodotto dello sviluppo di mclaurin di due funzioni:
Siano $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ , $g(x) = Q_n(x) + o(x^n)$ i due sviluppi di ordine n di f e di g;
vogliamo lo sviluppo del prodotto fg.
$f(x)g(x) = [P_n(x)+o(x^n)]·[Q_n(x)+o(x^n)]$
$=P_n(x)Q_n(x)+P_n(x)o(x^n)+Q_n(x)o(x^n)+o(x^n)o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n) + o(x^n) + o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n)$.
Non ho capito perchè il penultimo membro della moltiplicazione è scritto in questo modo, cioè da dove vemgono fuori quei tre $o(x^n)$? Grazie per l'aiuto
Siano $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ , $g(x) = Q_n(x) + o(x^n)$ i due sviluppi di ordine n di f e di g;
vogliamo lo sviluppo del prodotto fg.
$f(x)g(x) = [P_n(x)+o(x^n)]·[Q_n(x)+o(x^n)]$
$=P_n(x)Q_n(x)+P_n(x)o(x^n)+Q_n(x)o(x^n)+o(x^n)o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n) + o(x^n) + o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n)$.
Non ho capito perchè il penultimo membro della moltiplicazione è scritto in questo modo, cioè da dove vemgono fuori quei tre $o(x^n)$? Grazie per l'aiuto
Risposte
Devi pensare a cosa c'è dentro gli $o(x^n)$. A parte la definizione (che puoi guardare e studiare per bene nel post di gugo), praticamente quando usi gli o piccoli negli sviluppi di McLaurin accade che puoi scrivere così:
[tex]$o(x^n)=x^n\cdot F(x)$[/tex]
dove $F(x)=o(1)$ il che vuol dire che, se fosse possibile svilupparla, essa avrebbe un primo termine della forma $ax^\alpha$ con $\alpha>0$. In pratica in $o(x^n)$ ci sono potenze di $x$ "più grandi" dell'ultima potenza scritta (la potenza $n$ in questo caso). Cosa succede allora nei tre termini che "avanzano"? Bé, come puoi capire da solo, dal momento che $P_n,\ Q_n$ sono polinomi di grado $n$ e quindi, in generale, posseggono il termine costante, il loro prodotto con $o(x^n)$ ha come potenza più bassa il prodotto tra il loro termine costante e la potenza più bassa di $o(x^n)$: questo implica che anche essi, in generale, sono del tipo $o(x^n)$ e quindi puoi "riassorbirli". (Spero sia chiaro).
[tex]$o(x^n)=x^n\cdot F(x)$[/tex]
dove $F(x)=o(1)$ il che vuol dire che, se fosse possibile svilupparla, essa avrebbe un primo termine della forma $ax^\alpha$ con $\alpha>0$. In pratica in $o(x^n)$ ci sono potenze di $x$ "più grandi" dell'ultima potenza scritta (la potenza $n$ in questo caso). Cosa succede allora nei tre termini che "avanzano"? Bé, come puoi capire da solo, dal momento che $P_n,\ Q_n$ sono polinomi di grado $n$ e quindi, in generale, posseggono il termine costante, il loro prodotto con $o(x^n)$ ha come potenza più bassa il prodotto tra il loro termine costante e la potenza più bassa di $o(x^n)$: questo implica che anche essi, in generale, sono del tipo $o(x^n)$ e quindi puoi "riassorbirli". (Spero sia chiaro).
Ti faccio prima una domanda: un polinomio deve avere necessariamente un termine costante? (non me lo ricordo).
Quindi, ricapitolando, del prodotto fra il polinomio P e il polinomio Q (che sono di grado n) rimangono solo quei fattori che sono di grado più piccolo di $o(x^n)$;
del prodotto fra i polinomi P o Q e $o(x^n)$ rimane solo il termine $o(x^n)$ dal momento che, avendo i polinomi una costante, tutti i termini del prodotto, confrontandosi con $o(x^n)$, hanno grado maggiore di quest'ultimo;
il prodotto $o(x^n)*o(x^n)=o(x^n)$ dal momento che ciò che ne risulta, cioè $o(x^(2n))$ va sicuramente a 0 più velocemente di $o(x^n)$, e quindi è un $o(x^n)$. E' giusto quello che ho detto?
Quindi, ricapitolando, del prodotto fra il polinomio P e il polinomio Q (che sono di grado n) rimangono solo quei fattori che sono di grado più piccolo di $o(x^n)$;
del prodotto fra i polinomi P o Q e $o(x^n)$ rimane solo il termine $o(x^n)$ dal momento che, avendo i polinomi una costante, tutti i termini del prodotto, confrontandosi con $o(x^n)$, hanno grado maggiore di quest'ultimo;
il prodotto $o(x^n)*o(x^n)=o(x^n)$ dal momento che ciò che ne risulta, cioè $o(x^(2n))$ va sicuramente a 0 più velocemente di $o(x^n)$, e quindi è un $o(x^n)$. E' giusto quello che ho detto?
Ovviamente per i polinomi la risposta è no! 
Intendo dire che, in generale un polinomio di grado $n$ può avere tutti i termini delle potenze di $x$ da $0$ a $n$, quindi il termine di grado più basso è la costante.
Il ragionamento sugli o piccoli è esattamente quello che hai fatto tu!
Intendo dire che, in generale un polinomio di grado $n$ può avere tutti i termini delle potenze di $x$ da $0$ a $n$, quindi il termine di grado più basso è la costante.Il ragionamento sugli o piccoli è esattamente quello che hai fatto tu!
Rilancio una domanda...
Qualcuno sa dirmi perché, troncando il prodotto "alla Cauchy" di due serie di Taylor, si ottiene un polinomio che è diverso da quello ottenuto moltiplicando i due sviluppi troncati?
Qualcuno sa dirmi perché, troncando il prodotto "alla Cauchy" di due serie di Taylor, si ottiene un polinomio che è diverso da quello ottenuto moltiplicando i due sviluppi troncati?
Per esempio, se ho $1/6(x-x^3/6+o(x^3))^3$, anzichè fare tutti i calcoli (mortali), posso dire subito che il fattore significativo che rimane è $1/6x^3$, dal momento che gli altri fattori sono di grado maggiore di 3, e quindi $o(x^3)$, giusto?
Esatto.
Ciao, c'è qualcosa che mi sfugge sullo sviluppo di McLaurin al terzo grado (applicando la definizione) della funzione $f(x)=(1+ax)^(1/m)$. Il libro dà come risultato $1+(a/m)x +(a^2/2)(1/m)(1/m-1)x^2+(a^3/6)(1/m)(1/m-1)(1/m-2)x^3+o(x^3)$. Il mio risultato è identico, se non per il fatto che il termine $a$ risulta sempre di grado 1, e non di grado costantemente maggiore. La $a$ dovrebbe rappresentare la derivata della funzione interna, cioè di $(1+ax)$, quindi non capisco perchè debba essere elevata a gradi via via maggiori. Forse mi sfugge qualcosa? Confido nel vostro aiuto, grazie.
Prova a scriverti lo sviluppo di $(1+t)^\alpha$ e poi a sostituire $t=ax$ e vedi cosa accade.
ok ci provo, comunque per caso sai dove posso trovare una spiegazione chiara su cos'è l'ordine di infinito-infinitesimo di un limite, su come si individua, dal momento che mi serve per studiare la convergenza degli integrali impropri?
Mmmmm, se vuoi ti mando gli appunti degli esercizi del mio corso e ci dai un'occhiata.
ok, grazie, aspetto un tuo mp
ciao, volevo sapere, sempre sul calcolo dei limiti con gli sviluppi di McLaurin, se, quando abbiamo una funzione in cui il denominatore è costituito da una x elevata ad un certo grado, per esempio n, e il numeratore è costituito da una somma di x con grado crescente fino ad n, è corretto (per risparmiare tempo e calcoli inutili) non scrivere al numeratore la somma dei termini di grado inferiore a n, ma scrivere direttamente l'ultima x di grado n che si va a semplificare "perfettamente" con il denominatore dando così il risultato del limite. Spero di essermi fatto capire
Buoni gli appunti del prof. Verri -Polimi
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=835
Seleziona : Dispensa-
Appunti -Oa. pdf -Integrali impropri .
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=835
Seleziona : Dispensa-
Appunti -Oa. pdf -Integrali impropri .
Ciao, volevo sapere se i passaggi che ho fatto sono corretti
$4/3$$lim_(x -> 0^+)$ $[sqrt(cos(x^2))-sqrt(cosx)]/(cos(x^3)-cosx)$
Sviluppando con McLaurin il denominatore, mi trovo nella seguente situazione:
$cos(x^3)=1-(x^6)/2+o(x)^6$. Siccome anche l'altro addendo del denominatore devo svilupparlo al grado 6, dal momento che escono numeri molto grandi (6!), ho riscritto lo sviluppo di $cos(x^3)$ nel seguente modo: $cos(x^3)=1-(x^6)/2+o(x)^6=1+o(x^4)$. In questo modo ho sviluppato l'altro addendo solamente al grado 4, evitando di svilupparlo al grado 6. E' giusto quello che ho fatto?
Altra cosa, nello sviluppo del numeratore, io prima ho calcolato gli sviluppi al grado 4 di $cos(x^2)$ e di $cosx$, e poi ne ho calcolato la radice quadrata osservando che $sqrt(1+z)=1+(1/2)z+o(z)$. Quindi, per esempio, lo sviluppo di $sqrt(cos(x^2))=sqrt(1-x^4/2+o(x^4))=1-x^4/4+o(x^4)$. Se ho sbagliato, correggetemi, ciao
$4/3$$lim_(x -> 0^+)$ $[sqrt(cos(x^2))-sqrt(cosx)]/(cos(x^3)-cosx)$
Sviluppando con McLaurin il denominatore, mi trovo nella seguente situazione:
$cos(x^3)=1-(x^6)/2+o(x)^6$. Siccome anche l'altro addendo del denominatore devo svilupparlo al grado 6, dal momento che escono numeri molto grandi (6!), ho riscritto lo sviluppo di $cos(x^3)$ nel seguente modo: $cos(x^3)=1-(x^6)/2+o(x)^6=1+o(x^4)$. In questo modo ho sviluppato l'altro addendo solamente al grado 4, evitando di svilupparlo al grado 6. E' giusto quello che ho fatto?
Altra cosa, nello sviluppo del numeratore, io prima ho calcolato gli sviluppi al grado 4 di $cos(x^2)$ e di $cosx$, e poi ne ho calcolato la radice quadrata osservando che $sqrt(1+z)=1+(1/2)z+o(z)$. Quindi, per esempio, lo sviluppo di $sqrt(cos(x^2))=sqrt(1-x^4/2+o(x^4))=1-x^4/4+o(x^4)$. Se ho sbagliato, correggetemi, ciao
Giuste entrambe le cose.
ok, grazie, sul terzo post di questa pagina, invece, che mi dici?
allora, continuo ancora a commettere qualche errore:
$ lim_(x ->0^+) $ $[sqrt(1+xsinx)-sqrt(cos(2x))]/(tan^2(x/2))$
Il risultato è 6. Vi posto il mio procedimento, sottintendendo la scrittura di limite:
Ho razionalizzato, ottenendo $(1+xsinx-cos(2x))/(tan^2(x/2)[(sqrt(1+xsinx)+sqrt(cos(2x))]$
Ora, $[(sqrt(1+xsinx)+sqrt(cos(2x))]$ tende a 2, così l'ho portato fuori dal limite ottenendo:
$(1/2) lim_(x ->0^+) $ $(1+xsinx-cos(2x))/(tan^2(x/2))$. A questo punto, sviluppo le tre funzioni trigonometriche con McLaurin, commettendo un errore: infatti, se sviluppo il seno come $x+o(x)$ ed il coseno come $1+o(x)$, ottengo: $(1+x^2+o(x^2)-1)/(x/2)^2=(1/2)*4x^2/x^2=2$ (al denominatore ho sviluppato la tangente al primo ordine e poi l'ho elevata al quadrato.ù
Se invece sviluppo il seno come prima ed il coseno al secondo ordine, cioè scrivo $1-2x^2+o(x^2)$, il risultato del limite è 6, come da risultato. Vorrei capire perchè ho sbagliato, in modo tale da non commetterlo più. Mi siete di grandissimo aiuto, ciao
$ lim_(x ->0^+) $ $[sqrt(1+xsinx)-sqrt(cos(2x))]/(tan^2(x/2))$
Il risultato è 6. Vi posto il mio procedimento, sottintendendo la scrittura di limite:
Ho razionalizzato, ottenendo $(1+xsinx-cos(2x))/(tan^2(x/2)[(sqrt(1+xsinx)+sqrt(cos(2x))]$
Ora, $[(sqrt(1+xsinx)+sqrt(cos(2x))]$ tende a 2, così l'ho portato fuori dal limite ottenendo:
$(1/2) lim_(x ->0^+) $ $(1+xsinx-cos(2x))/(tan^2(x/2))$. A questo punto, sviluppo le tre funzioni trigonometriche con McLaurin, commettendo un errore: infatti, se sviluppo il seno come $x+o(x)$ ed il coseno come $1+o(x)$, ottengo: $(1+x^2+o(x^2)-1)/(x/2)^2=(1/2)*4x^2/x^2=2$ (al denominatore ho sviluppato la tangente al primo ordine e poi l'ho elevata al quadrato.ù
Se invece sviluppo il seno come prima ed il coseno al secondo ordine, cioè scrivo $1-2x^2+o(x^2)$, il risultato del limite è 6, come da risultato. Vorrei capire perchè ho sbagliato, in modo tale da non commetterlo più. Mi siete di grandissimo aiuto, ciao
Compi un errore perché, come vedi, il termine a numeratore che ti serve per il calcolo del limite è la somma dei due termini di secondo grado. Il ragionamento è il seguente: se tu sai che, alla fine della fiera, la parte principale (cioè il primo termine non nullo) nello sviluppo deve avere una potenza di grado $n$, per "costruirlo" dovrai utilizzare le potenze di tale grado presenti in TUTTI i termini della funzione. Nel primo caso dimentichi il termine di grado due nel coseno, sbagliando, mentre nel secondo caso (quello in cui lo tieni presente, riesci a procedere bene.
quindi siccome devo far "sparire" la $x^2$ che è presente al denominatore, sviluppo tutto quello che c'è da sviluppare al grado 2
Guarda, il ragionamento è questo (e vale in linea generale quando sviluppi con Taylor): ti conviene sempre mettere un po' di termini da manipolare (di solito i primi tre in uno sviluppo possono bastare) e vedere cosa accade. L'obiettivo finale nello sviluppo con taylor è quello di determinare (specialmente se si tratta di limiti) la parte principale che, al di là della definizione corretta che puoi vedere sugli appunti che ti ho mandato, praticamente risulta essere il primo termine non nullo dello sviluppo della tua funzione.
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