Limite (x,y) che tende a (2,1)
Ciao a tutti 
Non sono sicuro di aver effettuato in maniera corretta il calcolo di questo limite, anche se il risultato che mi viene non è un mostro
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,1)}\frac{(y-1)^2 \sin{(\pi x)}}{(x-2)^2 + (y-1)^2}\)
Passando alle coordinate polari impongo
\(\displaystyle \begin{cases} x = 2 + \rho \cos \theta \\ y = 1 + \rho \sin \theta \end{cases} \)
Ottengo
\(\displaystyle \frac{(y^2 +1 - 2y) \sin{(\pi x)}}{(x^2+4-2x) + (y^2+1-2y)} = \)
\(\displaystyle = \frac{(1+\rho^2 \sin^2 \theta + 2 \rho \sin \theta +1 - 2 - 2 \rho \sin \theta) \cdot \sin{(2\pi + \pi \rho \cos \theta)}}{(4 + \rho^2 \cos^2 \theta + 4 \rho \cos \theta + 4 -8-4\rho \cos \theta) + (1 + \rho^2 \sin^2 \theta + 2 \rho \sin \theta +1-2-2\rho\sin\theta)} = \)
\(\displaystyle = \frac{\rho^2 \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi \rho \cos\theta)}}{\rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} \le \frac{\rho^2 \sin{(2\pi+\pi\rho)}}{\rho^2} = \sin{(2\pi+\pi\rho)} \)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{\rho \rightarrow 0} \left ( \sin{(2\pi+\pi\rho)} \right ) = \sin{2\pi} = 0 \)
Il dubbio che mi è sorto è: il pezzo finale si può maggiorare? - tipo:
\(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)} \le 2 \pi + \pi \rho \) ?
Però nel caso si potesse, il limite sarebbe diverso
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0} \left ( 2\pi+\pi\rho \right ) = 2\pi \)
Non sono sicuro di aver effettuato in maniera corretta il calcolo di questo limite, anche se il risultato che mi viene non è un mostro
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,1)}\frac{(y-1)^2 \sin{(\pi x)}}{(x-2)^2 + (y-1)^2}\)
Passando alle coordinate polari impongo
\(\displaystyle \begin{cases} x = 2 + \rho \cos \theta \\ y = 1 + \rho \sin \theta \end{cases} \)
Ottengo
\(\displaystyle \frac{(y^2 +1 - 2y) \sin{(\pi x)}}{(x^2+4-2x) + (y^2+1-2y)} = \)
\(\displaystyle = \frac{(1+\rho^2 \sin^2 \theta + 2 \rho \sin \theta +1 - 2 - 2 \rho \sin \theta) \cdot \sin{(2\pi + \pi \rho \cos \theta)}}{(4 + \rho^2 \cos^2 \theta + 4 \rho \cos \theta + 4 -8-4\rho \cos \theta) + (1 + \rho^2 \sin^2 \theta + 2 \rho \sin \theta +1-2-2\rho\sin\theta)} = \)
\(\displaystyle = \frac{\rho^2 \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi \rho \cos\theta)}}{\rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} \le \frac{\rho^2 \sin{(2\pi+\pi\rho)}}{\rho^2} = \sin{(2\pi+\pi\rho)} \)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{\rho \rightarrow 0} \left ( \sin{(2\pi+\pi\rho)} \right ) = \sin{2\pi} = 0 \)
Il dubbio che mi è sorto è: il pezzo finale si può maggiorare? - tipo:
\(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)} \le 2 \pi + \pi \rho \) ?
Però nel caso si potesse, il limite sarebbe diverso
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0} \left ( 2\pi+\pi\rho \right ) = 2\pi \)
Risposte
Ho corretto, avevo dimenticato il modulo. Il limite vale zero.
Mh... 
! E' strano però!
! E' strano però!
Se dico una cavolata perdonatemi, ma forse ho capito il perché del pasticcio con la maggiorazioni.
La teoria afferma che per dimostrare che \(\displaystyle f(x,y) \rightarrow L \) per \(\displaystyle (x,y) \rightarrow (x_0, y_0) \) è sufficiente riuscire a pervenire ad una maggiorazione
\(\displaystyle |f(\rho, \theta) - L | \le g(\rho) \), dove \(\displaystyle g(\rho) \rightarrow 0 \) per \(\displaystyle \rho \rightarrow 0 \)
basta che g non dipenda da θ.
Cosa importante da ricordare è che non riuscire a dimostrare una maggiorazione non significa che il limite non esiste!
La maggiorazione
\(\displaystyle \sin{(2\pi + \pi\rho\cos\theta)} \le 2\pi + \pi\rho\cos\theta \)
non funzionava perché
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0} (g(\rho)) = \lim_{\rho \rightarrow 0} (2\pi + \pi\rho ) \ne 0 \)
mentre
$sin^2(\theta)sin(2\pi+\pi\rhocos(\theta))<=|\theta|^2|2\pi+\pi\rhocos(\theta)|=|\theta|^2(2\pi+\pi|\rho||cos(\theta)|)=|\theta|^2(2\pi+\pi|\rho|)->2\pi|\theta|^2$ per $\rho->0$
non funzionava perché g dipende θ.
La teoria afferma che per dimostrare che \(\displaystyle f(x,y) \rightarrow L \) per \(\displaystyle (x,y) \rightarrow (x_0, y_0) \) è sufficiente riuscire a pervenire ad una maggiorazione
\(\displaystyle |f(\rho, \theta) - L | \le g(\rho) \), dove \(\displaystyle g(\rho) \rightarrow 0 \) per \(\displaystyle \rho \rightarrow 0 \)
basta che g non dipenda da θ.
Cosa importante da ricordare è che non riuscire a dimostrare una maggiorazione non significa che il limite non esiste!
La maggiorazione
\(\displaystyle \sin{(2\pi + \pi\rho\cos\theta)} \le 2\pi + \pi\rho\cos\theta \)
non funzionava perché
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0} (g(\rho)) = \lim_{\rho \rightarrow 0} (2\pi + \pi\rho ) \ne 0 \)
mentre
$sin^2(\theta)sin(2\pi+\pi\rhocos(\theta))<=|\theta|^2|2\pi+\pi\rhocos(\theta)|=|\theta|^2(2\pi+\pi|\rho||cos(\theta)|)=|\theta|^2(2\pi+\pi|\rho|)->2\pi|\theta|^2$ per $\rho->0$
non funzionava perché g dipende θ.
Mah...io non mi fido molto di Wolfram Alpha, però lo conferma anche lui...boh potrei sicuramente sbagliarmi! Anche perchè ho fatto "la ruggine" dal mio esame di Analisi II 
"speculor":
$rarr [lim_((x,y)->(2,1))[((y-1)^2sen(pix))/((x-2)^2+(y-1)^2)]=lim_(rho->0^+)[sen^2thetasen(pirhocostheta)]]$
Sbaglio o manca qualcosina all'argomento del seno?
Non dovrebbe essere $\pi (\rho \cos \theta +2)$?
Il seno è periodico.
Per favore qualcuno può chiarire l'equivoco?
"paolotesla91":
Per favore qualcuno può chiarire l'equivoco?
Già...Viene\[\sin(\pi(\rho\cos\theta +))=\sin(2\pi+\pi\rho\cos\theta)=\sin(\pi\rho\cos\theta)\]
Acciderbolina...hai ragione! Perchè come diceva speculor il seno è periodico 
Sì. Per ogni problema tutte le strade, se rispettate le leggi matematiche, devono portare alla stessa soluzione.
Arrivati a
\(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi+\pi\rho\cos\theta)} \)
abbiamo 2 strade:
1^) ci ricordiamo che il seno è periodico:
\(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi+\pi\rho\cos\theta)} = \sin^2 \theta \sin{(\pi\rho\cos\theta)} \le \pi\rho \Rightarrow L = 0\);
2^) ci "dimentichiamo" che il seno è periodico (oppure ce lo ricordiamo, ma vogliamo complicarci la vita...):
\(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi+\pi\rho\cos\theta)} \le \sin{(2\pi+\pi\rho)} \Rightarrow L = 0\)
L'equivoco sta nel fatto che seguendo la seconda strada ci domandavamo: "ma se maggioro ulteriormente non dovrebbe venirmi lo stesso risultato?", e allora avevamo due risultati diversi:
I) \(\displaystyle \sin{(2\pi+\pi\rho)} \Rightarrow L = 0 \)
II) \(\displaystyle \sin{(2\pi+\pi\rho)} \le 2\pi+\pi\rho \Rightarrow L = 2\pi (?)\)
La maggiorazione al II è giusta per puro calcolo, ma non rispetta l'ipotesi
\(\displaystyle g(\rho) \rightarrow 0 \) per \(\displaystyle \rho \rightarrow 0 \).
Arrivati a
\(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi+\pi\rho\cos\theta)} \)
abbiamo 2 strade:
1^) ci ricordiamo che il seno è periodico:
\(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi+\pi\rho\cos\theta)} = \sin^2 \theta \sin{(\pi\rho\cos\theta)} \le \pi\rho \Rightarrow L = 0\);
2^) ci "dimentichiamo" che il seno è periodico (oppure ce lo ricordiamo, ma vogliamo complicarci la vita...):
\(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi+\pi\rho\cos\theta)} \le \sin{(2\pi+\pi\rho)} \Rightarrow L = 0\)
L'equivoco sta nel fatto che seguendo la seconda strada ci domandavamo: "ma se maggioro ulteriormente non dovrebbe venirmi lo stesso risultato?", e allora avevamo due risultati diversi:
I) \(\displaystyle \sin{(2\pi+\pi\rho)} \Rightarrow L = 0 \)
II) \(\displaystyle \sin{(2\pi+\pi\rho)} \le 2\pi+\pi\rho \Rightarrow L = 2\pi (?)\)
La maggiorazione al II è giusta per puro calcolo, ma non rispetta l'ipotesi
\(\displaystyle g(\rho) \rightarrow 0 \) per \(\displaystyle \rho \rightarrow 0 \).
"Brancaleone":
II) \(\displaystyle \sin{(2\pi+\pi\rho)} \le 2\pi+\pi\rho \Rightarrow L = 2\pi (?)\)
La maggiorazione al II è giusta per puro calcolo
E mi sa proprio che il calcolo l'hai fatto male
togliamoci dalle scatole quel $2\pi$ che non serve a nulla; poi\[\sin(\pi\rho)\leq \pi\rho\]
non è vero per ogni valore di $\rho$.
"speculor":
$[|sen^2thetasen(pirhocostheta)|<=|pirhosen^2thetacostheta|<=pirho]$
Formalizzo meglio:
$[rho<1/pi] rarr [pirho<1] rarr |pirhocostheta|<1 rarr sen|pirhocostheta|<=|pirhocostheta|$
Quindi:
$|sen^2thetasen(pirhocostheta)|=sen^2theta|sen(pirhocostheta)|=sen^2thetasen|pirhocostheta|<=sen^2theta|pirhocostheta|<=pirho$
scusa speculor ma credo che in questo modo sia più immediato, basta osservare che: $|\pi\rhocos\theta|<=\pi|\rho||cos\theta|z=\pi|rho|$.
"speculor":
$[rho<1/pi] rarr [pirho<1] rarr |pirhocostheta|<1 rarr sen|pirhocostheta|<=|pirhocostheta|$
Prima dell'ultima implicazione, ho preferito avere l'argomento $|pirhocostheta|$ della funzione $sen|pirhocostheta|$ nel primo quadrante.
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