Notazione nelle funzioni di due variabili
[pgn][/pgn]Buonasera, mi sono imbattuto in una notazione a me sconosciuta :
$f(x,y)=LOGx(y)$
Logaritmo in base x.
Viene richiesto:
Il grafico di $ f(x,•) $
Il grafico di $ f(•,y) $
Onestamente non ho mai visto la notazione sopra e non so da dove iniziare. Qualche suggerimento?
$f(x,y)=LOGx(y)$
Logaritmo in base x.
Viene richiesto:
Il grafico di $ f(x,•) $
Il grafico di $ f(•,y) $
Onestamente non ho mai visto la notazione sopra e non so da dove iniziare. Qualche suggerimento?
Risposte
Credo intenda che tu debba considerare fissata la variabile indicata con $•$ e che quindi ti stia chiedendo il grafico di due funzioni di una variabile, quello di un logaritmo in cui varia la base con argomento fisso e quello di un logaritmo in cui è fissa la base e varia l'argomento.
Se \( f\colon A\times B\to C \) è una funzione, fissato \( a\in A \) c’è una funzione ovvia \( f_a\colon B\to C \), che mappa \( b\mapsto f(a,b) \), e puoi dire la stessa cosa fissato \( b\in B \).
È \( f_a = f(a,{-}) \).
È \( f_a = f(a,{-}) \).
Ciao Ecomath,
Comincerei con l'osservare che il dominio della funzione reale di due variabili reali $z = f(x, y) = log_x y = (ln y)/(ln x) $ è il seguente:
$D = {(x, y) \in \RR^2 : x > 0, x \ne 1, y > 0} $
"Ecomath":
Qualche suggerimento?
Comincerei con l'osservare che il dominio della funzione reale di due variabili reali $z = f(x, y) = log_x y = (ln y)/(ln x) $ è il seguente:
$D = {(x, y) \in \RR^2 : x > 0, x \ne 1, y > 0} $
Grazie per l'aiuto, vado avanti con lo studio della funzione. Mi avete chiarito un bel dubbio.
"pilloeffe":
Ciao Ecomath,
[quote="Ecomath"]Qualche suggerimento?
Comincerei con l'osservare che il dominio della funzione reale di due variabili reali $z = f(x, y) = log_x y = (ln y)/(ln x) $ è il seguente:
$D = {(x, y) \in \RR^2 : x > 0, x \ne 1, y > 0} $[/quote]
Considerando la y fissata $>0$ lo studio di funzione andrà comunque suddiviso in due casi. Perché il $ Ln(y) $ con $y<1$ mi darà un numero negativo, viceversa positivo? Oppure posso considerare $ Ln(y) $ sempre positivo?
"Ecomath":
Oppure posso considerare $Ln(y)$ sempre positivo?
Beh no, non ci sono elementi che facciano pensare che debba essere $y > 1 $, quindi per $ y = \bar{y}$ fissata se $0 < \bar{y} < 1 $ il grafico sarà del tipo $ - c/(ln(x)) $ con $c > 0$, mentre se $\bar{y} > 1 $ il grafico sarà del tipo $(c')/(ln(x)) $ con $c' > 0$. Il caso particolare $\bar{y} = 1 $ è banale.
"Mephlip":
Credo intenda che tu debba considerare fissata la variabile indicata con $•$ e che quindi ti stia chiedendo il grafico di due funzioni di una variabile, quello di un logaritmo in cui varia la base con argomento fisso e quello di un logaritmo in cui è fissa la base e varia l'argomento.
Notazioni tipo f(x,.) mi sono familiari. Però il loro significato è l'opposto di quello che hai indicato qui sopra.
La notazione f(x,.) sta ad indicare la seguente funzione:
dato x ("fissato" x), si considera la funzione y |---> F(x,y)
Per lo meno, questo è il significato in cui mi sono sempre imbattuto, per quella notazione
Stavo per scrivere lo stesso post di FP.
Anche per me $f(x,*)$ è la funzione parziale $y |-> f(x,y)$ (con $x$ fissato).
Anche per me $f(x,*)$ è la funzione parziale $y |-> f(x,y)$ (con $x$ fissato).
Sì, avete ragione, è anche in accordo con la notazione $\norm {\cdot}$ (non so se vi è mai capitato di vederla, se ritrovo il testo in cui l'ho vista ve lo cito), dove $\cdot$ è una generica variabile; grazie ad entrambi per la precisazione e scusami Ecomath per l'errore!
Grazie a voi per aver chiarito questo dubbio.
"gugo82":
Stavo per scrivere lo stesso post di FP.
Anche per me $f(x,*)$ è la funzione parziale $y |-> f(x,y)$ (con $x$ fissato).
Una "funzione parziale" \(u : A \to B\) è una funzione il cui dominio è un sottoinsieme proprio di \(A\); più formalmente, una funzione parziale \(u\) è una coppia \((\bar u, i_u) : A \overset{i_u}\leftarrow D \overset{u}\to B\) dove \(i_u : D \hookrightarrow A\) è l'inclusione del dominio di \(u\) in \(A\).
Questa è un'altra cosa dalla funzione \(f(x,-) : y\mapsto f(x,y)\) che è, semmai, la funzione \(f : X\times Y\to Z\) "parzialmente applicata", "trasposta", "curryficata".
Strano come abbia problemi di adattamento ad altro lessico chi predica agli altri di adattarsi al proprio. 
"gugo82":Beh, è ovvio il motivo: uno dei due è sbagliato. Oppure, ma è molto meno rilevante, chi ha fatto la domanda potrebbe voler cercare la definizione; e se gli dai la definizione di pera quando in realtà lui vuol sapere cos'è un'arancia, che fa?
Strano come abbia problemi di adattamento ad altro lessico chi predica agli altri di adattarsi al proprio.
Secondo te, il termine "derivata parziale" da dove viene fuori?
[E, comunque, mai visto usare il termine funzione parziale come fa WIKI, ossia come sinonimo di "funzione non ovunque definita"... Infatti, l'articolo è solo un abbozzo e non cita alcun riferimento.]
Inoltre, tanto per curiosità, "serie divergente" cosa significa?
[E, comunque, mai visto usare il termine funzione parziale come fa WIKI, ossia come sinonimo di "funzione non ovunque definita"... Infatti, l'articolo è solo un abbozzo e non cita alcun riferimento.]
Inoltre, tanto per curiosità, "serie divergente" cosa significa?
Zĭ Lù domandò: "Maestro, se il duca di Wèi vi chiedesse consiglio sul governo dello Stato, da che cosa comincereste?".
Kǒng-zi rispose: "La cosa più importante è chiamare le cose col loro giusto nome".
Zĭ Lù si stupì: "Davvero? È una cosa talmente importante?".
Il Maestro allora gli spiegò: " Sei proprio un sempliciotto, Zĭ Lù. I funzionari tendono a non eseguire gli ordini che non capiscono. Quindi, se il linguaggio degli ordini è nebuloso, gli ordini non vengono eseguiti. Se gli ordini non vengono eseguiti, l'amministrazione non funziona. Se l'amministrazione non funziona, i procedimenti non sono portati a termine. Se i
procedimenti non sono portati a termine, i reati non vengono puniti. Se i reati non vengono puniti, il popolo è confuso e il paese cade nel disordine. Perciò occorre che la terminologia sia corretta affinché ciò che viene ordinato possa essere eseguito. Il linguaggio dell'amministrazione deve essere preciso ed esatto".
Se a OP o chi per loro a un certo punto viene voglia di googlare, o studiare qualsiasi cosa che afferisca al lambda calcolo, alla teoria della computabilità, o all'algebra universale, purtroppo daranno ragione a me.
"gugo82":
mai visto usare il termine funzione parziale come fa WIKI, ossia come sinonimo di "funzione non ovunque definita"
Bastava cambiare lingua:
https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_function
https://ncatlab.org/nlab/show/partial+function
https://ncatlab.org/nlab/show/functional+relation
I. Bethke, Notes on partial combinatory algebras, Ph.D. thesis, Universiteit von Amsterdam, 1988.
J.R.B. Cockett and S. Lack, Restriction categories I: categories of partial maps, Theoretical Computer Science
270 (2002), 223–259.
E.P. Robinson and G. Rosolini, Categories of partial maps, Information and Computation 79 (1988), 94–130.
La letteratura in merito alla teoria delle funzioni parziali è sterminata, e si dà il caso (per tua sfortuna) che questa estate abbia dovuto familiarizzare con una buona parte di essa; sicché so perfettamente di cosa parlo e perché e come vanno usate le parole in questo particolare contesto:
Partiality is an important notion in mathematics: the very
notion of category itself is a partial algebraic structure, since only compatible pairs of arrows can be
composed. Even more so, partiality is an essential property of the theory of computation, and partial functions
play a role in many different parts of computer science, starting with initial forays into recursion
theory at the birth of the subject, and being ever present in more recent developments, for example
arising as an essential ingredient in the study of fixpoints [BÉ93]. From the start it was clear that
additional care is necessary for partial operations, the terms built up from them, and the associated
principles of (partial) equational reasoning. An example is the principle of Kleene equality: using
$s=t$ to assert that whenever one side is defined, so is the other, and they are equal, or the use of
notation $|_X$ to restrict the domain of definition of a function. In general, reasoning about partially
defined terms can be quite subtle [...]
There are a number of formalisms in the literature that aim at providing a rigorous
way of specifying partial algebraic structure. Freyd’s essentially algebraic theories [Freyd 1972] were
introduced informally, but were subsequently formalised and generalised in various ways [Adamek
and Rosicky 1994; Adámek et al. 2011; Palmgren and Vickers 2007]. A different, but equally expressive approach is via finite limit sketches [Adamek and Rosicky 1994]. Nevertheless, none of
these approaches can claim to have the foundational status of classical equational theories - e.g.
they do not, per se, provide a canonical notion of syntax to replace classical terms, nor a calculus
for (partial) equational reasoning about the categories of models they define. Tout court, none
of them can claim to be equational. Interestingly, the semantic landscape (i.e. the corresponding
notion of partial variety) is better understood than the syntax. The class of models of essentially
algebraic theories and finite limit sketches are closely related to Gabriel-Ulmer duality [Centazzo
2004], which asserts a contravariant (bi)equivalence between the category of categories with finite
limits and the category of locally finitely presentable (LFP) categories.
Partial Frobenius algebras, which arise in our characterisation of DCR categories, are special/separable Frobenius algebras without units. The version with units was originally studied
in [Carboni and Walters 1987], is deeply connected to the relational algebra [Freyd and Scedrov
1990], characterises 2-dimensional TQFTs [Kock 2003], and has been used extensively in categorical approaches to the study of quantum information and quantum computing, such as the ZX
calculus [Coecke and Duncan 2008]. In a similar way to the use of partial Frobenius algebras in
this paper, they are used in the recently proposed Frobenius theories [Bonchi et al. 2017], which are
algebraic theories that take their models in the category of relations Rel, and are guided by the
structure of cartesian bicategories of relations [Carboni and Walters 1987].
P.L. Curien and A. Obtułowicz. 1989. Partiality, Cartesian Closedness, and Toposes. Information and Computation 80 (1989),
50-95.
J.R.B. Cockett and S. Lack. 2007. Restriction Categories III: colimits, partial limits, and extensivity. Mathematical Structures
in Computer Science 17 (2007), 775-817.
A. Carboni and R.F.C. Walters. 1987. Cartesian Bicategories I. Journal of Pure and Applied Algebra 49 (1987), 11-32.
E. Palmgren and S.J. Vickers, Partial Horn logic and cartesian categories, Annals of Pure and Applied Logic
145 (2007), 314–353.
PS: Perdonerai se non tutti i titoli contengono la parola "partial"; sono conscio saprai andare al di là del pregiudizio iniziale e, per esempio, aprirli rendendoti così conto che il tema è sempre quello delle funzioni parziali, ossia il cui dominio è parzialmente definito, o uno ad esso contiguo. Sembra quasi che per acquisire delle informazioni sullo stato dell'arte in una disciplina sia sufficiente... leggere! L'avresti mai detto?
PPS: Non mi metto nemmeno a listare la mole impressionante di pubblicazioni a proposito della teoria delle funzioni parziali in CS; puoi googlare "algebraic effects of computation" o "funzione parziale ricorsiva" o "teoria della computabilità"
https://en.wikipedia.org/wiki/General_r ... e_function
https://www.cl.cam.ac.uk/teaching/1112/ ... ture-8.pdf
https://ncatlab.org/nlab/show/computable+function
Buon per te che hai ancora il tempo di leggere... Ti consiglio, allora, di modificare la pagina di WIKI così da renderla meno penosa di quel che è.
E comunque noto che i riferimenti portati, quelli sì, sono molto parziali, i.e. relativi ad una parte della matematica che usa un gergo lontano da quello discusso qui.
E comunque noto che i riferimenti portati, quelli sì, sono molto parziali, i.e. relativi ad una parte della matematica che usa un gergo lontano da quello discusso qui.
Invidio l'ottimismo di chi crede che la wiki italiana sia degna di attenzione e di perdere energie a migliorarla.
Preferisco, come vedi, spendere il tempo qui.
E per il resto, non è una parte di matematica poi così lontana dal senso qui discusso. C'è un unico modo di intendere l'operazione di saturare parzialmente gli argomenti di una funzione il cui dominio è un prodotto, ed è quello reso preciso dall'operazione di currying che ho citato prima (in un senso piuttosto forte, la teoria della applicazione di funzioni a termini è "solo una"). Altri non ce ne sono; certo, si può fingere che la definizione superficiale e ingenua sia La Definizione, e se uno vuole accontentarsi di finte formalizzazioni, chi sono io per fermarlo? Quello che voglio evitare è che le cose non vengano chiamate col loro nome.
Preferisco, come vedi, spendere il tempo qui.
E per il resto, non è una parte di matematica poi così lontana dal senso qui discusso. C'è un unico modo di intendere l'operazione di saturare parzialmente gli argomenti di una funzione il cui dominio è un prodotto, ed è quello reso preciso dall'operazione di currying che ho citato prima (in un senso piuttosto forte, la teoria della applicazione di funzioni a termini è "solo una"). Altri non ce ne sono; certo, si può fingere che la definizione superficiale e ingenua sia La Definizione, e se uno vuole accontentarsi di finte formalizzazioni, chi sono io per fermarlo? Quello che voglio evitare è che le cose non vengano chiamate col loro nome.
Bravo.
Però, visto che ci sei, mi risponderesti alle due domande che ti ho posto più su?
Però, visto che ci sei, mi risponderesti alle due domande che ti ho posto più su?
"gugo82":
Però, visto che ci sei, mi risponderesti alle due domande che ti ho posto più su?
"gugo82":Dal fatto che stai derivando rispetto a una sola variabile, cioè a un sottoinsieme proprio della totalità delle variabili da cui una funzione dipende?
Secondo te, il termine "derivata parziale" da dove viene fuori?
Inoltre, tanto per curiosità, "serie divergente" cosa significa?Che l'operazione \(\sum_I : F(I) \to \mathbb R\), definendo opportunamente un anello di funzioni \(f : I \to \mathbb R\) su un insieme \(I\), ha per dominio il sottoinsieme \(F_{<\infty}(I)\) di quelle funzioni la cui somma è una serie "convergente"? Ovviamente, uno può prendere \(\mathbb C\) invece di \(\mathbb R\), nei fatti cambia poco; altrettanto ovviamente, può interpretare il dominio di definizione di \(\sum_I\) in diversi modi più o meno astratti. Anche qui cambia poco.
"solaàl":
[quote="gugo82"]Però, visto che ci sei, mi risponderesti alle due domande che ti ho posto più su?
"gugo82":Dal fatto che stai derivando rispetto a una sola variabile, cioè a un sottoinsieme proprio della totalità delle variabili da cui una funzione dipende?[/quote]
Secondo te, il termine "derivata parziale" da dove viene fuori?
Appunto. Stessa cosa con "funzione parziale".
Non vedo cosa ci sia di così drammatico... Se proprio non ti piace, puoi prenderlo come un'abbreviazione di "funzione applicata parzialmente" così come interpreti i tuoi cari diagrammi come abbreviazione di tediose lungaggini.
"solaàl":Inoltre, tanto per curiosità, "serie divergente" cosa significa?Che l'operazione \(\sum_I : F(I) \to \mathbb R\), definendo opportunamente un anello di funzioni \(f : I \to \mathbb R\) su un insieme \(I\), ha per dominio il sottoinsieme \(F_{<\infty}(I)\) di quelle funzioni la cui somma è una serie "convergente"? Ovviamente, uno può prendere \(\mathbb C\) invece di \(\mathbb R\), nei fatti cambia poco; altrettanto ovviamente, può interpretare il dominio di definizione di \(\sum_I\) in diversi modi più o meno astratti. Anche qui cambia poco.
Non vedo il nesso... C'era scritto "serie divergente", non "serie convergente".
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