Lemmi di jordan con integrali
qualcuno può spiegarmi come vanno risolti gli integrali con il metodo dei residui? io ho visto solo il caso in cui l'integrale va da 0 a 2pi, ma gli altri casi in cui si deve applicare jordan non li ho capiti. quando si usa jordan e come si usa? grazie
Risposte
up
Posta qualche esempio di esercizio che non riesci a svolgere, spiegando esplicitamente quali sono i dubbi che ti sorgono.
Il lemma di Jordan è un lemma tecnico che in generale si applica ad integrali che hanno questa forma:
$ int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^(iwx) dx $
dove $ w $ è un numero reale positivo, tale che $ lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0 $ con un numero finito di singolarità
nel semipiano $ Im(z) > 0 $ e nessuna singolarità sull'asse reale.
Quindi quando riconosci di avere un integrale di questo tipo, la prima cosa che devi fare è considerare $ f(z) $.
Verifichi se il limite che ti ho scritto va a 0 e ti trovi le singolarità. Di queste consideri solo quelle che stanno in $ Im(z) > 0 $.
Userai il teorema dei residui solo con queste singolarità. C'è da dire che non sono proprio sicurissimo,in quanto mi è capitato di vedere casi in cui si avevano singolarità sull'asse reale che in realtà contribuivano la metà di quelle in $ Im(z) > 0 $.
Spero che qualcuno possa chiarirmi questo dubbio.
Il teorema dei residui sai usarlo? E' abbastanza meccanico e semplice.
Ps: Ho tralasciato molti concetti teorici..
$ int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^(iwx) dx $
dove $ w $ è un numero reale positivo, tale che $ lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0 $ con un numero finito di singolarità
nel semipiano $ Im(z) > 0 $ e nessuna singolarità sull'asse reale.
Quindi quando riconosci di avere un integrale di questo tipo, la prima cosa che devi fare è considerare $ f(z) $.
Verifichi se il limite che ti ho scritto va a 0 e ti trovi le singolarità. Di queste consideri solo quelle che stanno in $ Im(z) > 0 $.
Userai il teorema dei residui solo con queste singolarità. C'è da dire che non sono proprio sicurissimo,in quanto mi è capitato di vedere casi in cui si avevano singolarità sull'asse reale che in realtà contribuivano la metà di quelle in $ Im(z) > 0 $.
Spero che qualcuno possa chiarirmi questo dubbio.
Il teorema dei residui sai usarlo? E' abbastanza meccanico e semplice.
Ps: Ho tralasciato molti concetti teorici..
"Drake_89":
Il lemma di Jordan è un lemma tecnico che in generale si applica ad integrali che hanno questa forma:
$ int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^(iwx) dx $
dove $ w $ è un numero reale positivo, tale che $ lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0 $ con un numero finito di singolarità
nel semipiano $ Im(z) > 0 $ e nessuna singolarità sull'asse reale.
"In generale"???
Chiariamo: non esiste "in generale" che tenga. Un teorema (o un lemma, o qualunque altra specie di proposizione matematica) si applica quando ce n'è bisogno e quando sono soddisfatte le sue ipotesi.
Probabilmente, il tuo "in generale" è dovuto all'idea falsata che ti sei fatto vedendo applicare il lemma solo nei casi che citi... Ma ti assicuro che quelli sono tutt'altro che i casi "più generali". Ad esempio, vedi qui.
"Drake_89":
Il teorema dei residui sai usarlo? E' abbastanza meccanico e semplice.
Un metodo è "meccanico e semplice" solo se chi lo applica lo sente tale.
Sono la stessa cosa. Ti riporti comunque al caso che ho scritto io. Poi sta a chi svolge l'esercizio rendersene conto.
Solo che, per come sto studiando io la materia sto facendo un sacco di confusione. Abbiamo separato il tutto in 3
lemmi diversi:
1) Lemma del grande cerchio.
2) Lemma di Jordan.
3) Lemma del polo semplice.
lemmi diversi:
1) Lemma del grande cerchio.
2) Lemma di Jordan.
3) Lemma del polo semplice.
forse ho risolto, i lemmi vanno applicati quando mi trovo con un integrale di questi tipi vero?:
int tra (+inf,-inf)p(x)/q(x)= 2pij[sommatoria residui complessi+1/2 sommatoria residui reali]
int tra (+inf,-inf) (p(x)/q(x))e^(jax)= 2pij[sommatoria residui complessi+1/2 sommatoria residui reali] se a>0
-2pij[sommatoria residui complessi+1/2 sommatoria residui reali] se a<0
int tra (delta+jw,delta-jw)(p(x)/q(x))e^(ts)=2pij[sommatoria residui reali] se t>0
-2pij[sommatoria residui complessi] se t<0
int tra (+inf,-inf)p(x)/q(x)= 2pij[sommatoria residui complessi+1/2 sommatoria residui reali]
int tra (+inf,-inf) (p(x)/q(x))e^(jax)= 2pij[sommatoria residui complessi+1/2 sommatoria residui reali] se a>0
-2pij[sommatoria residui complessi+1/2 sommatoria residui reali] se a<0
int tra (delta+jw,delta-jw)(p(x)/q(x))e^(ts)=2pij[sommatoria residui reali] se t>0
-2pij[sommatoria residui complessi] se t<0
raga mi spiegate perchè quando ho un integrale tra (0,infinito) e tra (infinito,-infinito) quando arrivo alla forma:
2pij (sommatoria residui trovati)
dopo l'esercizio continua sdoppiando l'integrale tra: int(-r,r)+jint(-r,r)+int(ro)=(sommatoria residui precedenti)
e poi si fa tendere r->infinito ?
2pij (sommatoria residui trovati)
dopo l'esercizio continua sdoppiando l'integrale tra: int(-r,r)+jint(-r,r)+int(ro)=(sommatoria residui precedenti)
e poi si fa tendere r->infinito ?
nessuno può aiutarmi?
Posta l'integrale.
Inoltre, ti consiglio vivamente di fare una ricerca nel forum: ho risolto più volte in dettaglio esercizi simili.
Inoltre, ti consiglio vivamente di fare una ricerca nel forum: ho risolto più volte in dettaglio esercizi simili.
ecco un esempio
int da 0 a infinito di ((cosmx)/(x^2+1)) dx per m>0
singolarita +-j ma solo j appartiene a C
calcolo il residuo per +j e mi trovo =((e^(-3))/2j)
quindi la soluzione è=2pij(e^(-3)/2j) ovvero pie^(-m)
ossia (IN QUESTA PARTE NON HO CAPITO COSA FA)
int da -r a r di (e^(jmx))/(x^2+1)) + int di ro (e^(jmz))/(z^2+1))=pie^(-m)
int da -r a r di ((cosmx)/(x^2+1)) + j int da -r a r di ((senmx)/(x^2+1)) + int ro (e^(jmz))/(z^2+1))=pie^(-m)
2 int da 0 a r di ((cosmx)/(x^2+1)) + int ro (e^jmz)/(z^2+1)=pie^(-m)
passando al limite per r->infinito l'integrale su ro fa 0 e si ha int da 0 a infinito di ((cosmx)/(x^2+1)) dx=(pi/2)e^(-m)
int da 0 a infinito di ((cosmx)/(x^2+1)) dx per m>0
singolarita +-j ma solo j appartiene a C
calcolo il residuo per +j e mi trovo =((e^(-3))/2j)
quindi la soluzione è=2pij(e^(-3)/2j) ovvero pie^(-m)
ossia (IN QUESTA PARTE NON HO CAPITO COSA FA)
int da -r a r di (e^(jmx))/(x^2+1)) + int di ro (e^(jmz))/(z^2+1))=pie^(-m)
int da -r a r di ((cosmx)/(x^2+1)) + j int da -r a r di ((senmx)/(x^2+1)) + int ro (e^(jmz))/(z^2+1))=pie^(-m)
2 int da 0 a r di ((cosmx)/(x^2+1)) + int ro (e^jmz)/(z^2+1)=pie^(-m)
passando al limite per r->infinito l'integrale su ro fa 0 e si ha int da 0 a infinito di ((cosmx)/(x^2+1)) dx=(pi/2)e^(-m)
nessuno può rispondermi?
up
Innanzitutto nota che la funzione integranda è sommabile su tutto \(\mathbb{R}\) e che essa è pari, quindi il tuo integrale è uguale a:
\[
\frac{1}{2}\ \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos mx}{1+x^2}\ \text{d} x
\]
e basta calcolare quest'ultima quantità per risolvere.
Ora, hai \(\cos mx =\operatorname{Re} e^{\imath\ mz} \Big|_{z=x+\imath\ 0}\), quindi:
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos mx}{1+x^2}\ \text{d} x =\operatorname{Re} \left( \int_{-\infty +\imath\ 0}^{\infty +\imath\ 0}\frac{e^{\imath\ mx}}{1+z^2}\ \text{d} z\right)\; ;
\]
conseguentemente, la funzione complessa ausiliaria per il calcolo dell'integrale è:
\[
f(z) := \frac{e^{\imath\ z}}{1+z^2}
\]
ed il circuito di integrazione deve essere preso in modo che, al limite, venga beccato tutto l'asse reale.
Quindi converrà prendere come pezzo del circuito un intervallo del tipo \([-R,R]\) dell'asse reale; tale circuito deve essere chiuso con una curva in modo da poter applicare il lemma di Jordan dell'arco grande per effettuare il passaggio al limite.
Chiaramente, si può scegliere come curva di chiusura ognuna delle due semicirconferenze in cui l'asse reale divide la circonferenza di centro \(0\) e raggio \(R\); però, dato che:
\[
\left| \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}\right| = \frac{e^{-m\ \operatorname{Im} z}}{|z^2+1|} \leq \frac{e^{-m\ \operatorname{Im} z}}{||z|^2-1|}
\]
è chiaro che il limite \(\lim_{z\to \infty} z\ f(z)\) risulta finito (e nullo!) quando si sceglie di prendere \(z\) nel semipiano delle \(\operatorname{Im} z>0\); pertanto il lemma di Jordan si applica sicuramente alla semicirconferenza \(\Gamma(R)\) di centro \(0\) e raggio \(R\) appartenente al semipiano \(\operatorname{Im} z>0\).
Consideriamo allora il circuito formato da \(\Gamma (R)\) e \([-R,R]\): tale circuito delimita una regione \(\Omega (R)\) nella quale \(f\) o è olomorfa o ha una sola singolarità isolata di tipo polare in \(\imath\); perciò, se \(R>1\), per il teorema dei residui si ha:
\[
\left( \int_{-R+\imath\ 0}^{R+\imath\ 0} + \int_{+\Gamma (R)}\right) f(z)\ \text{d} z = \int_{+\partial \Omega (R)} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;\imath)
\]
i.e.:
\[
\int_{-R+\imath\ 0}^{R+\imath\ 0} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;\imath) - \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z\; .
\]
Per il lemma di Jordan si ha:
\[
\lim_{R\to \infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z = \pi\ \imath\ \lim_{z\to \infty} z\ f(z) =0
\]
dunque passando al limite ambo i membri dell'uguaglianza precedente troviamo:
\[
\int_{-\infty +\imath\ 0}^{\infty+\imath\ 0} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;\imath)\; .
\]
Ne consegue che:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos mx}{1+x^2}\ \text{d}x &= \frac{1}{2}\ \operatorname{Re} \left( 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} \left( \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}; \imath\right)\right) \\
&= \pi\ \operatorname{Re} \left( \imath\ \operatorname{Res} \left( \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}; \imath\right)\right)\\
&= -\pi\ \operatorname{Im} \left( \operatorname{Res} \left( \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}; \imath\right)\right)
\end{split}
\]
e per terminare ti basta calcolare un unico residuo molto semplice, perché relativo ad un polo del primo ordine.
Invero hai:
\[
\operatorname{Res} \left( \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}; \imath\right) = \lim_{z\to \imath} (z-\imath)\ \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2} = \lim_{z\to \imath} \frac{e^{\imath\ mz}}{(\imath +z)} = \frac{e^{-m}}{2\ \imath} = -\frac{1}{2e^m}\ \imath
\]
e perciò:
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos mx}{1+x^2}\ \text{d}x = \frac{\pi}{2e^m}
\]
come puoi verificare usando qualunque software di integrazione.
\[
\frac{1}{2}\ \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos mx}{1+x^2}\ \text{d} x
\]
e basta calcolare quest'ultima quantità per risolvere.
Ora, hai \(\cos mx =\operatorname{Re} e^{\imath\ mz} \Big|_{z=x+\imath\ 0}\), quindi:
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos mx}{1+x^2}\ \text{d} x =\operatorname{Re} \left( \int_{-\infty +\imath\ 0}^{\infty +\imath\ 0}\frac{e^{\imath\ mx}}{1+z^2}\ \text{d} z\right)\; ;
\]
conseguentemente, la funzione complessa ausiliaria per il calcolo dell'integrale è:
\[
f(z) := \frac{e^{\imath\ z}}{1+z^2}
\]
ed il circuito di integrazione deve essere preso in modo che, al limite, venga beccato tutto l'asse reale.
Quindi converrà prendere come pezzo del circuito un intervallo del tipo \([-R,R]\) dell'asse reale; tale circuito deve essere chiuso con una curva in modo da poter applicare il lemma di Jordan dell'arco grande per effettuare il passaggio al limite.
Chiaramente, si può scegliere come curva di chiusura ognuna delle due semicirconferenze in cui l'asse reale divide la circonferenza di centro \(0\) e raggio \(R\); però, dato che:
\[
\left| \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}\right| = \frac{e^{-m\ \operatorname{Im} z}}{|z^2+1|} \leq \frac{e^{-m\ \operatorname{Im} z}}{||z|^2-1|}
\]
è chiaro che il limite \(\lim_{z\to \infty} z\ f(z)\) risulta finito (e nullo!) quando si sceglie di prendere \(z\) nel semipiano delle \(\operatorname{Im} z>0\); pertanto il lemma di Jordan si applica sicuramente alla semicirconferenza \(\Gamma(R)\) di centro \(0\) e raggio \(R\) appartenente al semipiano \(\operatorname{Im} z>0\).
Consideriamo allora il circuito formato da \(\Gamma (R)\) e \([-R,R]\): tale circuito delimita una regione \(\Omega (R)\) nella quale \(f\) o è olomorfa o ha una sola singolarità isolata di tipo polare in \(\imath\); perciò, se \(R>1\), per il teorema dei residui si ha:
\[
\left( \int_{-R+\imath\ 0}^{R+\imath\ 0} + \int_{+\Gamma (R)}\right) f(z)\ \text{d} z = \int_{+\partial \Omega (R)} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;\imath)
\]
i.e.:
\[
\int_{-R+\imath\ 0}^{R+\imath\ 0} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;\imath) - \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z\; .
\]
Per il lemma di Jordan si ha:
\[
\lim_{R\to \infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z = \pi\ \imath\ \lim_{z\to \infty} z\ f(z) =0
\]
dunque passando al limite ambo i membri dell'uguaglianza precedente troviamo:
\[
\int_{-\infty +\imath\ 0}^{\infty+\imath\ 0} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;\imath)\; .
\]
Ne consegue che:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos mx}{1+x^2}\ \text{d}x &= \frac{1}{2}\ \operatorname{Re} \left( 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} \left( \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}; \imath\right)\right) \\
&= \pi\ \operatorname{Re} \left( \imath\ \operatorname{Res} \left( \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}; \imath\right)\right)\\
&= -\pi\ \operatorname{Im} \left( \operatorname{Res} \left( \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}; \imath\right)\right)
\end{split}
\]
e per terminare ti basta calcolare un unico residuo molto semplice, perché relativo ad un polo del primo ordine.
Invero hai:
\[
\operatorname{Res} \left( \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2}; \imath\right) = \lim_{z\to \imath} (z-\imath)\ \frac{e^{\imath\ mz}}{1+z^2} = \lim_{z\to \imath} \frac{e^{\imath\ mz}}{(\imath +z)} = \frac{e^{-m}}{2\ \imath} = -\frac{1}{2e^m}\ \imath
\]
e perciò:
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos mx}{1+x^2}\ \text{d}x = \frac{\pi}{2e^m}
\]
come puoi verificare usando qualunque software di integrazione.
bene grazie, mi sapresti risolvere questi altri dubbi sempre nella risoluzione integrale:
perchè senz=0 diventa z=kpi
oppure
e^(2jz)=1 diventa 2jz=log1+arg1+2kpij=2kpij
oppure
e^(jz)=j da cui jz=log1+(pi/2+2kpi)j da cui z=(pi/2+2kpi)
poi come mai ad esempio quando risolve l'integrale (ze^(jz))/(1-z^4) quindi con poli 1, j, -1, -j
nel calcolo Res(f,1)=lim per z->1 (ze^(jz))/D(1-z^4) fa la derivata del denominatore?
perchè senz=0 diventa z=kpi
oppure
e^(2jz)=1 diventa 2jz=log1+arg1+2kpij=2kpij
oppure
e^(jz)=j da cui jz=log1+(pi/2+2kpi)j da cui z=(pi/2+2kpi)
poi come mai ad esempio quando risolve l'integrale (ze^(jz))/(1-z^4) quindi con poli 1, j, -1, -j
nel calcolo Res(f,1)=lim per z->1 (ze^(jz))/D(1-z^4) fa la derivata del denominatore?
"microinfo":
bene grazie, mi sapresti risolvere questi altri dubbi sempre nella risoluzione integrale:
perchè senz=0 diventa z=kpi
Questo dovresti saperlo dal liceo.
"microinfo":
oppure
e^(2jz)=1 diventa 2jz=log1+arg1+2kpij=2kpij
oppure
e^(jz)=j da cui jz=log1+(pi/2+2kpi)j da cui z=(pi/2+2kpi)
Anche questo dovresti saperlo dalle superiori... L'unica differenza sta nel fatto che usi il logaritmo complesso.
"microinfo":
poi come mai ad esempio quando risolve l'integrale (ze^(jz))/(1-z^4) quindi con poli 1, j, -1, -j
nel calcolo Res(f,1)=lim per z->1 (ze^(jz))/D(1-z^4) fa la derivata del denominatore?
Prova a scrivere la formula per il calcolo del residuo ed a ragionarci sopra.
P.S.: Ti conviene imparare ad usare il TeX o il MathML per inserire le formule.
ok stasera sono stanco, domani lo rivedo meglio 
ma scusa i poli sono singoli, non c'è bisogno di derivare, e poi anche se dovessi derivare dovrei derivare tutta la f(x) e non solo il denominatore :s
Ma scrivi la formula per il residuo senza pensare alla derivata, poi smanetta un po' portando qualcosa al denominatore e vedi che ne trai.
ciao senti, mi sono rivisto la forumla per il calcolo dei residui ovvero lim z->z0 1/(n-1)! d^(n-1)/dz^(n-1) (f(x)*(z-z0))
ma non ci sono riuscito a capire perchè fa la derivata solo sotto uff
mi aiuti?
ma non ci sono riuscito a capire perchè fa la derivata solo sotto uff
mi aiuti?
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