Integrale per Parti
Salve, espongo la mia risoluzione del seguente integrale, procedo per parti:
$ int_(-1)^(1) x arcsin(x) dx $
$f(x)=arcsin(x)$ ---------- $g'(x)=x$
$=arcsin x * x^2/2 |_(-1)^(1) - int_(-1)^(1) 1/(sqrt(1-x^2)) * x^2/2$ = $ arcsin (1) * 1/2 - arcsin (-1) * 1/2 - int_(-1)^(1) 1/(x sqrt(1)) * x^2/2$ = $ (arcsin 1)/2 + (arcsin 1)/2 - int_(-1)^(1) x/2$ = $2(arcsin1/2) - (1/2 - 1/2)$ = $2 arcsin1/2$ oso semplificare: $= arcsin 1$
spero in una vostra correzione o conferma (e che non abbia commesso errori).
Grazie Mille!
$ int_(-1)^(1) x arcsin(x) dx $
$f(x)=arcsin(x)$ ---------- $g'(x)=x$
$=arcsin x * x^2/2 |_(-1)^(1) - int_(-1)^(1) 1/(sqrt(1-x^2)) * x^2/2$ = $ arcsin (1) * 1/2 - arcsin (-1) * 1/2 - int_(-1)^(1) 1/(x sqrt(1)) * x^2/2$ = $ (arcsin 1)/2 + (arcsin 1)/2 - int_(-1)^(1) x/2$ = $2(arcsin1/2) - (1/2 - 1/2)$ = $2 arcsin1/2$ oso semplificare: $= arcsin 1$
spero in una vostra correzione o conferma (e che non abbia commesso errori).
Grazie Mille!
Risposte
in realtà io sapevo che si doveva svolgere prima tutto l'integrale e poi sostituire i valori tramite la formula $F(b)-F(a)$... è così?
come sei passato da $x^2/(2\sqrt(1-x^2))$ a $x^2/(2x\sqrt1)$?
Grazie per le risposte!
vabbè non penso possa portare problemi prima o dopo, cmq provo a fare i calcoli come dici tu, se è corretto dovrebbe venire uguale.
ho semplicemente portato fuori radice la x, credo sia lecito, no?
"TheBestNapoli":
in realtà io sapevo che si doveva svolgere prima tutto l'integrale e poi sostituire i valori tramite la formula $F(b)-F(a)$... è così?
vabbè non penso possa portare problemi prima o dopo, cmq provo a fare i calcoli come dici tu, se è corretto dovrebbe venire uguale.
"faximusy":
come sei passato da $x^2/(2\sqrt(1-x^2))$ a $x^2/(2x\sqrt1)$?
ho semplicemente portato fuori radice la x, credo sia lecito, no?
"12Aquila":
Grazie per le risposte!
[quote="TheBestNapoli"]in realtà io sapevo che si doveva svolgere prima tutto l'integrale e poi sostituire i valori tramite la formula $F(b)-F(a)$... è così?
vabbè non penso possa portare problemi prima o dopo, cmq provo a fare i calcoli come dici tu, se è corretto dovrebbe venire uguale.
"faximusy":
come sei passato da $x^2/(2\sqrt(1-x^2))$ a $x^2/(2x\sqrt1)$?
ho semplicemente portato fuori radice la x, credo sia lecito, no?[/quote]
no
non c'è $x^2$ sotto radice, ma c'è $1-x^2$, non puoi spezzarli. Prova a fare un test con $\sqrt(4+9)$
"faximusy":
no
hai ragione l'avevo dimenticato, vado a rifare i calcoli...Grazie Mille!!
ho rifatto i calcoli:
$arcsin x * x^2/2 |_(-1)^(1) - int_(-1)^(1) 1 / sqrt(1-x^2) * x^2 /2$ -> $arcsin 1 * 1/2 + arcsin 1 * 1/2 - int_(-1)^(1) 1 / (1-x^2)^(1/2) * x^2 /2$ -> $2(arcsin 1 /2) - int_(-1)^(1) x^2 /( 2(1^(1/2)-x))$ -> $2(arcsin 1 /2) - int_(-1)^(1) x^2 /( 2 -2x)$ arrivato qua l'integrale verrebbe $1/0 - 1/4$
non so se considerare $1/0 = 0$ e quindi l'integrale sarebbe =$ 1/4$, perchè infinito per un integrale definito non avrebbe senso.
spero in qualche suggerimento, nell'attesa provo a rivedere i calcoli in cerca di un'altra strada. Grazie!
$arcsin x * x^2/2 |_(-1)^(1) - int_(-1)^(1) 1 / sqrt(1-x^2) * x^2 /2$ -> $arcsin 1 * 1/2 + arcsin 1 * 1/2 - int_(-1)^(1) 1 / (1-x^2)^(1/2) * x^2 /2$ -> $2(arcsin 1 /2) - int_(-1)^(1) x^2 /( 2(1^(1/2)-x))$ -> $2(arcsin 1 /2) - int_(-1)^(1) x^2 /( 2 -2x)$ arrivato qua l'integrale verrebbe $1/0 - 1/4$
non so se considerare $1/0 = 0$ e quindi l'integrale sarebbe =$ 1/4$, perchè infinito per un integrale definito non avrebbe senso.
spero in qualche suggerimento, nell'attesa provo a rivedere i calcoli in cerca di un'altra strada. Grazie!
ma devi per forza risolverlo per parti?
Comunque $1/0$ fa infinito, non $0$
Comunque $1/0$ fa infinito, non $0$
"faximusy":
ma devi per forza risolverlo per parti?
Comunque $1/0$ fa infinito, non $0$
infatti, ma è possibile che il risultato dell'integrale fa infinito?
comunque non ho l'obbligo di farlo per parti, solo che lo suggerisce la forma x arcsin (x). avresti qualche suggerimento di come risolverlo? Grazie mille
veramente io l'ho risolto per parti... è un po' lunghetto ma ci si può arrivare... se per caso hai risultato postalo così vedo se per caso ho fatto bene i calcoli...
cmq il passaggio:
$\int(x^2)/(2(1-x^2)^(1/2))dx=\int(x^2)/(2(1^(1/2)-x))dx$ non è per niente lecito...
si puo' applicare la potenza ad entrambi i membri nella parentesi solo se sono moltiplicati tra loro...
cmq il passaggio:
$\int(x^2)/(2(1-x^2)^(1/2))dx=\int(x^2)/(2(1^(1/2)-x))dx$ non è per niente lecito...
si puo' applicare la potenza ad entrambi i membri nella parentesi solo se sono moltiplicati tra loro...
Il risultato dell'integrale definito è [tex]$\frac{\pi}{4}$[/tex]
dell'indefinito: [tex]$\frac{1}{4}\left( x \sqrt{1-x^2}+(2 x^2-1) \cdot arc sin(x)\right) + C$[/tex]
dell'indefinito: [tex]$\frac{1}{4}\left( x \sqrt{1-x^2}+(2 x^2-1) \cdot arc sin(x)\right) + C$[/tex]
Grazie per la risposta!
non ho il risultato, e comunque non sono interessato a risolvere l'esercizio in particolare ma a capire come risolvere (per parti) un integrale definito, in quanto incontro diversi problemi.
risolvendo $int_(-1)^(1) x^2/(2(1-x^2)^(1/2))$ mi ritrovo sempre alla forma $1/(2(0)^(1/2)) - 1/(2(0)^(1/2))$ che giustamente fa infinito e non ho mai incontrato un integrale (inoltre definito) che risulti infinito, così avrei $2(arcsin1/ 2) - oo$. non credo che a te risulti così, giusto? penso proprio che è sbagliato. ed ho anche riveduto più volte i calcoli. non è che avresti qualche suggerimento da darmi?
nell'attesa provo a rifare l'esercizio da capo
.
Grazie!
"TheBestNapoli":mannaggia ho sbagliato un altro passaggio
veramente io l'ho risolto per parti... è un po' lunghetto ma ci si può arrivare... se per caso hai risultato postalo così vedo se per caso ho fatto bene i calcoli...
cmq il passaggio:
$\int(x^2)/(2(1-x^2)^(1/2))dx=\int(x^2)/(2(1^(1/2)-x))dx$ non è per niente lecito...
si puo' applicare la potenza ad entrambi i membri nella parentesi solo se sono moltiplicati tra loro...
non ho il risultato, e comunque non sono interessato a risolvere l'esercizio in particolare ma a capire come risolvere (per parti) un integrale definito, in quanto incontro diversi problemi.
risolvendo $int_(-1)^(1) x^2/(2(1-x^2)^(1/2))$ mi ritrovo sempre alla forma $1/(2(0)^(1/2)) - 1/(2(0)^(1/2))$ che giustamente fa infinito e non ho mai incontrato un integrale (inoltre definito) che risulti infinito, così avrei $2(arcsin1/ 2) - oo$. non credo che a te risulti così, giusto? penso proprio che è sbagliato. ed ho anche riveduto più volte i calcoli. non è che avresti qualche suggerimento da darmi?
nell'attesa provo a rifare l'esercizio da capo
.Grazie!
"Mathcrazy":
Il risultato dell'integrale definito è [tex]$\frac{\pi}{4}$[/tex]
dell'indefinito: [tex]$\frac{1}{4}\left( x \sqrt{1-x^2}+(2 x^2-1) \cdot arc sin(x)\right) + C$[/tex]
scusa, non avevo visto la tua risposta.
grazie per il risultato, a guardarlo non capisco alcune cose ma provo ad arrivarci da solo (anche se mi blocco sempre in quella forma con infinito) e vi farò sapere.
Grazie ancora!
beh allora mi trovo con il risultato 
anche a me viene $(\pi)/4$... 12Aquila come ho già detto prima prova a risolvere l'integrale tutto intero e poi dopo sostituisci i valori con $F(b)-F(a)$... allora abbiamo deciso di scegliere
$f(x)=acrcsen(x)$ --> $f'(x)=1/(sqrt(1-x^2))$
$g'(x)=x$ --> $g(x)=(x^2)/2$
ora sostituendo viene:
$(x^2)/2arcsen(x)-1/2\int(x^2)/(sqrt(1-x^2))dx$
ti do un piccolo aiutino... cambia il segno all'$1/2$ e porta il meno dentro l'integrale così:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(-x^2)/(sqrt(1-x^2))dx$
poi dopo aggiungi e sottrai $+1$ e $-1$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(-x^2+1-1)/(sqrt(1-x^2))dx$
ora prova a continuare tu...
anche a me viene $(\pi)/4$... 12Aquila come ho già detto prima prova a risolvere l'integrale tutto intero e poi dopo sostituisci i valori con $F(b)-F(a)$... allora abbiamo deciso di scegliere$f(x)=acrcsen(x)$ --> $f'(x)=1/(sqrt(1-x^2))$
$g'(x)=x$ --> $g(x)=(x^2)/2$
ora sostituendo viene:
$(x^2)/2arcsen(x)-1/2\int(x^2)/(sqrt(1-x^2))dx$
ti do un piccolo aiutino... cambia il segno all'$1/2$ e porta il meno dentro l'integrale così:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(-x^2)/(sqrt(1-x^2))dx$
poi dopo aggiungi e sottrai $+1$ e $-1$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(-x^2+1-1)/(sqrt(1-x^2))dx$
ora prova a continuare tu...
Penso che il problema sia per l'integrale [tex]\int {\displaystyle\frac{{x^2 }}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx}[/tex]. Ti consiglio di effettuare una sostituzione trigonometrica a [tex]\sqrt {1 - x^2 }[/tex] e vedrai che il gioco è fatto 
Grazie ragazzi, siete gentilissimi come sempre! mi metto al lavoro e vi faccio sapere.
mi metto al lavoro e vi faccio sapere.
Per risolvere l'integrale [tex]\int {\displaystyle\frac{{x^2 }}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx}[/tex] ti consiglio due sostituzioni, entrambe efficaci, anche se richiedono un po' di "artigianato" e parecchia attenzione con i calcoli, divertiti 
:
[tex]$\sqrt {1 - x^2 } = (x-1) t$[/tex]
oppure
[tex]$\sqrt {1 - x^2 } = (x+1) t$[/tex]
Se non hai alcuna idea su come lavorare con queste sostituzioni guarda questo integrale che svolsi, tempo fa, per un utente:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#412725
:[tex]$\sqrt {1 - x^2 } = (x-1) t$[/tex]
oppure
[tex]$\sqrt {1 - x^2 } = (x+1) t$[/tex]
Se non hai alcuna idea su come lavorare con queste sostituzioni guarda questo integrale che svolsi, tempo fa, per un utente:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#412725
La sostituzione che ti dicevo, invece (senza nulla togliere a Mathcrazy 
) è quella secondo la quale dato [tex]\sqrt{a^2 - b^2x^2}[/tex] poni [tex]x=\displaystyle\frac{a}{b} \cdot sin(y)[/tex], da cui poi ottieni [tex]a\sqrt{1-sin^2(y)}=a \cdot cos(y)[/tex] e poi procedi regolarmente
P.S. - dovresti arrivare ad un integrale del tipo [tex]\displaystyle\int sin^2(y)dy[/tex] che è banale
) è quella secondo la quale dato [tex]\sqrt{a^2 - b^2x^2}[/tex] poni [tex]x=\displaystyle\frac{a}{b} \cdot sin(y)[/tex], da cui poi ottieni [tex]a\sqrt{1-sin^2(y)}=a \cdot cos(y)[/tex] e poi procedi regolarmente P.S. - dovresti arrivare ad un integrale del tipo [tex]\displaystyle\int sin^2(y)dy[/tex] che è banale
Grazie a tutti per i suggerimenti!
è tutta la mattina che provo i metodi che avete suggerito e l'unica cosa che ho ricavato è un gran mal di testa](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
(vabbè cmq ho capito qualcosa in più)
allora (in ordine cronologico):
- per il suggerimento di TheBestNapoli : mi blocco arrivato a $x^2 / 2 arcsin(x)+1/2 int ((1-x^2)-1)/(1-x^2)^(1/2)$, non trovo modo di semplificare o trasformare nulla nell'integrale (altrimenti il denom = 0).
- per il suggerimento di Mathcrazy: ho provato a fare la sostituzione, ma non capisco (e mi blocco) nell'esercizio che riporti il passaggio $sqrt(1+x^2) = t-( (t^2 -1)/(2t))=(t^2 + 1)/(2t)$
- per il suggerimento di Aliseo: credo che la tua sia la strada più vicina a quella che il prof ha previsto, perchè mi ricordo che ci ha suggerito che alla fine l'integrale diventava banale.
ma ho qualche incertezza sui passaggi che hai descritto: nel primo (poni x=...) se mi viene chiesto come giustifico l'immissione di sin(y)?, secondo passaggio capito perfettamente come anche il terzo, dove hai usato la relazione fondamentale e tolto il quadrato al coseno grazie alla radice.
il problema è nell'integrale, cioè $a$ nel mio caso è $1$ quindi ho $int x^2 / cos(y)$ e non vedo modo di portarlo a $int sin^2(y) dx$.
Scusate per i miei problemi ma come ho scritto in precedenza non ho avuto il tempo di studiare per bene questa materia, sto provando a mettercela tutta per superarla in questa sessione, altrimenti la farò per l'estate a posto delle materie che mi ero programmato; quindi per me anche quell'integrale banale (per esempio) mi suscita problemi nella risoluzione 
.
Grazie infinitamente per l'aiuto che mi date!
è tutta la mattina che provo i metodi che avete suggerito e l'unica cosa che ho ricavato è un gran mal di testa
(vabbè cmq ho capito qualcosa in più)allora (in ordine cronologico):
- per il suggerimento di TheBestNapoli : mi blocco arrivato a $x^2 / 2 arcsin(x)+1/2 int ((1-x^2)-1)/(1-x^2)^(1/2)$, non trovo modo di semplificare o trasformare nulla nell'integrale (altrimenti il denom = 0).
- per il suggerimento di Mathcrazy: ho provato a fare la sostituzione, ma non capisco (e mi blocco) nell'esercizio che riporti il passaggio $sqrt(1+x^2) = t-( (t^2 -1)/(2t))=(t^2 + 1)/(2t)$
- per il suggerimento di Aliseo: credo che la tua sia la strada più vicina a quella che il prof ha previsto, perchè mi ricordo che ci ha suggerito che alla fine l'integrale diventava banale.
ma ho qualche incertezza sui passaggi che hai descritto: nel primo (poni x=...) se mi viene chiesto come giustifico l'immissione di sin(y)?, secondo passaggio capito perfettamente come anche il terzo, dove hai usato la relazione fondamentale e tolto il quadrato al coseno grazie alla radice.
il problema è nell'integrale, cioè $a$ nel mio caso è $1$ quindi ho $int x^2 / cos(y)$ e non vedo modo di portarlo a $int sin^2(y) dx$.
Scusate per i miei problemi
ma come ho scritto in precedenza non ho avuto il tempo di studiare per bene questa materia, sto provando a mettercela tutta per superarla in questa sessione, altrimenti la farò per l'estate a posto delle materie che mi ero programmato; quindi per me anche quell'integrale banale (per esempio) mi suscita problemi nella risoluzione .Grazie infinitamente per l'aiuto che mi date!
allora io ti propongo una possibile soluzione... poi vedi tu quale usare in altri casi simili a questo...
Allora l'integrale è:
$\int_(-1)^(1)x*arcsen(x)dx$
$f(x)=acrcsen(x)$ --> $f'(x)=1/(sqrt(1-x^2))$
$g'(x)=x$ --> $g(x)=(x^2)/2$
$(x^2)/2arcsen(x)-1/2\int(x^2)/(sqrt(1-x^2))dx$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(-x^2)/(sqrt(1-x^2))dx$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(-x^2+1-1)/(sqrt(1-x^2))dx$
arrivato qui spezzi l'integrale in questo modo:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(1-x^2)^1/(1-x^2)^(1/2)dx-1/2\int1/(sqrt(1-x^2))dx$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\intsqrt(1-x^2)dx-1/2arcsen(x)$
ora bisogna risolvere solo l'integrale:
$1/2\intsqrt(1-x^2)dx$
possiamo imporre $x=sen(t)$ da cui $t=arcsen(x)$ e $dx=cos(t)dt$
$1/2\intsqrt(1-sen^2(t))cos(t)dt$
$1/2\intcos^2(t)dt$
$1/2\intcos(t)cos(t)dt$
per parti si ha:
$sen(t)cos(t)+\intsen^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+\int1-cos^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+t-\intcos^2(t)dt$
ricavando dalla relazione precedente il valore dell'integrale si ha:
$\intcos^2(t)dt=1/2(sen(t)cos(t)+t)$
quindi il risultato finale è:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/4sen(t)cos(t)+1/4t-1/2arcsen(x)$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/4sen(arcsen(x))cos(arcsen(x))+1/4arcsen(x)-1/2arcsen(x)$
$(x^2)/2arcsen(x)+x/4cos(arcsen(x))+1/4arcsen(x)-1/2arcsen(x)$
$[(x^2)/2arcsen(x)+x/4cos(arcsen(x))-1/4arcsen(x)]_(-1)^(1)$
$1/2arcsen(1)+1/4cos(arcsen(1))-1/4arcsen(1)-1/2acrcsen(-1)+1/4cos(arcsen(-1))+1/4arcsen(-1)$
$1/4arcsen(1)+1/4cos(arcsen(1))-1/4acrcsen(-1)+1/4cos(arcsen(-1))$
$1/4arcsen(1)+1/4cos(arcsen(1))+1/4acrcsen(1)-1/4cos(arcsen(1))$
$1/2arcsen(1)=1/2*(\pi)/2=(\pi)/4$
Ciao!!!
Allora l'integrale è:
$\int_(-1)^(1)x*arcsen(x)dx$
$f(x)=acrcsen(x)$ --> $f'(x)=1/(sqrt(1-x^2))$
$g'(x)=x$ --> $g(x)=(x^2)/2$
$(x^2)/2arcsen(x)-1/2\int(x^2)/(sqrt(1-x^2))dx$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(-x^2)/(sqrt(1-x^2))dx$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(-x^2+1-1)/(sqrt(1-x^2))dx$
arrivato qui spezzi l'integrale in questo modo:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\int(1-x^2)^1/(1-x^2)^(1/2)dx-1/2\int1/(sqrt(1-x^2))dx$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/2\intsqrt(1-x^2)dx-1/2arcsen(x)$
ora bisogna risolvere solo l'integrale:
$1/2\intsqrt(1-x^2)dx$
possiamo imporre $x=sen(t)$ da cui $t=arcsen(x)$ e $dx=cos(t)dt$
$1/2\intsqrt(1-sen^2(t))cos(t)dt$
$1/2\intcos^2(t)dt$
$1/2\intcos(t)cos(t)dt$
per parti si ha:
$sen(t)cos(t)+\intsen^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+\int1-cos^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+t-\intcos^2(t)dt$
ricavando dalla relazione precedente il valore dell'integrale si ha:
$\intcos^2(t)dt=1/2(sen(t)cos(t)+t)$
quindi il risultato finale è:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/4sen(t)cos(t)+1/4t-1/2arcsen(x)$
$(x^2)/2arcsen(x)+1/4sen(arcsen(x))cos(arcsen(x))+1/4arcsen(x)-1/2arcsen(x)$
$(x^2)/2arcsen(x)+x/4cos(arcsen(x))+1/4arcsen(x)-1/2arcsen(x)$
$[(x^2)/2arcsen(x)+x/4cos(arcsen(x))-1/4arcsen(x)]_(-1)^(1)$
$1/2arcsen(1)+1/4cos(arcsen(1))-1/4arcsen(1)-1/2acrcsen(-1)+1/4cos(arcsen(-1))+1/4arcsen(-1)$
$1/4arcsen(1)+1/4cos(arcsen(1))-1/4acrcsen(-1)+1/4cos(arcsen(-1))$
$1/4arcsen(1)+1/4cos(arcsen(1))+1/4acrcsen(1)-1/4cos(arcsen(1))$
$1/2arcsen(1)=1/2*(\pi)/2=(\pi)/4$
Ciao!!!
"12Aquila":
il problema è nell'integrale, cioè $a$ nel mio caso è $1$ quindi ho $int x^2 / cos(y)$ e non vedo modo di portarlo a $int sin^2(y) dx$.
[tex]$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$[/tex]
Adottando la sostituzione che ti hanno suggerito: [tex]$x = sen y$[/tex]; devi anche ricalcolare il [tex]$dx = d (seny) = \left(cos(y) \right) dy$[/tex] e sostituirlo ottenendo:
[tex]\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{sen^2 y}{\sqrt{1-sen^2 y}} \left(cos(y) \right) dy =\int \frac{sen^2 y}{cosy} \left(cos(y) \right) dy = \int sen^2 y dy$[/tex]
EDIT: Ho risposto contemporaneamente a thebestnapoli
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