Limiti e forme indeterminate
$lim_{x \to \1}(x^2+x+1)/(x-1)$
Con 1^- e 1^+ (scusate , non so come si scrive) .Cioè,se calcolo il limite di x che tende a uno sostituisco 1 a x mentre se voglio calcolare il limite destro/sinistro ?
Con 1^- e 1^+ (scusate , non so come si scrive) .Cioè,se calcolo il limite di x che tende a uno sostituisco 1 a x mentre se voglio calcolare il limite destro/sinistro ?
Risposte
Non pensare a una "semplice sostituzione", altrimenti rischi di non capire.
Pensa piuttosto: cosa succede al denominatore se ti avvicini a $1$ da destra o da sinistra? Come si comporta cioè la funzione "immediatamente prima" e "immediatamente dopo" tale punto?
Pensa piuttosto: cosa succede al denominatore se ti avvicini a $1$ da destra o da sinistra? Come si comporta cioè la funzione "immediatamente prima" e "immediatamente dopo" tale punto?
aggiungo solo una cosa
quando studi i limiti di una funzione ha già stabilito quale sia il dominio della stessa; allora nel tuo caso hai che che $x\ne 1;$ vista la particolare struttura della funzione, ne puoi studiare semplicemente il segno: ed ottieni che la funzione risulta positiva per $x>1;$ allora, seguedo i consigli di Brancaleone puoi facilmete cocludere circa il comportamente un pò prima e un pò dopo il punto $x=1$ ...
quando studi i limiti di una funzione ha già stabilito quale sia il dominio della stessa; allora nel tuo caso hai che che $x\ne 1;$ vista la particolare struttura della funzione, ne puoi studiare semplicemente il segno: ed ottieni che la funzione risulta positiva per $x>1;$ allora, seguedo i consigli di Brancaleone puoi facilmete cocludere circa il comportamente un pò prima e un pò dopo il punto $x=1$ ...
Un po prima sarà negativa e un po dopo sarà positiva quindi per questo dovrebbe essere -infinito se mi avvicino da sinistra ? Ma basta veramente conoscere solo i punti in cui la funzione è positiva e i punti in cui la funzione è negativa ..? Il limite dx e sx determina il segno del risultato ?
Cioè,io la pensavo così e basta : "
$lim_{x \to \0}(-4+7x)/(e^x-1)$
con 0^- --> ah , ok , sostituisco 0 e ottengo $-4/0$ ossia -infinito ma visto che è 0^- allora ci butto un segno meno e mi diventa +infinito . Con lo studio dei segni arrivo alle stesse conclusioni di questo mio modo di fare..sinceramente spero ci sia solo questo e che invece non bisogni fare altro ..
$lim_{x \to \0}(-4+7x)/(e^x-1)$
con 0^- --> ah , ok , sostituisco 0 e ottengo $-4/0$ ossia -infinito ma visto che è 0^- allora ci butto un segno meno e mi diventa +infinito . Con lo studio dei segni arrivo alle stesse conclusioni di questo mio modo di fare..sinceramente spero ci sia solo questo e che invece non bisogni fare altro ..
Una spiegazione di carattere meno intuitivo può essere questa.
Supponiamo $f: A\to RR$, $x_0\in \text{Dr}(A)$; innanzitutto, diciamo che $f(x)\to L^+\in RR$ (il caso $L^-$ è analogo) per $x\to x_0$ (oppure per $x\to x_0^+$ o $x\to x_0^-$) se $f(x)\to L$ ed esiste un intorno $U$ (nel caso $x\to x_0^+$, parliamo di un intorno destro; nel caso $x\to x_0^-$ l'intorno è sinistro) di $x_0$ tale che $\forall x\in U\cap A \setminus \{x_0\}$, $f(x)>L$.
Dimostri facilmente che se $g(x)\to 0^+$ (rispettivamente $0^-$) per $x\to 0^+$ e $f(x)\to L\in \bar{RR}^\star$, allora
\[f(x)/g(x)\to +\infty\cdot \text{sgn}(L)\]
Nel tuo caso, il numeratore va a $3$ in ogni caso ($3^+$, $3^-$, non fa differenza...), mentre il denominatore va a $0^+$ quando $x\to 1^+$ e a $0^-$ nell'altro caso. In base a quanto detto, segue che (chiamiamola $h$ la tua funzione)
\[\lim_{x\to 1^+}h(x)=+\infty\qquad \lim_{x\to 1^-}h(x)=-\infty\]
e, di conseguenza, non esiste $\lim_{x\to 1 }h(x)$.
Spero di esserti stato utile/chiaro
PS: Ah, $\text{Dr}(A)$ è l'insieme dei punti di accumulazione di $A$.
Supponiamo $f: A\to RR$, $x_0\in \text{Dr}(A)$; innanzitutto, diciamo che $f(x)\to L^+\in RR$ (il caso $L^-$ è analogo) per $x\to x_0$ (oppure per $x\to x_0^+$ o $x\to x_0^-$) se $f(x)\to L$ ed esiste un intorno $U$ (nel caso $x\to x_0^+$, parliamo di un intorno destro; nel caso $x\to x_0^-$ l'intorno è sinistro) di $x_0$ tale che $\forall x\in U\cap A \setminus \{x_0\}$, $f(x)>L$.
Dimostri facilmente che se $g(x)\to 0^+$ (rispettivamente $0^-$) per $x\to 0^+$ e $f(x)\to L\in \bar{RR}^\star$, allora
\[f(x)/g(x)\to +\infty\cdot \text{sgn}(L)\]
Nel tuo caso, il numeratore va a $3$ in ogni caso ($3^+$, $3^-$, non fa differenza...), mentre il denominatore va a $0^+$ quando $x\to 1^+$ e a $0^-$ nell'altro caso. In base a quanto detto, segue che (chiamiamola $h$ la tua funzione)
\[\lim_{x\to 1^+}h(x)=+\infty\qquad \lim_{x\to 1^-}h(x)=-\infty\]
e, di conseguenza, non esiste $\lim_{x\to 1 }h(x)$.
Spero di esserti stato utile/chiaro
PS: Ah, $\text{Dr}(A)$ è l'insieme dei punti di accumulazione di $A$.
Guarda,grazie a te e a tutti gli altri 
Allora ci si ferma solo a questo..ma allora perchè per
$lim_{x \to \pi^+}(cosx+2)/(senx)$
mi da -infinito ? Almeno così c'è scritto sul libro ..
verrebbe $(-1+2)/0$ ossia $1/0^+$ --> infinito (da quello che ho capito dalle vostre spiegazioni).
Altra domanda:
$lim_{x \to \1}(1-x^2)/(x-1)$
a me viene 2 ma sul libro c'è scritto -2 ..
Allora ci si ferma solo a questo..ma allora perchè per
$lim_{x \to \pi^+}(cosx+2)/(senx)$
mi da -infinito ? Almeno così c'è scritto sul libro ..
verrebbe $(-1+2)/0$ ossia $1/0^+$ --> infinito (da quello che ho capito dalle vostre spiegazioni).
Altra domanda:
$lim_{x \to \1}(1-x^2)/(x-1)$
a me viene 2 ma sul libro c'è scritto -2 ..
Per $x\to \pi^+$ hai $\sin x\to 0^-$ (se non lo è già, guardando il grafico ti risulterà evidente), in più il numeratore tende a $1>0$, quindi...
L'altro risulta $2$ anche a me
EDIT: No bugia è $-2$. Hai, per $x\ne 1$:
\[\dfrac{(1-x^2)}{x-1}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{x-1}=-(1+x)\]
L'altro risulta $2$ anche a me
EDIT: No bugia
è $-2$. Hai, per $x\ne 1$:\[\dfrac{(1-x^2)}{x-1}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{x-1}=-(1+x)\]
Ok,allora il risultato del secondo esercizio è sbagliato (sul libro) XD
Che il seno tenda a $0^-$ non lo vedo .. disegno la sinusoide e una freccia che si dirige a $pi$ solo che mi sembra come tutte le altre situazioni che ho incontrato in precedenza..può essere un problema se non conosco le disequazioni trigonometriche ?
Che il seno tenda a $0^-$ non lo vedo .. disegno la sinusoide e una freccia che si dirige a $pi$ solo che mi sembra come tutte le altre situazioni che ho incontrato in precedenza..può essere un problema se non conosco le disequazioni trigonometriche ?
Ma come no? Scusami, non vedi un intervallino del tipo $(\pi, r)$ (ovverosia un intorno destro di $pi$) in cui il grafico di $\sin x$ si trova sotto l'asse $x$ ($\sin x<0$)? Non è che la freccia va dal lato sbagliato?
EDIT: no, il risultato del libro è corretto
EDIT: no, il risultato del libro è corretto
Ma dai,che roba XD
Bòn, ho capito .. per le funzioni trigonometriche posso utilizzare i grafici per capirlo .. però questa faccenda non mi è ancora totalmente chiara.. XD
$lim_{x \to \(3/2)^+}(3-2x)/(4x^2-12x+9)$
Io scompongo e mi viene $(3-2x)/[4(x-3/2)^2]$ .. ossia $0/[4(x-3/2)^2]$ ..
Il libro mi da come risultato -infinito.. non credo vada oltre la scomposizione ma come posso fare ? Grazie di tutto!
Bòn, ho capito .. per le funzioni trigonometriche posso utilizzare i grafici per capirlo .. però questa faccenda non mi è ancora totalmente chiara.. XD
$lim_{x \to \(3/2)^+}(3-2x)/(4x^2-12x+9)$
Io scompongo e mi viene $(3-2x)/[4(x-3/2)^2]$ .. ossia $0/[4(x-3/2)^2]$ ..
Il libro mi da come risultato -infinito.. non credo vada oltre la scomposizione ma come posso fare ? Grazie di tutto!
Benissimo, hai
\[g(x):=4x^2-12x+9=4(x-3/2)^2\]
Facendo solo "conti", ti chiedo: esiste un intorno destro di $3/2$ tale che $g(x)>0$ in ciascun punto di tale intorno? Certo che sì
Ce ne sono quanti ne vuoi xD
EDIT: Ah, aspetta. Non mi ero accorto che anche il numeratore va a $0$. Abbiamo che
\[3-2x=-2(x-3/2)\]
"Semplifica" e il gioco è fatto. Nota che anche $(x-3/2)>0$ in un intorno destro di $3/2$...
\[g(x):=4x^2-12x+9=4(x-3/2)^2\]
Facendo solo "conti", ti chiedo: esiste un intorno destro di $3/2$ tale che $g(x)>0$ in ciascun punto di tale intorno? Certo che sì
Ce ne sono quanti ne vuoi xDEDIT: Ah, aspetta. Non mi ero accorto che anche il numeratore va a $0$. Abbiamo che
\[3-2x=-2(x-3/2)\]
"Semplifica" e il gioco è fatto. Nota che anche $(x-3/2)>0$ in un intorno destro di $3/2$...
che trick,e che ne sapevo! Comunque conosci bernalda ? Ho visto che sei di pisticci
Azz xD Certo che la conosco! Dove/cosa studi?
Fisica alla sapienza (Roma) . Io non sono di Bernalda però lo è mia madre (i miei zii etc.. etc.. ) .. ogni estate scendo a trovare i vari parenti e ogni volta vediamo Pisticci e siccome io odio la macchina per me è un sollievo sentire il nome di quel paese !
Ahahah mi fa piacere 
suppongo ti sia capitato di farci un giro, a Pisticci
Io studio Matematica a Bari. Se dovessi aver bisogno, manda un PM se vuoi (sempre nell'ipotesi che sia in grado di aiutarti )
suppongo ti sia capitato di farci un giro, a Pisticci Io studio Matematica a Bari. Se dovessi aver bisogno, manda un PM se vuoi (sempre nell'ipotesi che sia in grado di aiutarti
)
Ho amici a bari XD
ok e ti ringrazio per x-->infinito
ok e ti ringrazio per x-->infinito
Cosa mi dici ,invece, di
$lim_{x \to \-2}(4x^2+7x-2)/(x^4+5x^3+6x^2-4x-8)$
?
Mi viene fuori $[4(x-1/4)]/[(x+2)(x^2+x-2)]$
ossia $-9/0$ --> -infinito
Il libro mi dice +infinito ..devo pensare che se x tende ad un numero negativo devo considerare al denominatore (in questo caso) $0^-$ ? Questa volta,nota, non è un limite destro o sinistro!
___________________
Aggiungo : $lim_{x \to \-1}(x^2-5x-6)/(3x^2+10x+7)$
scomponendo mi viene $[(x-6)(x+1)]/[3(x+1)(x+7/3)]$
ossia $-21/4$ .. sul libro c'è scritto $-7/4$
___________________
E ancora :
$lim_{x \to \(-1/2)^+}(2x+1)/(4x^3-8x^2-11x-3)$
Che mi viene $2/0$ .. per quello che abbiamo detto dovrei considerarla come una frazione $2/0^+$ perchè x tende da destra però,per la nuova considerazione che ho fatto
mi chiedo : viene -infinito perchè $2/0^+$ con x che tende ad un numero negativo mi da $2/(0^+*-)$ dove + è dovuto dal tendere di destra e meno è dovuto al segno del numero a cui tende la x ?
Scusate se mi sto inventando roba però sto cercando di dargli un senso
$lim_{x \to \-2}(4x^2+7x-2)/(x^4+5x^3+6x^2-4x-8)$
?
Mi viene fuori $[4(x-1/4)]/[(x+2)(x^2+x-2)]$
ossia $-9/0$ --> -infinito
Il libro mi dice +infinito ..devo pensare che se x tende ad un numero negativo devo considerare al denominatore (in questo caso) $0^-$ ? Questa volta,nota, non è un limite destro o sinistro!
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Aggiungo : $lim_{x \to \-1}(x^2-5x-6)/(3x^2+10x+7)$
scomponendo mi viene $[(x-6)(x+1)]/[3(x+1)(x+7/3)]$
ossia $-21/4$ .. sul libro c'è scritto $-7/4$
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E ancora :
$lim_{x \to \(-1/2)^+}(2x+1)/(4x^3-8x^2-11x-3)$
Che mi viene $2/0$ .. per quello che abbiamo detto dovrei considerarla come una frazione $2/0^+$ perchè x tende da destra però,per la nuova considerazione che ho fatto
Il libro mi dice +infinito ..devo pensare che se x tende ad un numero negativo devo considerare al denominatore (in questo caso) $0^-$ ? Questa volta,nota, non è un limite destro o sinistro!
mi chiedo : viene -infinito perchè $2/0^+$ con x che tende ad un numero negativo mi da $2/(0^+*-)$ dove + è dovuto dal tendere di destra e meno è dovuto al segno del numero a cui tende la x ?
Scusate se mi sto inventando roba però sto cercando di dargli un senso
Per quanto riguarda il primo limite scomponi il denominatore (x^2 + x -2) in (x+2)(x-1). E' evidente che (x-1) tenderà ad un numero negativo che farà cambiare di segno la frazione portandola a + infinito.
Per il secondo limite semplifica (x + 1); poi sostituisci il valore -1:a l numeratore otterrai -7 ed al denominatore 4.
Per quanto riguarda la discussione sul limite destro e sinistro io agisco così: quando si parla di limite unico prendo in considerazione l'idea che il limite destro e sinistro siano uguali (ovvero li considero entrambi coincidenti); invece per il limite sinistro mi avvicino da valori più piccoli, mentre per il limite destro da valori più grandi. Per il primo limite che hai postato ad esempio non è necessario andare a riguardare la sinusoide, basta disegnarsi un cerchio goniometrico ed avvicinarsi a *pi da valori più grandi (quindi per esempio parti da 3/2 *pi ed in senso antiorario ti avvicini a *pi notando che il seno è negativo). Ultimo consiglio: lavorando con i limiti non ce ne frega un tubo del valore assunto dalla funzione in quel punto, ci frega soltanto degli intorni ecco perché non possiamo buttarci dentro il valore...come nel caso di pi.
P.s spero di esserti stato un minimo d'aiuto e perdonate la mia scrittura ma non so ancora scrivere in LaTex
Per il secondo limite semplifica (x + 1); poi sostituisci il valore -1:a l numeratore otterrai -7 ed al denominatore 4.
Per quanto riguarda la discussione sul limite destro e sinistro io agisco così: quando si parla di limite unico prendo in considerazione l'idea che il limite destro e sinistro siano uguali (ovvero li considero entrambi coincidenti); invece per il limite sinistro mi avvicino da valori più piccoli, mentre per il limite destro da valori più grandi. Per il primo limite che hai postato ad esempio non è necessario andare a riguardare la sinusoide, basta disegnarsi un cerchio goniometrico ed avvicinarsi a *pi da valori più grandi (quindi per esempio parti da 3/2 *pi ed in senso antiorario ti avvicini a *pi notando che il seno è negativo). Ultimo consiglio: lavorando con i limiti non ce ne frega un tubo del valore assunto dalla funzione in quel punto, ci frega soltanto degli intorni ecco perché non possiamo buttarci dentro il valore...come nel caso di pi.
P.s spero di esserti stato un minimo d'aiuto e perdonate la mia scrittura ma non so ancora scrivere in LaTex
Figurati , grazie !
Ma quindi ,se ho capito bene , devo sempre scomporre finchè posso e non basta arrivare ad un punto in cui sostituendo riesco ad eliminare la forma indeterminata ..? Per la prima torna ad essere $-9/0$ .. mi vorresti dire che anche se al denominatore il prodotto fa zero visto che uno dei due termini che moltiplicava, ossia (x+1) , era negativo la soluzione tiene conto di un segno meno al denominatore ?
La seconda mi torna .. per il fatto del limite dx / sx penso di aver capito però non ne sono sicuro
$lim_{x \to \1^-}(sqrt(5x+4)/(x-1)^2)(sqrt(2)-sqrt(1+x))$
In questa compare la forma indeterminata 0*infinito che ,guardando esempi e leggendo il libro ,a quanto mi pare si risolve portandola alla forma 0/0 .
Ho visto , almeno nella casistica che ho controllato , solo due casi :
si può ricondurre ad un limite notevole ;
con le radici si porta dentro ciò che non è sotto radice e si semplifica..qui non so come andare avanti !
Ma quindi ,se ho capito bene , devo sempre scomporre finchè posso e non basta arrivare ad un punto in cui sostituendo riesco ad eliminare la forma indeterminata ..? Per la prima torna ad essere $-9/0$ .. mi vorresti dire che anche se al denominatore il prodotto fa zero visto che uno dei due termini che moltiplicava, ossia (x+1) , era negativo la soluzione tiene conto di un segno meno al denominatore ?
La seconda mi torna .. per il fatto del limite dx / sx penso di aver capito però non ne sono sicuro
$lim_{x \to \1^-}(sqrt(5x+4)/(x-1)^2)(sqrt(2)-sqrt(1+x))$
In questa compare la forma indeterminata 0*infinito che ,guardando esempi e leggendo il libro ,a quanto mi pare si risolve portandola alla forma 0/0 .
Ho visto , almeno nella casistica che ho controllato , solo due casi :
si può ricondurre ad un limite notevole ;
con le radici si porta dentro ciò che non è sotto radice e si semplifica..qui non so come andare avanti !
Razionalizzando hai
$lim_{x \to \1^-}(sqrt(5x+4)/(x-1)^2)(sqrt(2)-sqrt(1+x)) =$
$lim_{x \to \1^-}(sqrt(5x+4)/(x-1)^2)(sqrt(2)-sqrt(1+x))*((\sqrt2 +sqrt(1+x))/(sqrt2+\sqrt(1+x))=$
$lim_{x \to \1^-}(sqrt(5x+4)/(x-1)^2)*(1-x)/(sqrt2+\sqrt(1+x))$ ( a meno di non aver sbagliato i conti )
Sapresti continuare?
hint :
$lim_{x \to \1^-}(sqrt(5x+4)/(x-1)^2)(sqrt(2)-sqrt(1+x)) =$
$lim_{x \to \1^-}(sqrt(5x+4)/(x-1)^2)(sqrt(2)-sqrt(1+x))*((\sqrt2 +sqrt(1+x))/(sqrt2+\sqrt(1+x))=$
$lim_{x \to \1^-}(sqrt(5x+4)/(x-1)^2)*(1-x)/(sqrt2+\sqrt(1+x))$ ( a meno di non aver sbagliato i conti
)Sapresti continuare?
hint :
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