Integrazione per sostituzione
Potete farmi un esempio o spiegare a parole come funziona questo metodo di integrazione?
Ho cercato su internet ma non trovo una spiegazione fatta bene.
Grazie in anticipo.
Ho cercato su internet ma non trovo una spiegazione fatta bene.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao,
penso proprio che l'unica cosa da fare sia aprire un libro di analisi e andarselo a vedere là, non può esserci soluzione migliore.
Sia nel caso ti servisse un supporto teorico, sia che ti servano i risvolti pratici.
penso proprio che l'unica cosa da fare sia aprire un libro di analisi e andarselo a vedere là, non può esserci soluzione migliore.
Sia nel caso ti servisse un supporto teorico, sia che ti servano i risvolti pratici.
Concordo con Steven, ho visto anche da un altro tuo post che ti mancano proprio le basi teoriche.
Se vuoi un consiglio, cercati un libro un po' "pratico" di Analisi. Se non hai idee o non trovi nulla chiedi al professore che ti fa il corso, oppure vai a spulciare la bibliografia di qualche corso di analisi, magari di un corso di laurea non proprio "specializzato" in Matematica (magari Scienze di Internet o forse anche Chimica, Biologia...). Di solito quei CdL usano libri di Analisi meno teorici e più semplici, pieni di esempi.
Lì ti puoi fare un'idea di come funzionano le cose e di come si risolvono gli esercizi.
Questo forum ti servirà poi da supporto.
Buono studio!
Paola
Se vuoi un consiglio, cercati un libro un po' "pratico" di Analisi. Se non hai idee o non trovi nulla chiedi al professore che ti fa il corso, oppure vai a spulciare la bibliografia di qualche corso di analisi, magari di un corso di laurea non proprio "specializzato" in Matematica (magari Scienze di Internet o forse anche Chimica, Biologia...). Di solito quei CdL usano libri di Analisi meno teorici e più semplici, pieni di esempi.
Lì ti puoi fare un'idea di come funzionano le cose e di come si risolvono gli esercizi.
Questo forum ti servirà poi da supporto.
Buono studio!
Paola
Sono un pò migliorato e stavo provando a fare questo integrale.
Potete aiutarmi con i passaggi?
$\int_1^2$ $(2 - 4 sqrt(x) + 3x) / (x sqrt(x) - 2x^2)$ dx
Devo usare la sostituzione con t = $sqrt(x)$ per seguire il testo dell'esercizio.
Calcolo dx in questo modo:
dx = 2$sqrt(x)$ dt
Poi sostituisco t nell'integrale tenendo conto che x = t^2
$\int_sqrt(1)^sqrt(2)$ $(2 - 4 t+ 3t^2) / (t^3 - 2t^4)$ * 2t dt
Potete confermare che fino a qui stia facendo giusto?
Perchè da quella forma non riesco a raggiungere una forma che sia capace di integrare.
Grazie per l'aiuto.
Potete aiutarmi con i passaggi?
$\int_1^2$ $(2 - 4 sqrt(x) + 3x) / (x sqrt(x) - 2x^2)$ dx
Devo usare la sostituzione con t = $sqrt(x)$ per seguire il testo dell'esercizio.
Calcolo dx in questo modo:
dx = 2$sqrt(x)$ dt
Poi sostituisco t nell'integrale tenendo conto che x = t^2
$\int_sqrt(1)^sqrt(2)$ $(2 - 4 t+ 3t^2) / (t^3 - 2t^4)$ * 2t dt
Potete confermare che fino a qui stia facendo giusto?
Perchè da quella forma non riesco a raggiungere una forma che sia capace di integrare.
Grazie per l'aiuto.
Prova a mettere all'inizio e alla fine di ogni formula il simbolo \$, vedrai che si leggono meglio..
Hai fatto un errore con gli estremi di integrazioni: se utilizzi la sostituzione, anche questi cambiano!
Hai fatto un errore con gli estremi di integrazioni: se utilizzi la sostituzione, anche questi cambiano!
Ok sono riuscito a scriverli in modo leggibile.
In che modo cambiano gli estremi di integrazione?
Io mi sono allenato a risolvere con sostituzione gli integrali senza gli estremi e seguivo questo ragionamento:
-Scelgo cosa sostituire(nel mio caso in realtà non ho scelta perchè il testo dell'esercizio mi dice cosa sostituire)
-Calcolo il differenziale.
-Sostituisco tutto nell'integrale sperando che vadano via le x.
-Cerco di rincordurmi ad un integrale noto(per esempio un integrale immediato).
Ma qua mi viene un integrale fratto.
Ho cercato i modi di risoluzione e ho visto che centra il Delta del denominatore,ma non ho capito come risolverlo.
So solo risolverli quando il numeratore è la derivata del denominatore,ma spesso non riesco a rincondurmi a questo caso.
Spero che qualcuno abbia voglia di aiutarmi a finire questo integrale.
In che modo cambiano gli estremi di integrazione?
Io mi sono allenato a risolvere con sostituzione gli integrali senza gli estremi e seguivo questo ragionamento:
-Scelgo cosa sostituire(nel mio caso in realtà non ho scelta perchè il testo dell'esercizio mi dice cosa sostituire)
-Calcolo il differenziale.
-Sostituisco tutto nell'integrale sperando che vadano via le x.
-Cerco di rincordurmi ad un integrale noto(per esempio un integrale immediato).
Ma qua mi viene un integrale fratto.
Ho cercato i modi di risoluzione e ho visto che centra il Delta del denominatore,ma non ho capito come risolverlo.
So solo risolverli quando il numeratore è la derivata del denominatore,ma spesso non riesco a rincondurmi a questo caso.
Spero che qualcuno abbia voglia di aiutarmi a finire questo integrale.
Semplicemente gli estremi di integrazione cambiando a seconda della sostituzione.
I tuoi valori sono $x_1=1$ e $x_2=2$
la tua sostituzione è $t=sqrt(x)$
devi sostituire i valori in quest'equazione e quindi $t_1=sqrt(1)=1$ e $t_2=sqrt(2)$
I tuoi valori sono $x_1=1$ e $x_2=2$
la tua sostituzione è $t=sqrt(x)$
devi sostituire i valori in quest'equazione e quindi $t_1=sqrt(1)=1$ e $t_2=sqrt(2)$
Grazie ho editato il mio terzultimo con le correzioni.
Io vorrei che il numeratore sia la derivata di quello sotto,ma non credo possa raggiungere questo caso.
Come posso continuare?
Io vorrei che il numeratore sia la derivata di quello sotto,ma non credo possa raggiungere questo caso.
Come posso continuare?
Ti conviene semplificare quel $2t$ con il denominatore
Questo è quello che ottengo moltiplicando il 2t:
$\int_sqrt(1)^sqrt(2)$ $(4t - 8t^2 + 6t^3) / (t^3 - 2t^4)$ dt
Ma ora non ho idea di come proseguire.
Ho già provato anche a mettere a fattor comune le t e semplificare:
$\int_sqrt(1)^sqrt(2)$ $(4 - 8t + 6t^2) / (t^2 - 2t^3)$ dt
PS:Ho letto dopo il tuo post sopra.
Comunque sia semplificare il 2t col denominatore che l'altra strada portano allo stesso integrale.
$\int_sqrt(1)^sqrt(2)$ $(4t - 8t^2 + 6t^3) / (t^3 - 2t^4)$ dt
Ma ora non ho idea di come proseguire.
Ho già provato anche a mettere a fattor comune le t e semplificare:
$\int_sqrt(1)^sqrt(2)$ $(4 - 8t + 6t^2) / (t^2 - 2t^3)$ dt
PS:Ho letto dopo il tuo post sopra.
Comunque sia semplificare il 2t col denominatore che l'altra strada portano allo stesso integrale.
Gioca un po' sul numeratore in modo da avere una somma il cui primo addendo sia la derivata del denominatore e il secondo un polinomio a caso..
Così ottieni due integrali..
Il primo applichi il logaritmo..
Per il secondo prova a scomporre il denominatore.
Scusami ma vado di fretta non ho il tempo di dirti altro, se ti serve ancora ti posso risp domani, Ciao
Così ottieni due integrali..
Il primo applichi il logaritmo..
Per il secondo prova a scomporre il denominatore.
Scusami ma vado di fretta non ho il tempo di dirti altro, se ti serve ancora ti posso risp domani, Ciao
$\int_sqrt(1)^sqrt(2)$ $(2t - 6t^2) / (t^2 - 2t^3)$ + $\int_sqrt(1)^sqrt(2)$ $(-10t + 12t^2 + 4) / (t^2 - 2t^3)$dt
Ok questa idea per ottenere il log l'ho capita.
Però ho ancora problemi con il secondo addendo.
Comunque grazie per l'aiuto fino a qui.
Ok questa idea per ottenere il log l'ho capita.
Però ho ancora problemi con il secondo addendo.
Comunque grazie per l'aiuto fino a qui.
se torni indietro e scomponi il denominatore applicando i fratti semplici, viene molto più semplice.
se non ho sbagliato i conti, dovrebbe venire così:
$int_1^sqrt2\[4/(t^2)+6/(1-2t)]dt$
ricontrolla. ciao.
se non ho sbagliato i conti, dovrebbe venire così:
$int_1^sqrt2\[4/(t^2)+6/(1-2t)]dt$
ricontrolla. ciao.
"adaBTTLS":
se torni indietro e scomponi il denominatore applicando i fratti semplici, viene molto più semplice.
se non ho sbagliato i conti, dovrebbe venire così:
$int_1^sqrt2\[4/(t^2)+6/(1-2t)]dt$
ricontrolla. ciao.
Giustissimo, se vuoi un'idea su come si scompone in fratti semplici puoi guardare qui..
http://www.batmath.it/matematica/a_primitive/fratte.htm
o qui (in particolare da pag 5 in poi..)
http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... svolti.pdf
Quindi dovrebbe venire:
4 log|t^2| + 6 log|1 - 2t|
Ora devo rimettere la x.
x = t^2
4 log|x| + 6 log|1 - 2$sqrt(x)$|
Però per tornare agli estremi di integrazione originari?
4 log|t^2| + 6 log|1 - 2t|
Ora devo rimettere la x.
x = t^2
4 log|x| + 6 log|1 - 2$sqrt(x)$|
Però per tornare agli estremi di integrazione originari?
No attento il primo non è un logaritmo..
riscrivitelo come $t^(-2)$
e al secondo devi aggiungere la derivata al numeratore
riscrivitelo come $t^(-2)$
e al secondo devi aggiungere la derivata al numeratore
Una volta trovata la soluzione la puoi lasciare in t ed effettuare la sostituzione degli estremi di integrazione..
Si giusto devo riscriverlo come t^-2.
Però diventa 4t^-2 e quindi:
-4t^-1
Che se non sbaglio è ugualmente un logaritmo perchè l'esponente è -1.
quindi -4 log|t|
Il mio dubbio ora è come gestire gli estremi di integrazione.
Se faccio la sostituzione ora(ritornando ad usare le x) posso cambiare gli estremi con quelli delle x(cioè 1 e 2)?
Però diventa 4t^-2 e quindi:
-4t^-1
Che se non sbaglio è ugualmente un logaritmo perchè l'esponente è -1.
quindi -4 log|t|
Il mio dubbio ora è come gestire gli estremi di integrazione.
Se faccio la sostituzione ora(ritornando ad usare le x) posso cambiare gli estremi con quelli delle x(cioè 1 e 2)?
Aspetta mi hai detto che $int4t^(-2)dt=-4t^(-1)$ giusto?
E ti fermi lì..
Questo è il risultato, ti trovi?
E' una semplice potenza
Quindi come ti trovi il risultato finale?
E ti fermi lì..
Questo è il risultato, ti trovi?
E' una semplice potenza
Quindi come ti trovi il risultato finale?
Si,è vero.
Quello che ho detto andava fatto se il -1 a esponente lo trovavo già scritto.
Quello che ho detto andava fatto se il -1 a esponente lo trovavo già scritto.
Quindi $int_1^sqrt2\[4/(t^2)+6/(1-2t)]dt=[G(t)]_1^(sqrt2)$
Chi è G(t)?
Chi è G(t)?
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