Numeri complessi?!?!
Ciao a tutti! Non riesco a capire come devo risolvere queste equazioni in C. Se qualcuno mi puo dare una mano gliene sarei veramente grata. Sara1) (z^8) +1=0
2) (z^3)=|z|
3)(z^2)+|(z^2)-1|=Rez
Risposte
"nicasamarciano":
[quote="Dust"]Per restare in tema:
come si dimostra
$|z1+z2|<=|z1|+|z2|$ con $z1,z2 in CC$?
e come si verifica che:
$z*barz + 3z -6i = 0$ non ha soluzioni(con $z in CC$)?
Verifica
$z*barz=|z|^2$ per cui l'equazione è $|z|^2 + 3z -6i = 0$
Sia $z=a+i*b$ $a,b in RR$allora sostituendo si ha
$a^2+b^2+3a+i*3b-6i=0$ ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha il seguente sistema:
${(3b-6=0),(a^2+b^2+3a=0):}$
Dalla prima si ricava $b=2$ che sostituita nell'altra fornisce l'equazione $a^2+3a+4=0$ che non fornisce alcun $a in RR$. Per cui l'equazione non ha soluzioni in $CC$[/quote]
Grazie!! sempre disponibili!!
"Dust":
[quote="nicasamarciano"][quote="Dust"]Per restare in tema:
come si dimostra
$|z1+z2|<=|z1|+|z2|$ con $z1,z2 in CC$?
e come si verifica che:
$z*barz + 3z -6i = 0$ non ha soluzioni(con $z in CC$)?
Verifica
$z*barz=|z|^2$ per cui l'equazione è $|z|^2 + 3z -6i = 0$
Sia $z=a+i*b$ $a,b in RR$allora sostituendo si ha
$a^2+b^2+3a+i*3b-6i=0$ ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha il seguente sistema:
${(3b-6=0),(a^2+b^2+3a=0):}$
Dalla prima si ricava $b=2$ che sostituita nell'altra fornisce l'equazione $a^2+3a+4=0$ che non fornisce alcun $a in RR$. Per cui l'equazione non ha soluzioni in $CC$[/quote]
Grazie!! sempre disponibili!![/quote]
Ti fornisco la dimostrazione sulla disuguaglianza triangolare:
siano $z_1=a+i*b=|z_1|*e^(i*phi_1), z_2=c+i*d=|z_2|*e^(i*phi_2)$ $a,b,c,d in RR$. Allora
$|z_1+z_2|=|(a+c)+i*(b+d)|=sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)=sqrt((a^2+b^2)+(c^2+d^2)+2ac+2bd)$
Ora $|z_1|^2=a^2+b^2,|z_2|^2=c^2+d^2$, mentre $ac+bd=Re{z_1*z_2^(**)}=Re{z_1^(**)*z_2}$, per cui
$|z_1+z_2|=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*Re{z_1*z_2^(**)})=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*Re{|z_1|*e^(i*phi_1)*|z_2|*e^(-i*phi_2)})$
=$sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|Re{*e^(i*(phi_1-phi_2))})=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|cos(phi_1-phi_2)$
Ora poichè $|cos(phi_1-phi_2)|<=1$ allora possiamo fare la seguente maggiorazione:
$|z_1+z_2|=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|cos(phi_1-phi_2))<=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|)$=$sqrt((|z_1|+|z_2|)^2)=|(|z_1|+|z_2|)|=|z_1|+|z_2|$ essendo $|z_1|,|z_2|$ quantità intrinsecamente positive. Per cui è stata dimostrata la tesi.
Si può facilmente dimostrare che l'uguale vale se e solo se i due numeri complessi sono proporzionali, cioè se e solo se
$z_1=alpha*z_2$ $alpha>=0$. Infatti in tal caso
$|z_1+z_2|=|z_2|*|1+alpha|$, mentre $|z_1|+|z_2|=|z_2|*(1+|alpha|)$, ed è ovvio che $|1+alpha|=1+|alpha|$ $<=>$ $alpha>=0$.
In conclusione in generale $|z_1+z_2|<=|z_1|+|z_2|$ e $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ $<=>$ $z_1=alpha*z_2,alpha>=0$
"nicasamarciano":
[quote="Dust"][quote="nicasamarciano"][quote="Dust"]Per restare in tema:
come si dimostra
$|z1+z2|<=|z1|+|z2|$ con $z1,z2 in CC$?
e come si verifica che:
$z*barz + 3z -6i = 0$ non ha soluzioni(con $z in CC$)?
Verifica
$z*barz=|z|^2$ per cui l'equazione è $|z|^2 + 3z -6i = 0$
Sia $z=a+i*b$ $a,b in RR$allora sostituendo si ha
$a^2+b^2+3a+i*3b-6i=0$ ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha il seguente sistema:
${(3b-6=0),(a^2+b^2+3a=0):}$
Dalla prima si ricava $b=2$ che sostituita nell'altra fornisce l'equazione $a^2+3a+4=0$ che non fornisce alcun $a in RR$. Per cui l'equazione non ha soluzioni in $CC$[/quote]
Grazie!! sempre disponibili!![/quote]
Ti fornisco la dimostrazione sulla disuguaglianza triangolare:
siano $z_1=a+i*b=|z_1|*e^(i*phi_1), z_2=c+i*d=|z_2|*e^(i*phi_2)$ $a,b,c,d in RR$. Allora
$|z_1+z_2|=|(a+c)+i*(b+d)|=sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)=sqrt((a^2+b^2)+(c^2+d^2)+2ac+2bd)$
Ora $|z_1|^2=a^2+b^2,|z_2|^2=c^2+d^2$, mentre $ac+bd=Re{z_1*z_2^(**)}=Re{z_1^(**)*z_2}$, per cui
$|z_1+z_2|=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*Re{z_1*z_2^(**)})=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*Re{|z_1|*e^(i*phi_1)*|z_2|*e^(-i*phi_2)})$
=$sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|Re{*e^(i*(phi_1-phi_2))})=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|cos(phi_1-phi_2)$
Ora poichè $|cos(phi_1-phi_2)|<=1$ allora possiamo fare la seguente maggiorazione:
$|z_1+z_2|=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|cos(phi_1-phi_2))<=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|)$=$sqrt((|z_1|+|z_2|)^2)=|(|z_1|+|z_2|)|=|z_1|+|z_2|$ essendo $|z_1|,|z_2|$ quantità intrinsecamente positive. Per cui è stata dimostrata la tesi.
Si può facilmente dimostrare che l'uguale vale se e solo se i due numeri complessi sono proporzionali, cioè se e solo se
$z_1=alpha*z_2$ $alpha>=0$. Infatti in tal caso
$|z_1+z_2|=|z_2|*|1+alpha|$, mentre $|z_1|+|z_2|=|z_2|*(1+|alpha|)$, ed è ovvio che $|1+alpha|=1+|alpha|$ $<=>$ $alpha>=0$.
In conclusione in generale $|z_1+z_2|<=|z_1|+|z_2|$ e $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ $<=>$ $z_1=alpha*z_2,alpha>=0$[/quote]
Ti ringrazio, ma nn ho capito cosa intendi per quello che tu chiami $Re$, intendi la parte reale? e poi sempre all'interno delle parentesi, quando usi $re$ ci sono rispettivamente $z1$ e $z2$ con una specie d stellina.. quella cosa significa?
e poi all'inizio dichiari $ z_2=c+i*d=|z_2|*e^(i*phi_2)$, poi quando lo usi poi x passare dalla forma esponenziale a quella trigonometrica diventa $ z_2=c+i*d=|z_2|*e^(-i*phi_2)$. puoi spiegarmi i passaggi ke nn mi sono chiari? grazie!
"Dust":
[quote="nicasamarciano"][quote="Dust"][quote="nicasamarciano"][quote="Dust"]Per restare in tema:
come si dimostra
$|z1+z2|<=|z1|+|z2|$ con $z1,z2 in CC$?
e come si verifica che:
$z*barz + 3z -6i = 0$ non ha soluzioni(con $z in CC$)?
Verifica
$z*barz=|z|^2$ per cui l'equazione è $|z|^2 + 3z -6i = 0$
Sia $z=a+i*b$ $a,b in RR$allora sostituendo si ha
$a^2+b^2+3a+i*3b-6i=0$ ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha il seguente sistema:
${(3b-6=0),(a^2+b^2+3a=0):}$
Dalla prima si ricava $b=2$ che sostituita nell'altra fornisce l'equazione $a^2+3a+4=0$ che non fornisce alcun $a in RR$. Per cui l'equazione non ha soluzioni in $CC$[/quote]
Grazie!! sempre disponibili!![/quote]
Ti fornisco la dimostrazione sulla disuguaglianza triangolare:
siano $z_1=a+i*b=|z_1|*e^(i*phi_1), z_2=c+i*d=|z_2|*e^(i*phi_2)$ $a,b,c,d in RR$. Allora
$|z_1+z_2|=|(a+c)+i*(b+d)|=sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)=sqrt((a^2+b^2)+(c^2+d^2)+2ac+2bd)$
Ora $|z_1|^2=a^2+b^2,|z_2|^2=c^2+d^2$, mentre $ac+bd=Re{z_1*z_2^(**)}=Re{z_1^(**)*z_2}$, per cui
$|z_1+z_2|=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*Re{z_1*z_2^(**)})=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*Re{|z_1|*e^(i*phi_1)*|z_2|*e^(-i*phi_2)})$
=$sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|Re{*e^(i*(phi_1-phi_2))})=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|cos(phi_1-phi_2)$
Ora poichè $|cos(phi_1-phi_2)|<=1$ allora possiamo fare la seguente maggiorazione:
$|z_1+z_2|=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|cos(phi_1-phi_2))<=sqrt(|z_1|^2+|z_2|^2+2*|z_1|*|z_2|)$=$sqrt((|z_1|+|z_2|)^2)=|(|z_1|+|z_2|)|=|z_1|+|z_2|$ essendo $|z_1|,|z_2|$ quantità intrinsecamente positive. Per cui è stata dimostrata la tesi.
Si può facilmente dimostrare che l'uguale vale se e solo se i due numeri complessi sono proporzionali, cioè se e solo se
$z_1=alpha*z_2$ $alpha>=0$. Infatti in tal caso
$|z_1+z_2|=|z_2|*|1+alpha|$, mentre $|z_1|+|z_2|=|z_2|*(1+|alpha|)$, ed è ovvio che $|1+alpha|=1+|alpha|$ $<=>$ $alpha>=0$.
In conclusione in generale $|z_1+z_2|<=|z_1|+|z_2|$ e $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ $<=>$ $z_1=alpha*z_2,alpha>=0$[/quote]
Ti ringrazio, ma nn ho capito cosa intendi per quello che tu chiami $Re$, intendi la parte reale? e poi sempre all'interno delle parentesi, quando usi $re$ ci sono rispettivamente $z1$ e $z2$ con una specie d stellina.. quella cosa significa?
e poi all'inizio dichiari $ z_2=c+i*d=|z_2|*e^(i*phi_2)$, poi quando lo usi poi x passare dalla forma esponenziale a quella trigonometrica diventa $ z_2=c+i*d=|z_2|*e^(-i*phi_2)$. puoi spiegarmi i passaggi ke nn mi sono chiari? grazie![/quote]
1)$Re{}$ è la parte reale
2)$z^(**)$ è quello che tu chiami $barz$ cioè il coniugato di $z$
3)$z_2=|z_2|*e^(i*phi_2)$ $->$ $z_2^(**)=barz_2=c-i*d=|z_2|*e^(-i*phi_2)$
Sono ritornata con i 1000 dubbi: 
-------------------------------------------------
Ma è giusto il ragionamento????
1)|Rez|+|Imz|=|z|
Ma |z|=sqrt(a^2+b^2)
|Rez|=a
|Imz|=b
quindi a+b=sqrt(a^2+b^2)
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2
a=0-->z=a+ib--->per ogni valore di b
b=0-->z=a+ib--->per ogni valore di a
2)= 1/2 < |z-1|<2
io guardando altri esercizi ho capito ke devo disegnare due circonferenze ..una di raggio due e una di raggio mezzo..e devo prenderer qll ke c'è da prendere quello tra le due circonferenze,ma non capisco il perchè..e non so neanke se è giusto..
3)= |z|=r ???
devo rappresentare sul piano di Gauss queste funzioni ma non so..da che parte cominciare..
-------------------------------------------------
Ma è giusto il ragionamento????
1)|Rez|+|Imz|=|z|
Ma |z|=sqrt(a^2+b^2)
|Rez|=a
|Imz|=b
quindi a+b=sqrt(a^2+b^2)
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2
a=0-->z=a+ib--->per ogni valore di b
b=0-->z=a+ib--->per ogni valore di a
2)= 1/2 < |z-1|<2
io guardando altri esercizi ho capito ke devo disegnare due circonferenze ..una di raggio due e una di raggio mezzo..e devo prenderer qll ke c'è da prendere quello tra le due circonferenze,ma non capisco il perchè..e non so neanke se è giusto..
3)= |z|=r ???
devo rappresentare sul piano di Gauss queste funzioni ma non so..da che parte cominciare..
"sara8787":
Sono ritornata con i 1000 dubbi:
-------------------------------------------------
Ma è giusto il ragionamento????
1)|Rez|+|Imz|=|z|
Ma |z|=sqrt(a^2+b^2)
|Rez|=a
|Imz|=b
quindi a+b=sqrt(a^2+b^2)
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2
a=0-->z=a+ib--->per ogni valore di b
b=0-->z=a+ib--->per ogni valore di a
2)= 1/2 < |z-1|<2
3)= |z|=r
devo rappresentare sul piano di Gauss queste funzioni ma non so..da che parte cominciare..
1)$|z|=sqrt(a^2+b^2)$, $|Re{z}|=|a|,|Im{z}|=|b|$ per cui
$sqrt(a^2+b^2)=|a|+|b|$ ed elevando al quadrato si ha :$a^2+b^2=a^2+b^2+2|a||b|$ $<=>$ $2|a||b|=0$ cioè
$|a|=0$ $U$ $|b|=0$ cioè $a=0$ $U$ $b=0$ che sostituite forniscono tutte le soluzioni possibili, cioè le soluzioni possibili sono $z=a,z=i*b,a,b in RR$
2)Dire $1/2<|z-1|<2$ è equivalente a dire $1/4<|z-1|^2<4$. Sia $z=a+i*b$ allora $|z-1|^2=(a-1)^2+b^2$ cioè $|z-1|^2$ è una circonferenza di centro $(1,0)$, per cui $1/2<|z-1|<2$ è una corona circolare con raggio della circonferenza interna pari a $1/2$ e raggio della circonferenza esterna pari a $2$
3) $|z|^2=r^2$ e detto $z=a+i*b$ si ha $a^2+b^2=r^2$ cioè una circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $r$
"nicasamarciano":
1)$Re{}$ è la parte reale
2)$z^(**)$ è quello che tu chiami $barz$ cioè il coniugato di $z$
3)$z_2=|z_2|*e^(i*phi_2)$ $->$ $z_2^(**)=barz_2=c-i*d=|z_2|*e^(-i*phi_2)$
Ti ringrazio!! Ora tutto mi torna! ciao[/quote]
Ho capito..almeno penso.. guarda un po questa..
z=2e^(i*pi/3)w
se non c fosse il due disegnerei una retta con angolo di 30°..ma col due cosa devo fare?devo inclinarla tutta verso sinistra giusto???
Re(z^2)=c
Grazie mille..Ti ho tirato matto con sti numeri complessi
z=2e^(i*pi/3)w
se non c fosse il due disegnerei una retta con angolo di 30°..ma col due cosa devo fare?devo inclinarla tutta verso sinistra giusto???
Re(z^2)=c
Grazie mille..Ti ho tirato matto con sti numeri complessi
"sara8787":
Ho capito..almeno penso.. guarda un po questa..
z=2e^(i*pi/3)w
se non c fosse il due disegnerei una retta con angolo di 30°..ma col due cosa devo fare?devo inclinarla tutta verso sinistra giusto???
Re(z^2)=c
Grazie mille..Ti ho tirato matto con sti numeri complessi
1)
$z=2e^(i*pi/3)=2*cos(pi/3)*i*2*sin(pi/3)=1+i*sqrt(3)$ individua nel piano complesso di Gauss un punto di coordinate $(1,sqrt(3))$. Per trovarlo o rappresentarlo devi tracciare un segmento con modulo pari a $2$ passante per l'origine del piano di Gauss ed inclinato di $pi/3=60°$
2)$z=a+i*b$ $->$ $z^2=(a^2-b^2)+i*2ab$ $->$ $ Re{z^2}=a^2-b^2$
Quindi $Re(z^2)=c$ $<=>$ $a^2-b^2=c$ che per $c!=0$ rappresenta una iperbole: in particolare se $c>0$ l'iperbole avrà vertici in $V_(1,2)=(+-sqrt(c),0)$ cioè sull'asse dei reali nel piano di Gauss e se $c<0$ i vertici in $V_(1,2)=(0,+-sqrt(c))$ cioè sull'asse degli immaginari.
Se $c=0$ l'equazione rappresenta due rette di equazione $b=+-a$ cioè le bisettrici dei primo e terzo e secondo e quarto quadrante. In conclusione
per $c!=0$ si ha una iperbole $a^2-b^2=c$
se $c=0$ si hanno 2 rette $b=+-a$
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