Limiti studio di funzione
Ciao a tutti ragazzi sto facendo uno studio di funzione, di: $sqrt((x^3)/(x+1))$, ma ho dei problemi con il calcolo dei limiti agli estremi del CE, che è $]-infty;-1[u[0;+infty[$
è corretto se faccio il $lim_(x -> oo) sqrt((x^3)/(x+1)) = lim_(x -> oo) sqrt((x^3)/(x(1+1/x)))$
e dico che $1/x$ tende a $0$, poi semplifico $x^3$ con la $x$ a denominatore, facendo rimanere $sqrt(x^2)$ ?
mi uscirebbe pertanto che tale limite, per x che tende a più/meno infinito è $+oo$
il secondo limite è: $lim_(x -> -1^(-)) sqrt((x^3)/(x+1))$
(so già dal CE che in $x=-1$ vi è un asintoto verticale, pertanto il limite uscirà $oo$ )
quindi, sostituisco e ottengo: $lim_(x -> -1^(-)) sqrt(((-1^(-))^3)/(-1^(-)+1))$
so che $n/0 = oo$, ma come faccio a determinare il segno dell'infinito?
In ultimo il $lim_(x -> 0^(+)) sqrt((x^3)/(x+1)) = lim_(x -> 0^(+)) sqrt((0)/(1)) = oo$
Grazie mille a tutti!!
è corretto se faccio il $lim_(x -> oo) sqrt((x^3)/(x+1)) = lim_(x -> oo) sqrt((x^3)/(x(1+1/x)))$
e dico che $1/x$ tende a $0$, poi semplifico $x^3$ con la $x$ a denominatore, facendo rimanere $sqrt(x^2)$ ?
mi uscirebbe pertanto che tale limite, per x che tende a più/meno infinito è $+oo$
il secondo limite è: $lim_(x -> -1^(-)) sqrt((x^3)/(x+1))$
(so già dal CE che in $x=-1$ vi è un asintoto verticale, pertanto il limite uscirà $oo$ )
quindi, sostituisco e ottengo: $lim_(x -> -1^(-)) sqrt(((-1^(-))^3)/(-1^(-)+1))$
so che $n/0 = oo$, ma come faccio a determinare il segno dell'infinito?
In ultimo il $lim_(x -> 0^(+)) sqrt((x^3)/(x+1)) = lim_(x -> 0^(+)) sqrt((0)/(1)) = oo$
Grazie mille a tutti!!
Risposte
*Ricorda che $sqrt(x^2)= |x| $ e quindi $ f(x)= sqrt(x^3/(x+1))= |x| sqrt(x/(x+1)) $.
* $ lim_(x rarr -1^(-)) sqrt(x^3/(x+1)) = sqrt(-1/0^(-)) rarr +oo $.
D'altronde dove la radice è definita non può che assumere valori positivi o nulli.
* perchè calcolare $lim_(x rarr 0 ) f(x) $ ? $x=0 $ appartiene al dominio e puoi calcolare $f(0)=0 $.
* $ lim_(x rarr -1^(-)) sqrt(x^3/(x+1)) = sqrt(-1/0^(-)) rarr +oo $.
D'altronde dove la radice è definita non può che assumere valori positivi o nulli.
* perchè calcolare $lim_(x rarr 0 ) f(x) $ ? $x=0 $ appartiene al dominio e puoi calcolare $f(0)=0 $.
* Hai ragione, non mi ricordavo più la cosa di $sqrt(x^2)$! 
E, quindi, a questo punto $|x|$ sarà sempre positivo ed è per quello che avrò sempre $+oo$, giusto?
* OK!
*Quindi se un punto appartiene al CE non ne devo calcolare il limite...anche se ne è "agli estremi"?
Anche perché, infatti, facendo le intersezioni con gli assi, mi era uscita l'origine $O(0,0)$
Grazie mille!!
E, quindi, a questo punto $|x|$ sarà sempre positivo ed è per quello che avrò sempre $+oo$, giusto?
* OK!
*Quindi se un punto appartiene al CE non ne devo calcolare il limite...anche se ne è "agli estremi"?
Anche perché, infatti, facendo le intersezioni con gli assi, mi era uscita l'origine $O(0,0)$
Grazie mille!!
e in questo caso avrei che il limite per $x->oo$ esce $oo$, e dovrei cercare l'asintoto obliquo..ma mi sono accorto solo ora che avrei dovuto cercarlo:
allora ho fatto:
$m = lim_(x->oo) (f(x)/x)$ e, per il ragionamento di prima alla mia $f(x)$ posso sostituire $|x|$ perché $sqrt(x/(x+1))$ è asintotico a $1$, giusto?
e otterrei $|x|/x = 1$ $=> m=1$
allora passo a cercare $q$
$q = f(x) - mx$ $=> f(x) - x$ e se a $f(x)$ sostituisco sempre il mio $|x|$ otterrei $|x|-x = 0$, giusto?
ma così l'equazione del mio asintoto obliquo sarebbe $y=x$ che è la bisettrice I-III quadrante e...direi che è sbagliato....
allora ho fatto:
$m = lim_(x->oo) (f(x)/x)$ e, per il ragionamento di prima alla mia $f(x)$ posso sostituire $|x|$ perché $sqrt(x/(x+1))$ è asintotico a $1$, giusto?
e otterrei $|x|/x = 1$ $=> m=1$
allora passo a cercare $q$
$q = f(x) - mx$ $=> f(x) - x$ e se a $f(x)$ sostituisco sempre il mio $|x|$ otterrei $|x|-x = 0$, giusto?
ma così l'equazione del mio asintoto obliquo sarebbe $y=x$ che è la bisettrice I-III quadrante e...direi che è sbagliato....
anche q si calcola con un limite. in particolare col limite della quantità che hai già scritto nella penultima riga:
[tex]lim_{x->x_0} f(x) - mx[/tex]
dove [tex]x_0[/tex] in questo caso è più infinito, f(x) è la funzione che hai ed m è ovviamente quello che hai trovato.
comunque attenzione! nei limiti, la radice di 0 fratto qualsiasi NUMERO non è mica infinito! è 0. punto.
[tex]lim_{x->x_0} f(x) - mx[/tex]
dove [tex]x_0[/tex] in questo caso è più infinito, f(x) è la funzione che hai ed m è ovviamente quello che hai trovato.
comunque attenzione! nei limiti, la radice di 0 fratto qualsiasi NUMERO non è mica infinito! è 0. punto.
"Ziel van brand":
anche q si calcola con un limite. in particolare col limite della quantità che hai già scritto nella penultima riga:
[tex]lim_{x->x_0} f(x) - mx[/tex]
dove [tex]x_0[/tex] in questo caso è più infinito, f(x) è la funzione che hai ed m è ovviamente quello che hai trovato.
sisi, scusa....ho dimenticato di scrivere il limite...
"Ziel van brand":
comunque attenzione! nei limiti, la radice di 0 fratto qualsiasi NUMERO non è mica infinito! è 0. punto.
e, ok...ma io non ho la radice di 0 fratto un numero....
"Alecc90":
[...]
e, ok...ma io non ho la radice di 0 fratto un numero....
lo hai scritto nel primo post. è proprio l'ultima formula latex che hai scritto. è quella che "correggevo".
altra cosa: l'asintotico si usa SOLO se la funzione è moltiplicata (o divisa) per altre. altrimenti puoi incappare in errori. come appunto ti è successo se, nel calcolo di q, al posto della funzione metti il modulo di |x|.
se le funzioni appaiono in somme o differenze con altre, bisogna usare lo sviluppo di taylor centrato nel punto a cui sta tendendo il limite.
per farla breve: calcola q sostituendo ad f(x) la funzione data dall'esercizio, non il modulo di x.
Ah si, giusto, scusa..infatti è anche sbagliato fare quel limite, ma comunque hai ragione, avrei dovuto scrivere $0$ semmai..! 
Ma, invece, per quanto riguarda l'asintoto obliquo, secondo te ho fatto i calcoli giusti, nel senso, mi hai detto di non "sostiuire" alla "f(x)" il modulo di $x$
(per $q$ qui sul foglio ho fatto il limite di $f(x)-x$, però, secondo il mio grafico la retta $y=x$ non è proprio asintoto di nulla... )
Ma, invece, per quanto riguarda l'asintoto obliquo, secondo te ho fatto i calcoli giusti, nel senso, mi hai detto di non "sostiuire" alla "f(x)" il modulo di $x$
"Alecc90":
e in questo caso avrei che il limite per $x->oo$ esce $oo$, e dovrei cercare l'asintoto obliquo..ma mi sono accorto solo ora che avrei dovuto cercarlo:
allora ho fatto:
$m = lim_(x->oo) (f(x)/x)$ e, per il ragionamento di prima alla mia $f(x)$ posso sostituire $|x|$ perché $sqrt(x/(x+1))$ è asintotico a $1$, giusto?
e otterrei $|x|/x = 1$ $=> m=1$
allora passo a cercare $q$
$q = f(x) - mx$ $=> f(x) - x$ e se a $f(x)$ sostituisco sempre il mio $|x|$ otterrei $|x|-x = 0$, giusto?
ma così l'equazione del mio asintoto obliquo sarebbe $y=x$ che è la bisettrice I-III quadrante e...direi che è sbagliato....
(per $q$ qui sul foglio ho fatto il limite di $f(x)-x$, però, secondo il mio grafico la retta $y=x$ non è proprio asintoto di nulla...
)
in realtà l'asintoto è proprio la bisettrice y=x...
lo vedi anche molto facilmente: per x che tende ad infinito, l'1 al denominatore conta poco e niente, quindi la radice diventa:
[tex]\sqrt{\frac{x^3}{1+x}} \approx \sqrt{\frac{x^3}{x}} = \sqrt{x^2} = |x|[/tex]
il modulo ti fa inoltre capire che gli asintoti, oltre ad avere q = 0, è proprio |x|. cioè per x che va a più infinito è y = x, per x che tende a meno infinito, y = -x
lo vedi anche molto facilmente: per x che tende ad infinito, l'1 al denominatore conta poco e niente, quindi la radice diventa:
[tex]\sqrt{\frac{x^3}{1+x}} \approx \sqrt{\frac{x^3}{x}} = \sqrt{x^2} = |x|[/tex]
il modulo ti fa inoltre capire che gli asintoti, oltre ad avere q = 0, è proprio |x|. cioè per x che va a più infinito è y = x, per x che tende a meno infinito, y = -x
"Ziel van brand":
in realtà l'asintoto è proprio la bisettrice y=x...
è..lo so..sembrerebbe anche a me...però il grafico mi esce praticamente come questo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28%28x^3%29%2F%28x%2B1%29%29
e la bisettrice $y=x$ non è asintoto obliquo di nulla.....
ma cavoli! hai pure fatto il grafico e non vedi gli asintoti?
si vede benissimo che, per grandi x, la funzione è simile alla bisettrice!
si vede benissimo che, per grandi x, la funzione è simile alla bisettrice!
"Ziel van brand":
ma cavoli! hai pure fatto il grafico e non vedi gli asintoti?
si vede benissimo che, per grandi x, la funzione è simile alla bisettrice!
eeehh...si che ho fatto il grafico...ma:
- a $-oo$ la funzione va a $+oo$
-in $x=-1$ ho un asintoto verticale
- in $(-1,0]$ la funzione nn esiste
- passa per l'origine $O(0,0)$
- a $+oo$ la funzione va a $+oo$
forse per gli ultimi due punti si potrebbe dire che è la retta $y=x$
ma...io mica stavo cercando degli asintoti...?
scusami, ma siamo d'accordo su cosa siano gli asintoti...?
io ho capito che stavi cercando gli asintoti ad infinito. questi poi sono asintoti OBLIQUI.
per trovare quindi questi asintoti obliqui ad infinito, devi usare proprio le formule che hai usato. queste ti restituiscono esattamente le funzioni y = x e y = -x. il primo è l'asintoto delle funzione a PIÙ INFINITO: cioè per grandi valori di x, la funzione assomiglia sempre più alla retta y=x. il secondo è l'asintoto a MENO INFINITO.
non mischiare gli asintoti all'infinito con gli asintoti in punti ben definiti (come x = -1). anch'essi sono asintoti, ma NON stiamo calcolando quelli finora...
abbiamo solo calcolato gli asintoti all'infinito che SONO le bisettrici.
io ho capito che stavi cercando gli asintoti ad infinito. questi poi sono asintoti OBLIQUI.
per trovare quindi questi asintoti obliqui ad infinito, devi usare proprio le formule che hai usato. queste ti restituiscono esattamente le funzioni y = x e y = -x. il primo è l'asintoto delle funzione a PIÙ INFINITO: cioè per grandi valori di x, la funzione assomiglia sempre più alla retta y=x. il secondo è l'asintoto a MENO INFINITO.
non mischiare gli asintoti all'infinito con gli asintoti in punti ben definiti (come x = -1). anch'essi sono asintoti, ma NON stiamo calcolando quelli finora...
abbiamo solo calcolato gli asintoti all'infinito che SONO le bisettrici.
mmh..sisi non sto mischiando le cose...avevo messo in evidenza in una lista i punti salienti dello studio..
comunque gli asintoti non sono delle rette alla quale una funzione si avvicina senza mai toccarla..?
tu così non mi stai dicendo che quando andiamo a cercare gli asintoti, quelli sono parte della nostra funzione...? perchè io non la sapevo così....
comunque gli asintoti non sono delle rette alla quale una funzione si avvicina senza mai toccarla..?
tu così non mi stai dicendo che quando andiamo a cercare gli asintoti, quelli sono parte della nostra funzione...? perchè io non la sapevo così....
io non ho mai detto che fanno parte della funzione o.o
io sto solo sottintendendo: "la funzione si AVVICINA indefinitamente ad una curva che, per questo motivo, prende il nome di asintoto".
nel tuo caso l'asintoto a PIÙ INFINITO è la retta y=x. questo significa che la funzione assume valori INDEFINITAMENTE VICINI a quelli assunti dalla retta y=x, ma NON esiste nessuna x in cui la funzione e l'asintoto assumono ESATTAMENTE lo stesso valore.
nel tuo caso, hai le condizioni per avere un asintoto obliquo, e i valori FINITI di m e q confermano che a +infinito hai un asintoto obliquo.
questo asintoto lo trovi o usando quelle formule per me e q, oppure basta osservare e manipolare adeguatamente la funzione.
infatti hai che, per x molto molto molto grandi, il +1 al denominatore non conta nulla (prova a calcolare 1000^3 / (1000 +1). vedrai che non è un valore tanto diverso da 1000^3 / 1000...), quindi:
[tex]lim_{x->+ \infty} \sqrt{\frac{x^3}{1+x}}[/tex] è APPROSSIMABILE con [tex]lim_{x->+\infty} \sqrt{\frac{x^3}{x}}[/tex] che diventa quindi |x|.
ho cioè osservato che per x molto molto molto grandi, la funzione è APPROSSIMABILE da y=|x|, che è quindi il suo asintoto ad infinito!
io sto solo sottintendendo: "la funzione si AVVICINA indefinitamente ad una curva che, per questo motivo, prende il nome di asintoto".
nel tuo caso l'asintoto a PIÙ INFINITO è la retta y=x. questo significa che la funzione assume valori INDEFINITAMENTE VICINI a quelli assunti dalla retta y=x, ma NON esiste nessuna x in cui la funzione e l'asintoto assumono ESATTAMENTE lo stesso valore.
nel tuo caso, hai le condizioni per avere un asintoto obliquo, e i valori FINITI di m e q confermano che a +infinito hai un asintoto obliquo.
questo asintoto lo trovi o usando quelle formule per me e q, oppure basta osservare e manipolare adeguatamente la funzione.
infatti hai che, per x molto molto molto grandi, il +1 al denominatore non conta nulla (prova a calcolare 1000^3 / (1000 +1). vedrai che non è un valore tanto diverso da 1000^3 / 1000...), quindi:
[tex]lim_{x->+ \infty} \sqrt{\frac{x^3}{1+x}}[/tex] è APPROSSIMABILE con [tex]lim_{x->+\infty} \sqrt{\frac{x^3}{x}}[/tex] che diventa quindi |x|.
ho cioè osservato che per x molto molto molto grandi, la funzione è APPROSSIMABILE da y=|x|, che è quindi il suo asintoto ad infinito!
"Ziel van brand":
io non ho mai detto che fanno parte della funzione o.o
io sto solo sottintendendo: "la funzione si AVVICINA indefinitamente ad una curva che, per questo motivo, prende il nome di asintoto".
nel tuo caso l'asintoto a PIÙ INFINITO è la retta y=x. questo significa che la funzione assume valori INDEFINITAMENTE VICINI a quelli assunti dalla retta y=x, ma NON esiste nessuna x in cui la funzione e l'asintoto assumono ESATTAMENTE lo stesso valore.
nel tuo caso, hai le condizioni per avere un asintoto obliquo, e i valori FINITI di m e q confermano che a +infinito hai un asintoto obliquo.
questo asintoto lo trovi o usando quelle formule per me e q, oppure basta osservare e manipolare adeguatamente la funzione.
infatti hai che, per x molto molto molto grandi, il +1 al denominatore no conta nulla (prova a calcolare 1000^3 / (1000 +1). vedrai che non è un valore tanto diverso da 1000^3 / 1000...), quindi:
[tex]lim_{x->x_0} \sqrt{\frac{x^3}{1+x}}[/tex] è APPROSSIMABILE con [tex]lim_{x->x_0} \sqrt{\frac{x^3}{x}}[/tex] che diventa quindi |x|.
ho cioè osservato che per x molto molto molto grandi, la funzione è APPROSSIMABILE da y=|x|, che è quindi il suo asintoto ad infinito!
ah ok...no allora siamo d'accordo su cosa siano gli asintoti...!!
per il fatto del +1 a denominatore OK!
l'unico dubbio mi rimane ancora sul secondo asintoto obliquo, quello $y=-x$ perchè a me la funzione esce come in questo link:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28%28x^3%29%2F%28x%2B1%29%29
Ziel per favore stai attento, in questo esercizio la cosa da notare era una..
$lim_(x->+oo) (f(x)-mx)= lim_(x->+oo) [ xsqrt(x/(x(1+1/x)))-x]=lim_(x->+oo) [x(1+1/x)^(-1/2)-x]=lim_(x->+oo) [x(1-1/(2x))-x]=-1/2$. Ho semplicemente usato gli sviluppi di Taylor di cui parlavi prima..
L'asintoto obliquo nel primo quadrante è quindi $y=x-1/2$.
$lim_(x->+oo) (f(x)-mx)= lim_(x->+oo) [ xsqrt(x/(x(1+1/x)))-x]=lim_(x->+oo) [x(1+1/x)^(-1/2)-x]=lim_(x->+oo) [x(1-1/(2x))-x]=-1/2$. Ho semplicemente usato gli sviluppi di Taylor di cui parlavi prima..
L'asintoto obliquo nel primo quadrante è quindi $y=x-1/2$.
[tex]lim_{x->\infty} \sqrt{\frac{x^3}{x+1}} \approx lim_{x->\infty} \sqrt{\frac{x^3}{x}} = lim_{x->\infty} |x|[/tex]
tutti questi passaggi valgono sia che tu stia andando a +infinito che a -infinito.
trovi quindi che a INFINITO (senza segno, quindi che sia -infinito o +infinito, il risultato NON cambia), la funzione è approssimabile da y = |x|.
poi ovviamente credo tu sappia che:
[tex]|x| = x[/tex] se [tex]x >0[/tex]
[tex]|x| = -x[/tex] se [tex]x <0[/tex]
quindi a +infinito, il modulo va sostituito semplicemente con x, quindi: y = x è l'asintoto a PIÙ INFINITO.
per x che tende a -infinito invece, il modulo va sostituito con -x, quindi: y= -x è l'asintoto a MENO INFINITO.
l'asintoto a x = -1 è altra storia ovviamente
tutti questi passaggi valgono sia che tu stia andando a +infinito che a -infinito.
trovi quindi che a INFINITO (senza segno, quindi che sia -infinito o +infinito, il risultato NON cambia), la funzione è approssimabile da y = |x|.
poi ovviamente credo tu sappia che:
[tex]|x| = x[/tex] se [tex]x >0[/tex]
[tex]|x| = -x[/tex] se [tex]x <0[/tex]
quindi a +infinito, il modulo va sostituito semplicemente con x, quindi: y = x è l'asintoto a PIÙ INFINITO.
per x che tende a -infinito invece, il modulo va sostituito con -x, quindi: y= -x è l'asintoto a MENO INFINITO.
l'asintoto a x = -1 è altra storia ovviamente
"Giuly19":
Ziel per favore stai attento, in questo esercizio la cosa da notare era una..
$lim_(x->+oo) (f(x)-mx)= lim_(x->+oo) [ xsqrt(x/(x(1+1/x)))-x]=lim_(x->+oo) [x(1+1/x)^(-1/2)-x]=lim_(x->+oo) [x(1-1/(2x))-x]=-1/2$. Ho semplicemente usato gli sviluppi di Taylor di cui parlavi prima..
L'asintoto obliquo nel primo quadrante è quindi $y=x-1/2$.
in questo passaggio:
$lim_(x->+oo) [x(1+1/x)^(-1/2)-x]=lim_(x->+oo) [x(1-1/(2x))-x]$
hai usato l'asintoticità di $(1+1/x)^(-1/2)$, ottenendo quindi un risultato sbagliato
taylor e funzioni asintotiche sono molto legate (la funzione asintotica è SOLO il PRIMO termine dello sviluppo di taylor). solo che quando usi taylor devi scrivere anche l'o piccolo e DIMOSTRARE che l'o-piccolo tenda effettivamente a zero nel limite che stai calcolando. per questo motivo taylor "non ti fa sbagliare".
nel passaggio che tu hai fatto, hai usato l'asintotico o, se vogliamo, hai usato taylor al PRIMO ordine SENZA inserire l'o-piccolo... e da qui l'errore.
Mi sconcerta un attimo il fatto che uno che afferma certe cose sia poi qua a spiegarle agli altri..
Te lo riscrivo con gli o-piccoli almeno capisci:
$lim_(x->+oo) [x(1+1/x)^(-1/2)-x]=lim_(x->+oo) [x(1-1/(2x)+o(1/x))-x]=lim_(x->+oo) [x-1/2+o(1)-x]=$
$=lim_(x->+oo) [-1/2+o(1/2)]=-1/2$.
Così ci credi?
Per $x-> -oo$ l'asintoto diventa $y=-x+1/2$.
Te lo riscrivo con gli o-piccoli almeno capisci:
$lim_(x->+oo) [x(1+1/x)^(-1/2)-x]=lim_(x->+oo) [x(1-1/(2x)+o(1/x))-x]=lim_(x->+oo) [x-1/2+o(1)-x]=$
$=lim_(x->+oo) [-1/2+o(1/2)]=-1/2$.
Così ci credi?
Per $x-> -oo$ l'asintoto diventa $y=-x+1/2$.
dato il tono, mi astengo dal rispondere.
mi rivolgo solo ad alec un'ultima volta, per dirgli che: usa un programma per disegnare i due grafici sovrapposti sia della funzione, sia dell'asintoto.
buona continuazione
mi rivolgo solo ad alec un'ultima volta, per dirgli che: usa un programma per disegnare i due grafici sovrapposti sia della funzione, sia dell'asintoto.
buona continuazione
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