Numeri complessi?!?!
Ciao a tutti! Non riesco a capire come devo risolvere queste equazioni in C. Se qualcuno mi puo dare una mano gliene sarei veramente grata. Sara1) (z^8) +1=0
2) (z^3)=|z|
3)(z^2)+|(z^2)-1|=Rez
Risposte
1) Usa la forma polare: $z=rhoe^(itheta)$
$rho^8e^(i8theta)=e^(i(pi+2kpi))$
da cui ricavi 2 equazioni, una per il modulo e una per la fase:
$rho^8=1 rarr rho=1$
$8theta = pi+2kpi rarr theta=pi/8+kpi/4, k in ZZ$
2,3) usa ancora la forma polare, con un accorgimento per la 3:
$rho^2e^(i2theta)-1=e^(itheta)(rho^2e^(itheta)-e^(-itheta))$
$rho^8e^(i8theta)=e^(i(pi+2kpi))$
da cui ricavi 2 equazioni, una per il modulo e una per la fase:
$rho^8=1 rarr rho=1$
$8theta = pi+2kpi rarr theta=pi/8+kpi/4, k in ZZ$
2,3) usa ancora la forma polare, con un accorgimento per la 3:
$rho^2e^(i2theta)-1=e^(itheta)(rho^2e^(itheta)-e^(-itheta))$
èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè?????????????Mamma mia..questo è l unico modo x procedere?Non sai un sito x cercare di capire ste cose qua??AIUTO!Ma cosa è la formula rhoe?(scusate la mia ignoranza..)
Non esiste un sito "per capire". Per capire si deve studiare. Se vuoi ci sono altre vie più difficili per risolverle, a te la scelta.
Vero..ma le cose da studiare si devono trovare da qualche parte..altrimenti risulta difficile saperle..
"sara8787":
ma le cose da studiare si devono trovare da qualche parte..
qualche libro che puzza di matematica non ce l'hai?
"sara8787":
:-) Ciao a tutti! Non riesco a capire come devo risolvere queste equazioni in C. Se qualcuno mi puo dare una mano gliene sarei veramente grata. Sara
1) (z^8) +1=0
2) (z^3)=|z|
3)(z^2)+|(z^2)-1|=Rez
Conosci la formula di de moivre? per il primo la userei
1)$z^8=-1$ e per de moivre, detto $z'=-1$ allora $z=|z'|^(1/8)*e^(i*1/8*(arg(z')+2kpi))$ $k=0,1,2,3,4,5,6,7$
Ovviamente $|z'|=1,arg(z')=arg(-1)=pi$ per cui
$z^8+1=0$ $<=>$ $z=e^(i*1/8*(pi+2kpi))$ $k=0,1,2,3,4,5,6,7$
2)Puoi utilizzare la forma polare, come ha detto luca, oppure scrivi $z=a+i*b$ e trovi $a,b in RR$ che soddisfano l'equazione
Utilizzando la forma polare $z=rho*e^(i*theta)$ otterrai $rho^3*e^(i*3theta)=rho$ da cui le soluzioni sono $rho=0$ cioè $z=0$ e $rho^2*e^(i*3theta)=1$ cioè ed uguagliando modulo e fase e ricordando che $rho>=0$ ottieni $rho=1$, $3*theta=2kpi$ cioè $theta=2/3*k*pi$, per cui
$z^3=|z|$ $<=>$ $z=0$ e $z=e^(i*2/3*k*pi)$ $k in ZZ$
3) una via più intuitiva è la seguente:
sia $z=a+i*b$ $->$ $z^2=(a^2-b^2)+i*2ab$. Si vede banalmente che $z=0$ non è soluzione (per sostituzione diretta sostituendo $z=0$ nell'equazione iniziale verrebbe $1=0$, cioè impossibile) per cui non potrà mai essere contemporaneamente $a=0,b=0$, cioè se $a=0,b!=0$ e viceversa. Inoltre l'equazione di partenza può essere scritta in tal modo: $z^2=Re{z}-|z^2-1|$. Ovviamente il termine $Re{z}-|z^2-1|$ è un numero reale perchè lo è $Re{z}$ ed anche $|z^2-1|$ per la definizione di modulo di un numero complesso. Per cui affinchè $z^2$ sia un numero reale allora la sua parte immaginaria ($2ab$ nella formula) deve essere nulla e ricordando che $z=0$ non è soluzione allora $z$ deve essere o del tipo $z=a$ (cioè $b=0$) oppure $z=i*b$ (cioè $a=0$), cioè $z$ o deve avere solo parte reale (con $a in RR-{0}$ cioè $a!=0$ perchè per quanto osservato $z=0$ non è soluzione) o solo parte immaginaria (con $b in RR-{0}$ cioè $b!=0$ perchè per quanto osservato $z=0$ non è soluzione). Detto ciò sostituendo nell'equazione prima $z=a$ e poi $z=i*b$ e si trovano $a,b in RR-{0}$ che soddisfano l'equazione.
In particolare sostituendo $z=a$ nell'equazione di partenza si trova che l'unico valore che la risolve è $a=1$ cui corrisponde $z=1$, mentre sostituendo $z=i*b$ si trova che nessun valore di $b$ soddisfa l'equazione. In conclusione
$z^2+|z^2-1|=Re{z}$ $<=>$ $z=1$
"luca.barletta":
[quote="sara8787"]ma le cose da studiare si devono trovare da qualche parte..
qualche libro che puzza di matematica non ce l'hai?[/quote]
Quel "puzza" mi fa proprio scompisciare dalle risate!!!
"CiUkInO":
[quote="luca.barletta"][quote="sara8787"]ma le cose da studiare si devono trovare da qualche parte..
qualche libro che puzza di matematica non ce l'hai?[/quote]
Quel "puzza" mi fa proprio scompisciare dalle risate!!![/quote]
Termine usato ad hoc, quando le cose puzzano di solito si evitano .
AHAHAHAHAHAHAHAHAH
Termine usato ad hoc, quando le cose puzzano di solito si evitano ....
Di solito a casa mia quando le cose puzzano non si evitano ma si lavano x averle piu limpide e nitide (dai basta sto scherzando, non prendiamocela a male con sta storia 
)
Di solito a casa mia quando le cose puzzano non si evitano ma si lavano x averle piu limpide e nitide
(dai basta sto scherzando, non prendiamocela a male con sta storia )
Io di sicuro non me la son presa, anzi mi hai messo di buon umore. Piuttosto, temevo te la fossi presa te. Comunque, seriamente, davvero non conosci la forma esponenziale? mi sembra abbastanza grave come mancanza
Grazie mille nicasamarciano..si la formula di de Moivre la so...ora il primo e il terzo ho capito come devo procedere..sarà meglio ke x il secondo mi vada a rivedere sta forma polare 
ah bon..allora è stato un divertimento collettivo 
..certo ke la so la forma esponenziale..sai cosa..probabilmente mi son persa via qnd me lo sono trovata scritto cosi ma la forma esponenziale la so..qnd ora vado a rivedermi un po la cosa..
..certo ke la so la forma esponenziale..sai cosa..probabilmente mi son persa via qnd me lo sono trovata scritto cosi ma la forma esponenziale la so..qnd ora vado a rivedermi un po la cosa..
"sara8787":
Grazie mille nicasamarciano..si la formula di de Moivre la so...ora il primo e il terzo ho capito come devo procedere..sarà meglio ke x il secondo mi vada a rivedere sta forma polare
figurati, per il seccondo puoi pure fare in quest'altro modo. Sia $z=a+i*b$, sostituendo nella equazione di partenza ricavi:
$(a+i*b)^3=sqrt(a^2+b^2)$ cioè
$a^3-i*b^3+i*3a^2*b-3a*b^2=sqrt(a^2+b^2)$ ed uguagliando parte reale ed immaginaria del primo e secondo membro ricavi:
${(a^3-3ab^2=sqrt(a^2+b^2)),(-b^3+3a^2b=0):}$
La seconda può essere scritta come $b(3a^2-b^2)=0$ per cui ricavi tre soluzioni : $b=0,b=+-a*sqrt(3)$ a questo punto sostituisci questi tre valori nella prima ed è fatta.
Sostituendo $b=0$ ricavi come soluzione accettabili per $a$ i valori $a=0,1$ per cui si ricavano rispettivamente
$z=0,z=1$
Se invece sostituisci $b=+-a*sqrt(3)$ ricavi come soluzioni accettabili $a=0,a=-1/2$ da cui ricavi $b=0,b=+-sqrt(3)/2$ e quindi
$z=0,z=-1/2+-i*sqrt(3)/2$
Quindi le soluzioni infine sono
$z=0,z=+1,z=-1/2+-i*sqrt(3)/2$ e queste soluzioni possono essere messe nella forma
$z=0, U, z=e^(i*2/3*k*pi),k in ZZ$ come già trovato con la forma polare
Mi è venuto un dubbio..stavo guardando un ese ke avevi gia risolto..era calcolare le radici cubiche del numero complesso 1/1+i.. all inizio tu hai sostituito $|z|^(1/3)=(1/sqrt(2))^(1/3), ma dove è venuta fuori la radice di due scusa?
"sara8787":
Mi è venuto un dubbio..stavo guardando un ese ke avevi gia risolto..era calcolare le radici cubiche del numero complesso 1/1+i.. all inizio tu hai sostituito $|z|^(1/3)=(1/sqrt(2))^(1/3), ma dove è venuta fuori la radice di due scusa?
l'esercizio era se non erro
$z^3=1/(1+i)$ allora per de moivre detto $z'=1/(1+i)$ si ha
$z=|z'|^(1/3)*e^(i*1/3*(arg(z')+2kpi))$ $k=0,1,2$
Ora $|z'|=|(1/(1+i))|=1/|1+i|=1/sqrt(2)$ ed $arg(z')=arg(1/(1+i))=arg(1)-arg(1+i)=0-pi/4=-pi/4$ per cui
$z_(1,2,3)=(1/(sqrt(2)))^(1/3)*e^(i*1/3*(-pi/4+2kpi))$, $k=0,1,2$
Ok ho capito.. oggi stavo facendo sto esercizio, mi puoi guardare un attimo dove sbaglio????
-----------------------------------------------------------
$2z+z^2=1+2i$
$ 2(a+ib)+(a+ib)^2=1+2i$
metto in sistema:
$2a+a^2-b^2=1$ con $ b+ab=1$
$a=((1-b)/b))$
e poi mi esce$b^2(1+b^2)=0$
che è sbagliato
-----------------------------------------------------------------
poi invece questi non so neanke come impostarli:
|z^2+1|=z-z^2
Non capisco se devo sostituire a z=a+ib e fare tutti i calcoli o devo utilizzare un altro metodo..
-------------------------------------------------------------------------
infine $(z^3+1-i)(z^2+(1/i))$
ma questo lo devo risolvere con la forma esponenziale?
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$2z+z^2=1+2i$
$ 2(a+ib)+(a+ib)^2=1+2i$
metto in sistema:
$2a+a^2-b^2=1$ con $ b+ab=1$
$a=((1-b)/b))$
e poi mi esce$b^2(1+b^2)=0$
che è sbagliato
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poi invece questi non so neanke come impostarli:
|z^2+1|=z-z^2
Non capisco se devo sostituire a z=a+ib e fare tutti i calcoli o devo utilizzare un altro metodo..
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infine $(z^3+1-i)(z^2+(1/i))$
ma questo lo devo risolvere con la forma esponenziale?
Per restare in tema:
come si dimostra
$|z1+z2|<=|z1|+|z2|$ con $z1,z2 in CC$?
e come si verifica che:
$z*barz + 3z -6i = 0$ non ha soluzioni(con $z in CC$)?
come si dimostra
$|z1+z2|<=|z1|+|z2|$ con $z1,z2 in CC$?
e come si verifica che:
$z*barz + 3z -6i = 0$ non ha soluzioni(con $z in CC$)?
"sara8787":
Ok ho capito.. oggi stavo facendo sto esercizio, mi puoi guardare un attimo dove sbaglio????
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$2z+z^2=1+2i$
$ 2(a+ib)+(a+ib)^2=1+2i$
metto in sistema:
$2a+a^2-b^2=1$ con $ b+ab=1$
$a=((1-b)/b))$
e poi mi esce$b^2(1+b^2)=0$
che è sbagliato
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poi invece questi non so neanke come impostarli:
|z^2+1|=z-z^2
Non capisco se devo sostituire a z=a+ib e fare tutti i calcoli o devo utilizzare un altro metodo..
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infine $(z^3+1-i)(z^2+(1/i))$
ma questo lo devo risolvere con la forma esponenziale?
1)OK come è impostato, ma sostituendo $a=(1-b)/b$ nell'altra equazione trovi: $b^4+2b^2-1=0$ che fornisce
$b^2=-1+-sqrt(2)$ e poichè $b in RR$ allora le soluzioni accettabili sono $b=+-sqrt(sqrt(2)-1)$ da cui ricavi $a$. In particolare
a)$b=+sqrt(sqrt(2)-1)$ $->$ $a=sqrt(sqrt(2)+1)-1$ e
b) $b=-sqrt(sqrt(2)-1)$ $->$ $a=-1-sqrt(sqrt(2)+1)$
2)
$z=a+i*b$ e sostituendo si ha:
$sqrt((a^2-b^2+1)^2+4a^2b^2)=a+i*b-a^2+b^2-i*2ab$ da cui ottieni
${(b-2ab=0),(sqrt((a^2-b^2+1)^2+4a^2b^2)=a-a^2+b^2):}$
Dalla prima ricavi $b=0$ ed $a=1/2$
Sostituendo $b=0$ nell'altra equazione non trovi alcun $a$ che la soddisfi, mentre sostituendo $a=1/2$ trovi $b=+-sqrt(3)/2$ per cui le soluzioni sono
$z=1/2+-sqrt(3)/2*i$
3)$(z^3+1-i)(z^2+(1/i))=0$ $<=>$ $z^3+1-i=0$ $ U $ $z^2+1/i=0$
Ora $z^3=i-1$ per de moivre fornisce $z_(1,2,3)=(sqrt(2))^(1/3)*e^(i*1/3*(3/4*pi+2kpi))$ $k=0,1,2$, mentre
$z^2=1/i=-i$ per de moivre fornisce $z_(4,5)=e^(i*1/2*(-pi/2+2kpi))$ $k=0,1$
Le soluzioni sono allora
$z_(1,2,3)=(sqrt(2))^(1/3)*e^(i*1/3*(3/4*pi+2kpi))$ $k=0,1,2$ e
$z_(4,5)=e^(i*1/2*(-pi/2+2kpi))$ $k=0,1$
"Dust":
Per restare in tema:
come si dimostra
$|z1+z2|<=|z1|+|z2|$ con $z1,z2 in CC$?
e come si verifica che:
$z*barz + 3z -6i = 0$ non ha soluzioni(con $z in CC$)?
Verifica
$z*barz=|z|^2$ per cui l'equazione è $|z|^2 + 3z -6i = 0$
Sia $z=a+i*b$ $a,b in RR$allora sostituendo si ha
$a^2+b^2+3a+i*3b-6i=0$ ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha il seguente sistema:
${(3b-6=0),(a^2+b^2+3a=0):}$
Dalla prima si ricava $b=2$ che sostituita nell'altra fornisce l'equazione $a^2+3a+4=0$ che non fornisce alcun $a in RR$. Per cui l'equazione non ha soluzioni in $CC$
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