Operazioni con taylor, aiuto
Non so ancora destreggiarmi correttamente con le operazioni con gli sviluppi di mclaurin. Leggendo degli appunti su internet, c'è scritto, riguardo il prodotto dello sviluppo di mclaurin di due funzioni:
Siano $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ , $g(x) = Q_n(x) + o(x^n)$ i due sviluppi di ordine n di f e di g;
vogliamo lo sviluppo del prodotto fg.
$f(x)g(x) = [P_n(x)+o(x^n)]·[Q_n(x)+o(x^n)]$
$=P_n(x)Q_n(x)+P_n(x)o(x^n)+Q_n(x)o(x^n)+o(x^n)o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n) + o(x^n) + o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n)$.
Non ho capito perchè il penultimo membro della moltiplicazione è scritto in questo modo, cioè da dove vemgono fuori quei tre $o(x^n)$? Grazie per l'aiuto
Siano $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ , $g(x) = Q_n(x) + o(x^n)$ i due sviluppi di ordine n di f e di g;
vogliamo lo sviluppo del prodotto fg.
$f(x)g(x) = [P_n(x)+o(x^n)]·[Q_n(x)+o(x^n)]$
$=P_n(x)Q_n(x)+P_n(x)o(x^n)+Q_n(x)o(x^n)+o(x^n)o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n) + o(x^n) + o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n)$.
Non ho capito perchè il penultimo membro della moltiplicazione è scritto in questo modo, cioè da dove vemgono fuori quei tre $o(x^n)$? Grazie per l'aiuto
Risposte
ok, ho capito, spero di non commettere più errori nel calcolo dei limiti:)
Ciao, scusa se insisto, riassumendo, quando si opera con gli sviluppi di Taylor-McLaurin, per non incorrere in errori, si sviluppa prima il denominatore della frazione al grado più basso tale da far rimanere un qualcosa che non sia semplicemente un o-piccolo (che non dà alcuna informazione); una volta fatto questo, si sviluppa il numeratore a quello stesso grado tale da far rimanere qualcosa al denominatore, poi si fanno i conti...
Esatto.
ciao, volevo sapere se il limite notevole $ lim_(x -> 0) $ $(1-cos(x))/x^2=1/2$ vale anche se il coseno è iperbolico. Grazie
Pensa allo sviluppo di Taylor di $\cosh x$ e risponditi da solo. 
il limite è lo stesso ma il segno è opposto, cioè vale $-1/2$.
P.S=una curiosità sul primo post di questa pagina: gli sviluppi di Taylor-McLaurin si usano solo per calcolare limiti di funzioni o anche per altro?
P.S=una curiosità sul primo post di questa pagina: gli sviluppi di Taylor-McLaurin si usano solo per calcolare limiti di funzioni o anche per altro?
In generale, gli sviluppi servono a dirti quale è una "buona" approssimazione di una funzione nell'intorno del punto in cui effettui lo sviluppo stesso. Ti rendi conto da te che le applicazioni possono essere tra le più svariate.
Mi trovo, oggi, con il seguente sviluppo: $(x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3))$. A me interessano solo i termini fino al quarto grado, però volevo chiedere, dovendo svolgere il quadrato di quella roba, posso non considerare o(x^3) e fare il quadrato del trinomio oppure devo considerarlo?
Come si fa il quadrato di un polinomio con 4 termini?
Come si fa il quadrato di un polinomio con 4 termini?
Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati dei singoli termini più tutte le possibili combinazioni di prodotti di due termini diversi moltiplicate per due. In formule:
[tex]$\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)=\sum_{k=1}^n a_k^2+2\sum_{k\ne h} a_k a_h$[/tex]
Ovviamente quando calcoli il quadrato (o una qualsiasi potenza) di un polinomio ma ti servono solo le prime $n$ potenze, tutti i termini di ordine maggiore puoi eliminarli.
Seguendo queste considerazioni, quanto ti vine il quadrato di quell'affare?
[tex]$\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)=\sum_{k=1}^n a_k^2+2\sum_{k\ne h} a_k a_h$[/tex]
Ovviamente quando calcoli il quadrato (o una qualsiasi potenza) di un polinomio ma ti servono solo le prime $n$ potenze, tutti i termini di ordine maggiore puoi eliminarli.
Seguendo queste considerazioni, quanto ti vine il quadrato di quell'affare?
"ciampax":
Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati dei singoli termini più tutte le possibili combinazioni di prodotti di due termini diversi moltiplicate per due. In formule:
[tex]$\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)=\sum_{k=1}^n a_k^2+2\sum_{k\ne h} a_k a_h$[/tex]
Ovviamente quando calcoli il quadrato (o una qualsiasi potenza) di un polinomio ma ti servono solo le prime $n$ potenze, tutti i termini di ordine maggiore puoi eliminarli.
Seguendo queste considerazioni, quanto ti vine il quadrato di quell'affare?
$(x^2+(1/4)x^4-x^3+o(x^4)+(2/3)x^4)$, giusto? (ho eliminato le potenze di ordine superiore a 4)
ok
Perfetto Soscia.
bene...per sicurezza vi chiedo se è corretto come ho risolto questo limite:
$ lim_(x -> 0) $ $[arctan(log(1+x^2))-x^2]/x^4$.
Allora, il denominatore è di grado 4, quindi significa che devo sviluppare i termini almeno fino al quarto grado:
$log(1+x^2)=x^2-(1/2)x^4+o(x^4)$;
$arctan(log(1+x^2))=x^2-(1/2)x^4+o(x^4)$. Il dubbio che mi è venuto è se devo continuare a sviluppare l'arcotangente, o se va bene così. Io risponderei che, essendo lo sviluppo dell'arcotangente di grado 4, sia sufficiente, però vorrei che confermaste anche voi...grazie mille e buon anno.
$ lim_(x -> 0) $ $[arctan(log(1+x^2))-x^2]/x^4$.
Allora, il denominatore è di grado 4, quindi significa che devo sviluppare i termini almeno fino al quarto grado:
$log(1+x^2)=x^2-(1/2)x^4+o(x^4)$;
$arctan(log(1+x^2))=x^2-(1/2)x^4+o(x^4)$. Il dubbio che mi è venuto è se devo continuare a sviluppare l'arcotangente, o se va bene così. Io risponderei che, essendo lo sviluppo dell'arcotangente di grado 4, sia sufficiente, però vorrei che confermaste anche voi...grazie mille e buon anno.
Puoi fermarti a quello sviluppo poiché, nello sviluppo generale dell'arcotangente, i termini sono dispari. Quindi, la potenza successiva a cui devi elevare lo sviluppo del logaritmo è 3, ed essendoci un $x^2$ tutta quella roba avrebbe almeno grado 6.
"ciampax":
Puoi fermarti a quello sviluppo poiché, nello sviluppo generale dell'arcotangente, i termini sono dispari. Quindi, la potenza successiva a cui devi elevare lo sviluppo del logaritmo è 3, ed essendoci un $x^2$ tutta quella roba avrebbe almeno grado 6.
Ottimo. Quindi, qualora un ulteriore sviluppo dell'arcotangente mi avesse dato un termine di grado 4, o minore di 4, sarei dovuto andare avanti (con lo sviluppo dell'arcotangente) altrimenti avrei trascurato un potenziale fattore "necessario" per il calcolo del limite?
Quindi, da quello che ho capito, quando si opera con Taylor, non bisogna fermarsi con lo sviluppo alla prima potenza del grado che "mi serve", ma bisogna andare avanti per vedere se un ulteriore sviluppo può fornirmi un'altra potenza di quello stesso grado di cui ho bisogno, che, se mi fossi fermato, avrei erroneamente trascurato?
Esatto. Il punto è sempre quello di far comparire tutte le potenze che ti servono da ogni singolo sviluppo che devi sommare/moltiplicare o altro.
grazie mille ciampax, perfetto, mi sei stato davvero di grande aiuto...mi sono tolto molti dubbi dalla testa, spero di aver capito tutto, o almeno i punti fondamentali, del calcolo dei limiti e taylor
Prego. Quando hai bisogno, a disposizione!
Ciao, qualcuno mi può illuminare nel calcolo del limite: $lim_(x->0^+) (e^(x^2)-x^x)/(1-cosx)$? Il denominatore è asintotico a $x^2/2$, l'esponenziale al numeratore a $1+x^2$, però non so come comportarmi con quel $x^x$...
[tex]$x^x=e^{x\log x}=\ldots$[/tex]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo