Operazioni con taylor, aiuto

[Sk_Anonymous]

Non so ancora destreggiarmi correttamente con le operazioni con gli sviluppi di mclaurin. Leggendo degli appunti su internet, c'è scritto, riguardo il prodotto dello sviluppo di mclaurin di due funzioni:

Siano $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ , $g(x) = Q_n(x) + o(x^n)$ i due sviluppi di ordine n di f e di g;
vogliamo lo sviluppo del prodotto fg.
$f(x)g(x) = [P_n(x)+o(x^n)]·[Q_n(x)+o(x^n)]$
$=P_n(x)Q_n(x)+P_n(x)o(x^n)+Q_n(x)o(x^n)+o(x^n)o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n) + o(x^n) + o(x^n)$
$=P_n(x)Q_n(x) + o(x^n)$.
Non ho capito perchè il penultimo membro della moltiplicazione è scritto in questo modo, cioè da dove vemgono fuori quei tre $o(x^n)$? Grazie per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

"ciampax":[tex]$x^x=e^{x\log x}=\ldots$[/tex]

ci avevo pensato, però poi se faccio un cambio si variabile "salta" quello di prima

[ciampax]

Cambio di variabile? E cosa vorresti cambiare di grazia? Io mica ho fatto un cambio di variabile!

[Sk_Anonymous]

Però poi al numeratore dell'esponenziale ho una forma indeterminata del tipo 0 per infinito

[ciampax]

Soscia, Soscia, Soscia.... ma insomma, il fatto che [tex]$\lim_{x\to 0} x\log x=0$[/tex] proprio non ti entra in testa, eh? Perché non ti riguardi un po' quegli appunti che ti ho spedito?

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Soscia, Soscia, Soscia.... ma insomma, il fatto che [tex]$\lim_{x\to 0} x\log x=0$[/tex] proprio non ti entra in testa, eh? Perché non ti riguardi un po' quegli appunti che ti ho spedito?

okok, se lo risolvo con de l'Hopital si vede che tende a 0. Mi è venuto il dubbio perchè il professore dava per scontato che tendesse a 0, senza dire che si verificava con de l'hopital, capito?

[ciampax]

Capito.... ma non ti serve come scusante per non saperlo!

[Sk_Anonymous]

Domanda banale: si possono applicare gli sviluppi di McLaurin alle successioni, naturalmente per $n->+oo$? O meglio, siccome le successioni non sono derivabili, si può approssimare una successione con il rispettivo polinomio di Taylor-McLaurin nella variabile x?

[ciampax]

Bel quesito. Mi verrebbe da dire no, perché, come giustamente hai esposto, non siamo in presenza di funzioni derivabili. Infatti io, nel calcolo di limiti di successioni evito, per quanto possibile, di ricorre a tali "artifici". Tuttavia, è anche vero che se la tua successione è data nella forma $\{f(a_n)\}$ con $f$ derivabile $k$ volte e con $a_n\to 0$ (mi riduco al caso "semplice" in cui stai ragionando con McLaurin) la "sostituzione" (e attento a questo concetto di sostituzione) $t=a_n$ ti restituisce una funzione che soddisfa le condizioni del Teorema di taylor. In realtà, se ci pensi un istante, ti rendi conto da solo che, in linea di massima, Taylor lo si usa praticamente sempre nei limiti: quando infatti scrivi che [tex]$e^t\sim 1+t$[/tex] per il confronto asintotico, alla fin fine non stai facendo altro che dire [tex]$e^t=1+t+o(t)$[/tex], quindi....