Massimi e minimi funzioni a due variabili
Ringrazo dapprima i moderatori del forum per avermia iutato precedentemente con altri due esercizi.
posto questi due esercizi e vi dico coem li ho svolti per accertarmi se li ho fatti bene e se ho capito
allora
1. $f(x,y) = e^(x^2-y)$
procedo:
$f_x = e^(x^2-y)(2x)$
$f_y= e^(x^2-y)(-1)$
ora arrivato qua deduco (se non ho fatto errori di calcolo) che il gradiente della funzione non si annulla mai in quanto $f_y$ è sempe diversa da 0, negativa in questo caso.
Quindi la funzione in questione non è dotata nè di punti di minim nè di massimo relativo vero?
il secondo esercizio è:
2. sen(x+y)
procedo:
$f_x$ = $f_y$ = cos(x+y)
pongo uguale a zero
cos(x+y) = 0
cioè $y= -x + \pi/2 + k*(\pi)$
(perdonatemi la scrittura non irresistibile delle espressioni )
quindi quelli che ho scritto sopra sarebbero i punti stazionari? vero?? ce ne sono infiniti e fanno parte della retta $y= -x + \pi/2 + k*\pi$
E' cosi??
ecco da qui mi sono un pò inceppato
nel senso che l'hessiano lo devo calcolare nel punto (x,$-x + \pi/2 + k*\pi$) ?
Se potete datemi una mano.
Ve ne sarei grato.
Grazie anticipatamente a chi risponderà.
Buon pomeriggio.
posto questi due esercizi e vi dico coem li ho svolti per accertarmi se li ho fatti bene e se ho capito
allora
1. $f(x,y) = e^(x^2-y)$
procedo:
$f_x = e^(x^2-y)(2x)$
$f_y= e^(x^2-y)(-1)$
ora arrivato qua deduco (se non ho fatto errori di calcolo) che il gradiente della funzione non si annulla mai in quanto $f_y$ è sempe diversa da 0, negativa in questo caso.
Quindi la funzione in questione non è dotata nè di punti di minim nè di massimo relativo vero?
il secondo esercizio è:
2. sen(x+y)
procedo:
$f_x$ = $f_y$ = cos(x+y)
pongo uguale a zero
cos(x+y) = 0
cioè $y= -x + \pi/2 + k*(\pi)$
(perdonatemi la scrittura non irresistibile delle espressioni
)quindi quelli che ho scritto sopra sarebbero i punti stazionari? vero?? ce ne sono infiniti e fanno parte della retta $y= -x + \pi/2 + k*\pi$
E' cosi??
ecco da qui mi sono un pò inceppato
nel senso che l'hessiano lo devo calcolare nel punto (x,$-x + \pi/2 + k*\pi$) ?
Se potete datemi una mano.
Ve ne sarei grato.
Grazie anticipatamente a chi risponderà.
Buon pomeriggio.
Risposte
qwert, le formule ... Non si capisce niente, devi aggiustarle. Ti correggo le prime righe poi per favore usa il pulsante MODIFICA per continuare il lavoro. In particolare, non spezzettare troppo le formule. Invece di
f(x, y)=$e^{x^2+y}$2x, ad esempio, scrivi:
$f(x, y)=e^{x^2+y}2x$.
Vedi come è più leggibile?
f(x, y)=$e^{x^2+y}$2x, ad esempio, scrivi:
$f(x, y)=e^{x^2+y}2x$.
Vedi come è più leggibile?
Grazie Dissonance hai perfettamente ragione
Ho corretto tutte le formule grazie a Dissonance
spero che ora il testo sia piu leggibil per chiunque voglia aiutarmi
Ho corretto tutte le formule grazie a Dissonance
spero che ora il testo sia piu leggibil per chiunque voglia aiutarmi
Nel secondo esercizio non pensa serva calcolarti l'Hessiano... prova a vedere nei tuoi punti stazionari quanto vale la funzione 
PER GATTO89:
ho provato comunque a calcolare l'hessiano....
esso viene nullo ... andando a fare lo studio del segno della funzione e vedo che i punti della retta che ho prima scritto sono punti sella..
non so se è esatto ciò che sto dicendo..
in ogni caso andando a calcolare il valore della funzione nei punti stazionari viene 1 o -1... sbaglio??
grazie per l'aiuto
ho provato comunque a calcolare l'hessiano....
esso viene nullo ... andando a fare lo studio del segno della funzione e vedo che i punti della retta che ho prima scritto sono punti sella..
non so se è esatto ciò che sto dicendo..
in ogni caso andando a calcolare il valore della funzione nei punti stazionari viene 1 o -1... sbaglio??
grazie per l'aiuto
come al solito sto andando in tilt ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"qwert90":
PER GATTO89:
ho provato comunque a calcolare l'hessiano....
esso viene nullo ... andando a fare lo studio del segno della funzione e vedo che i punti della retta che ho prima scritto sono punti sella..
non so se è esatto ciò che sto dicendo..
in ogni caso andando a calcolare il valore della funzione nei punti stazionari viene 1 o -1... sbaglio??
grazie per l'aiuto
Ti faccio osservare che quando ottieni un luogo di punti critici evita di calcolare l'hessiano, perché ti uscirà nullo!
Devi applicare la definizione; cioè imporre $f(x,y) >= f'$ dove con $f'$ intendo la funzione calcolata nei punti critici che hai determinato (cioè calcolata in $x+y= (pi)/2+kpi$).
Evidentemente la funzione $f' = sin ((pi)/2 + kpi)$
Quindi $sin (x+y) >= sin ((pi)/2 + kpi) $
Ma quanto vale il seno a $(pi)/2 + kpi$??
Sai concludere?
per Mathcrazy:
il seno vale in quel punto 1
....la disuguaglianza che tu mi hai detto di fare verrebbe quindi $sen(x+y)$ >1 ...il che è impossibile....
scusami sembrerò stupido forse...ma nn riesco a concludere perdonami...
il seno vale in quel punto 1
....la disuguaglianza che tu mi hai detto di fare verrebbe quindi $sen(x+y)$ >1 ...il che è impossibile....
scusami sembrerò stupido forse...ma nn riesco a concludere
perdonami...
"qwert90":
per Mathcrazy:
il seno vale in quel punto 1
Non è un punto, è un insieme di punti al variare di $k$... per $k = 0$ hai $sin(\pi/2) = 1$; per $k=1$ hai $sin(3/2pi) = -1$... riesci a trovare una formula generale?
Per il resto, prendo ad esempio il primo punto $P_0$: tu sai che $f(P_0) = 1$. D'altronde $f$, essendo una funzione seno, è sempre $\leq 1$ quindi $f(x,y) \leq 1 = f(P_0)$ è sempre vera e in particolare lo sarà in un intorno di $P_0$, e questa è proprio la definizione di punto di massimo relativo.
per GATTO89: grazie per la pazienza
quello che deduco è che sicuraente ci sono infiniti punti stazionari...(perchè fanno parte id una retta giusto?)...e che comunque ci sono infiniti punti per i quali la funzione assume valori negativi e inifiniti punti per i quali assume valori negativi...
però credimi non riesco ad afferrare il concetto..
ufff
quello che deduco è che sicuraente ci sono infiniti punti stazionari...(perchè fanno parte id una retta giusto?)...e che comunque ci sono infiniti punti per i quali la funzione assume valori negativi e inifiniti punti per i quali assume valori negativi...
però credimi non riesco ad afferrare il concetto..
ufff
Si, ci sono infiniti punti stazionari, ma assumono solo due valori... prova a dividerli in base alla parità di $k$.
non ti seguo Gatto 89 ... in che senso "in base alla parità di k" ?
possono assumere come valori +1 e -1 ...
proprio non capisco
possono assumere come valori +1 e -1 ...
proprio non capisco
Cerco di essere più chiaro... ogni numero intero può essere scritto nella forma $2y$, se è pari, o $2y +1$ se è dispari. Prova a sostituire queste espressioni al posto di $k$ e vedi che viene fuori quando vai a mettere il tutto dentro la funzione.
cioè devo sostituire all'argomento (x+y) del seno prima 2y e poi 2y+1 ?
ho capito bene gatto 89?
grazie per la pazienza
ho capito bene gatto 89?
grazie per la pazienza
No non è corretto quel che dici.
Gli infiniti punti stazionari della funzione $f=sen(x+y) $ sono determinati dalla relazione
$x+y= pi/2+kpi $ con $ k in ZZ $ il che vuol dire che $ k $ assume i valori :$ .........-2,-1,0,1,2,...........$
........................................................
se $ k=-1 ; x+y = -pi/2; sen(-pi/2)= -1$
se $k= 0 ; x+y= pi/2 ; sin (pi/2) = 1 $
se $ k=1 ; x+y = 3pi/2 ; sin (3pi/2)= -1 $
se $ k= 2 ; x+y =5pi/2 ; sin(5pi/2)=1 $
.....................................
Dovrebbe essere chiaro che i valori assunti dalla funzione nei punti critici sono solo $+-1 $ quindi max/min che si hanno rispettivamente per $k $ pari / $k $ dispari.
I numeri pari si possono esprimere sinteticamente come $ 2n $ mentre i numeri dispari come $ 2n+1 $ con $ n in NN $ ok ?
Gli infiniti punti stazionari della funzione $f=sen(x+y) $ sono determinati dalla relazione
$x+y= pi/2+kpi $ con $ k in ZZ $ il che vuol dire che $ k $ assume i valori :$ .........-2,-1,0,1,2,...........$
........................................................
se $ k=-1 ; x+y = -pi/2; sen(-pi/2)= -1$
se $k= 0 ; x+y= pi/2 ; sin (pi/2) = 1 $
se $ k=1 ; x+y = 3pi/2 ; sin (3pi/2)= -1 $
se $ k= 2 ; x+y =5pi/2 ; sin(5pi/2)=1 $
.....................................
Dovrebbe essere chiaro che i valori assunti dalla funzione nei punti critici sono solo $+-1 $ quindi max/min che si hanno rispettivamente per $k $ pari / $k $ dispari.
I numeri pari si possono esprimere sinteticamente come $ 2n $ mentre i numeri dispari come $ 2n+1 $ con $ n in NN $ ok ?
PER CAMILLO E GATTO89:
quindi da ciò che mi dite voi ci sarebbero infiniti punti di minimo e infiniti punti di massimo ?
E' cosi??
Potete togliermi un altra curiosità per favore:
quindi in questi casi quando mi conviene sempre comportarmi in questo modo come mi dite voi??
cioè quando mi trovo di fonte a un luogo di punti stazionari devo sostituire nella funzione di partenza e vedere la situazione che mi ritrovo?? è cosi??
GRAZIE MILLE
quindi da ciò che mi dite voi ci sarebbero infiniti punti di minimo e infiniti punti di massimo ?
E' cosi??
Potete togliermi un altra curiosità per favore:
quindi in questi casi quando mi conviene sempre comportarmi in questo modo come mi dite voi??
cioè quando mi trovo di fonte a un luogo di punti stazionari devo sostituire nella funzione di partenza e vedere la situazione che mi ritrovo?? è cosi??
GRAZIE MILLE
Ecco il grafico di $ z = sin (x+y) $ che presenta $ oo $ punti di max e $ oo $ punti di min
Uploaded with ImageShack.us
in corrispondenza delle rette di equazione
$y = -x+pi/2 +kpi $ - Max per $ k $ pari ; min per $ k $ dispari
Uploaded with ImageShack.us
in corrispondenza delle rette di equazione
$y = -x+pi/2 +kpi $ - Max per $ k $ pari ; min per $ k $ dispari
GRAZIE PER LA CONUSULENZA CAMILLO
P.S. Come hai fatto a sviluppare il grafico della funzione? hai usato un particolare programma?
grazie
P.S. Come hai fatto a sviluppare il grafico della funzione? hai usato un particolare programma?
grazie
Ho usato DERIVE per il grafico che poi ho uploadato con ImageShack.us.
A parte il grafico ti è chiaro il resto, in particolare il fatto che in questo caso era inutile lo studio dell'Hessiana e bastava una semplice analisi locale ?
Analisi locale che è necessaria sempre nel caso di determinante della matrice Hessiana nullo.
A parte il grafico ti è chiaro il resto, in particolare il fatto che in questo caso era inutile lo studio dell'Hessiana e bastava una semplice analisi locale ?
Analisi locale che è necessaria sempre nel caso di determinante della matrice Hessiana nullo.
sempre per CAMILLO
quindi volendo ricapitolare:
quando l'hessiano è nullo vado a studiare il segno della funzione facendo anche un "disegno" delle zone in cui è positiva e delle zone in cui è negativa e poi vedo il punto critico in questione come is comporta per ogni suo intorno .
se la funzione è dotata di punti critici che sono dei "luoghi" allora devo fare come in questo caso??
e' cosi per sommi capi ?
grazie
quindi volendo ricapitolare:
quando l'hessiano è nullo vado a studiare il segno della funzione facendo anche un "disegno" delle zone in cui è positiva e delle zone in cui è negativa e poi vedo il punto critico in questione come is comporta per ogni suo intorno .
se la funzione è dotata di punti critici che sono dei "luoghi" allora devo fare come in questo caso??
e' cosi per sommi capi
?grazie
Nel caso di Hessiano nullo in un punto critico $(x_0,y_0)$ [ tale quindi per cui $grad f(x_0,y_0)=0$ e candidato ad essere punto di Max, di min o di sella] si deve fare un'analisi locale.
Si deve cioè studiare in un intorno del punto $(x_0,y_0)$ il segno di:
$Delta f(x,y) = f(x,y)-f(x_0,y_0) $ ; NON il segno della funzione - naturalmente se $f(x_0,y_0) =0 $ allora coincide con lo studiare il segno della funzione nell'intorno.
Se $Delta f > 0 $ allora $(x_0,y_0 ) $ è punto di minimo
Se $Delta f < 0 $ allora $(x_0,y_0 ) $ è punto di Max
Se $Delta f $ cambia segno allora è punto di sella .
ok ?
Si deve cioè studiare in un intorno del punto $(x_0,y_0)$ il segno di:
$Delta f(x,y) = f(x,y)-f(x_0,y_0) $ ; NON il segno della funzione - naturalmente se $f(x_0,y_0) =0 $ allora coincide con lo studiare il segno della funzione nell'intorno.
Se $Delta f > 0 $ allora $(x_0,y_0 ) $ è punto di minimo
Se $Delta f < 0 $ allora $(x_0,y_0 ) $ è punto di Max
Se $Delta f $ cambia segno allora è punto di sella .
ok ?
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