Lemmi di jordan con integrali
qualcuno può spiegarmi come vanno risolti gli integrali con il metodo dei residui? io ho visto solo il caso in cui l'integrale va da 0 a 2pi, ma gli altri casi in cui si deve applicare jordan non li ho capiti. quando si usa jordan e come si usa? grazie
Risposte
La tua \(f(z)\) è del tipo:
\[
f(z) = \frac{N(z)}{D(z)}
\]
con \(N,D\) olomorfe, \(D(z_0)=0\neq N(z_0)\) e \(z_0\) zero isolato del primo ordine per \(D\).
Di conseguenza, la \(f(z)\) ha un polo del primo ordine, quindi la formula ti restituisce:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res} \left( \frac{N(z)}{D(z)}; z_0 \right) &= \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ \frac{N(z)}{D(z)}\\
&= \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ \frac{N(z)}{D(z)-D(z_0)}\\
&= \lim_{z\to z_0} \frac{N(z)}{\frac{D(z)-D(z_0)}{z-z_0}}\\
&= \frac{N(z_0)}{D^\prime (z_0)}
\end{split}
\]
perché \(D^\prime (z_0)\neq 0\) (in quanto \(z_0\) è uno zero del primo ordine).
\[
f(z) = \frac{N(z)}{D(z)}
\]
con \(N,D\) olomorfe, \(D(z_0)=0\neq N(z_0)\) e \(z_0\) zero isolato del primo ordine per \(D\).
Di conseguenza, la \(f(z)\) ha un polo del primo ordine, quindi la formula ti restituisce:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res} \left( \frac{N(z)}{D(z)}; z_0 \right) &= \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ \frac{N(z)}{D(z)}\\
&= \lim_{z\to z_0} (z-z_0)\ \frac{N(z)}{D(z)-D(z_0)}\\
&= \lim_{z\to z_0} \frac{N(z)}{\frac{D(z)-D(z_0)}{z-z_0}}\\
&= \frac{N(z_0)}{D^\prime (z_0)}
\end{split}
\]
perché \(D^\prime (z_0)\neq 0\) (in quanto \(z_0\) è uno zero del primo ordine).
ah ecco, ma quindi sono due modi equivalenti di calcolare i residui?
solo che questo forse è più comodo quando ho un denominatore che presenta varie soluzioni come nell'esempio dove ho una radice alla 4 quindi ho soluzioni per k=0,1,2,3 ?
solo che questo forse è più comodo quando ho un denominatore che presenta varie soluzioni come nell'esempio dove ho una radice alla 4 quindi ho soluzioni per k=0,1,2,3 ?
"microinfo":
ah ecco, ma quindi sono due modi equivalenti di calcolare i residui?
Quali?
"microinfo":
solo che questo forse è più comodo quando ho un denominatore che presenta varie soluzioni come nell'esempio dove ho una radice alla 4 quindi ho soluzioni per k=0,1,2,3 ?
Questo metodo vale solo nel caso che ti ho indicato con la dimostrazione; altrimenti no.
Ad esempio, non vale per la funzione:
\[
f(z):= \frac{e^{z^2}-1}{z^3}\; \ldots
\]
Perché?
si perchè qui ho come polo 0 del terzo ordine, se lo sostituisco al numeratore, il numeratore fa 0, quindi N(x) non è diverso da zero e quindi non posso applicare quella forumula.
Senti un altra cosa, ma quando ho un'antitrasformata, come si scompone il numeratore?
negli esercizi che ho visto es: (s-1)e^s viene portato e^s fuori dal calcolo dei poli e dei residui
oppure e^(3s) viene portato tutto fuori
oppure se^(2s)-1 scompondo in due frazioni una con s sopra e l'altra con -1 sopra e porto e^(2s) fuori
adesso mi chiede con che criterio viene fatto ciò?
Senti un altra cosa, ma quando ho un'antitrasformata, come si scompone il numeratore?
negli esercizi che ho visto es: (s-1)e^s viene portato e^s fuori dal calcolo dei poli e dei residui
oppure e^(3s) viene portato tutto fuori
oppure se^(2s)-1 scompondo in due frazioni una con s sopra e l'altra con -1 sopra e porto e^(2s) fuori
adesso mi chiede con che criterio viene fatto ciò?
"microinfo":
si perchè qui ho come polo 0 del terzo ordine, se lo sostituisco al numeratore, il numeratore fa 0, quindi N(x) non è diverso da zero e quindi non posso applicare quella forumula.
Veramente, \(z_0=0\) è un polo del primo ordine per la \(f(z)\) scritta sopra...
"microinfo":
Senti un altra cosa, ma quando ho un'antitrasformata, come si scompone il numeratore?
negli esercizi che ho visto es: (s-1)e^s viene portato e^s fuori dal calcolo dei poli e dei residui
oppure e^(3s) viene portato tutto fuori
oppure se^(2s)-1 scompondo in due frazioni una con s sopra e l'altra con -1 sopra e porto e^(2s) fuori
adesso mi chiede con che criterio viene fatto ciò?
Col criterio che gli esponenziali se ne vanno in traslazioni temporali, come ben sai; quindi essi sono "inutili" nel calcolo dell'antitrasformata.
ah si scusa mi sono sbagliato
mentre se al numeratore ho ad esempio un senh s?
mentre se al numeratore ho ad esempio un senh s?
"microinfo":
mentre se al numeratore ho ad esempio un senh s?
Usi la definizione del seno iperbolico e ti riporti al caso precedente...
Ah, sarebbe ora che cominciassi ad usare TeX o almeno MathML.
ah quindi come prima cosa posso passare alla sostituzione della funzione in questo modo e poi scomporre, trovare i poli, i residui ed antitrasformare?
$ sinh s=(e^s-e^(-s))/2 $
ah un altra cosa, che in realtà non ho capito bene, ritornando al nostro integrale, cosmx, il perchè passa ad $ e^(jmx) $ . Non dovrebbe essere solo $ Re(e^(jmx)) $
questo succede in tutti gli integrali quando al numeratore ho cosx oppure senx.
$ sinh s=(e^s-e^(-s))/2 $
ah un altra cosa, che in realtà non ho capito bene, ritornando al nostro integrale, cosmx, il perchè passa ad $ e^(jmx) $ . Non dovrebbe essere solo $ Re(e^(jmx)) $
questo succede in tutti gli integrali quando al numeratore ho cosx oppure senx.
mi potresti spiegare in un integrale del tipo $ int_(0)^(-oo ) (P(x))/(Q(x)) dx $ quando va presa una semicirconferenza positiva e quando una negativa? spesso la semicirconferenza che vedo è positiva. Mentre in altri casi prende addirittura tutto un cerchio come nel caso di: $ int_(0)^(-oo ) x^(p-1)/(1+x) dx $ con 0
Devi fare il limite perché così sono verificate le ho iniziali, la funzione tende a zero se z, quindi R, tende infinito (allunghi infinitamente la crf sull' asse reale e in campo immaginario risulta zero)
[xdom="gugo82"]@Leo_97: Il necroposting è male.
Chiudo.[/xdom]
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