Integrale per Parti
Salve, espongo la mia risoluzione del seguente integrale, procedo per parti:
$ int_(-1)^(1) x arcsin(x) dx $
$f(x)=arcsin(x)$ ---------- $g'(x)=x$
$=arcsin x * x^2/2 |_(-1)^(1) - int_(-1)^(1) 1/(sqrt(1-x^2)) * x^2/2$ = $ arcsin (1) * 1/2 - arcsin (-1) * 1/2 - int_(-1)^(1) 1/(x sqrt(1)) * x^2/2$ = $ (arcsin 1)/2 + (arcsin 1)/2 - int_(-1)^(1) x/2$ = $2(arcsin1/2) - (1/2 - 1/2)$ = $2 arcsin1/2$ oso semplificare: $= arcsin 1$
spero in una vostra correzione o conferma (e che non abbia commesso errori).
Grazie Mille!
$ int_(-1)^(1) x arcsin(x) dx $
$f(x)=arcsin(x)$ ---------- $g'(x)=x$
$=arcsin x * x^2/2 |_(-1)^(1) - int_(-1)^(1) 1/(sqrt(1-x^2)) * x^2/2$ = $ arcsin (1) * 1/2 - arcsin (-1) * 1/2 - int_(-1)^(1) 1/(x sqrt(1)) * x^2/2$ = $ (arcsin 1)/2 + (arcsin 1)/2 - int_(-1)^(1) x/2$ = $2(arcsin1/2) - (1/2 - 1/2)$ = $2 arcsin1/2$ oso semplificare: $= arcsin 1$
spero in una vostra correzione o conferma (e che non abbia commesso errori).
Grazie Mille!
Risposte
Grazie Veramente!!
avete chiarito i miei dubbi! comincio subito a svilupparlo da me per vedere se ho problemi (ma non credo, perché siete stati molto chiari)
Grazie Ancora!
avete chiarito i miei dubbi! comincio subito a svilupparlo da me per vedere se ho problemi (ma non credo, perché siete stati molto chiari)
Grazie Ancora!
Hey figurati!
ho capito tutto il procedimento 
[TheBestNapoli grazie per lo svolgimento, veramente chiaro], mi rimane solo un'ultimo dubbio: sono confuso in questo passaggio 
non capisco il passaggio dal secondo al terzo rigo, non vorrei chiedere troppo perchè già avete fatto molto per me, mi basta anche un suggerimento.
Grazie mille !
[TheBestNapoli grazie per lo svolgimento, veramente chiaro], mi rimane solo un'ultimo dubbio: sono confuso in questo passaggio "TheBestNapoli":
$1/2intcos^2(t)dt$
per parti si ha: [...]
$sen(t)cos(t)+t-\intcos^2(t)dt$
ricavando dalla relazione precedente il valore dell'integrale si ha:
$\intcos^2(t)dt=1/2(sen(t)cos(t)+t)$
quindi il risultato finale è:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/4sen(t)cos(t)+1/4t-1/2arcsen(x)$
non capisco il passaggio dal secondo al terzo rigo, non vorrei chiedere troppo perchè già avete fatto molto per me, mi basta anche un suggerimento.
Grazie mille
!
Allora sei arrivato qua:
$1/2\intcos^2(t)dt$
lasciamo perdere l'$1/2$... lo prendiamo dopo...
l'integrale diventa
$\intcos(t)cos(t)dt$
lo puoi svolgere per parti e si ha:
$sen(t)cos(t)+\intsen^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+\int1-cos^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+\intdt-\intcos^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+t-\intcos^2(t)dt$
arrivato qui ti riprendi l'integrale iniziale (quello che volevi calcolare) e lo poni uguale a questo risultato che hai ottenuto, ti ritrovi l'equazione:
$\intcos^2(t)dt=sen(t)cos(t)+t-\intcos^2(t)dt$
porti a sinistra l'ultimo membro e hai:
$2\intcos^2(t)dt=sen(t)cos(t)+t$
dividendo per 2 entrambi i membri:
$\intcos^2(t)dt=1/2(sen(t)cos(t)+t)$
quindi il risultato finale (ricordando l'$1/2$ di prima) è:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/4sen(t)cos(t)+1/4t-1/2arcsen(x)$
e poi continui...
$1/2\intcos^2(t)dt$
lasciamo perdere l'$1/2$... lo prendiamo dopo...
l'integrale diventa
$\intcos(t)cos(t)dt$
lo puoi svolgere per parti e si ha:
$sen(t)cos(t)+\intsen^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+\int1-cos^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+\intdt-\intcos^2(t)dt$
$sen(t)cos(t)+t-\intcos^2(t)dt$
arrivato qui ti riprendi l'integrale iniziale (quello che volevi calcolare) e lo poni uguale a questo risultato che hai ottenuto, ti ritrovi l'equazione:
$\intcos^2(t)dt=sen(t)cos(t)+t-\intcos^2(t)dt$
porti a sinistra l'ultimo membro e hai:
$2\intcos^2(t)dt=sen(t)cos(t)+t$
dividendo per 2 entrambi i membri:
$\intcos^2(t)dt=1/2(sen(t)cos(t)+t)$
quindi il risultato finale (ricordando l'$1/2$ di prima) è:
$(x^2)/2arcsen(x)+1/4sen(t)cos(t)+1/4t-1/2arcsen(x)$
e poi continui...
Allora vediamo un po' dall'inizio
l'integrale [tex]\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy}[/tex] può essere visto come [tex]\displaystyle\int {\sin \left( y \right)\sin \left( y \right)dy}.[/tex] Pertanto, integrando per parti hai
[tex]\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy} = - \sin \left( y \right)\cos \left( y \right) + \displaystyle\int {\cos ^2 \left( y \right)dy}[/tex] cioè
[tex]\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy} = - \sin \left( y \right)\cos \left( y \right) + \displaystyle\int {dy} - \displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy}[/tex]
ma come vedi ricompare l'integrale iniziale. Dunque riportandolo al primo membro avrai [tex]2\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy}[/tex]. Quindi, dividendo ambo i membri per $2$ avrai quanto segue
[tex]\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy} = \displaystyle\frac{1}{2}\left( { - \sin \left( y \right)\cos \left( y \right) + y} \right) + c[/tex]
chiaro ora?
P.S. - scritto contemporaneamente a TheBestNapoli
l'integrale [tex]\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy}[/tex] può essere visto come [tex]\displaystyle\int {\sin \left( y \right)\sin \left( y \right)dy}.[/tex] Pertanto, integrando per parti hai
[tex]\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy} = - \sin \left( y \right)\cos \left( y \right) + \displaystyle\int {\cos ^2 \left( y \right)dy}[/tex] cioè
[tex]\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy} = - \sin \left( y \right)\cos \left( y \right) + \displaystyle\int {dy} - \displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy}[/tex]
ma come vedi ricompare l'integrale iniziale. Dunque riportandolo al primo membro avrai [tex]2\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy}[/tex]. Quindi, dividendo ambo i membri per $2$ avrai quanto segue
[tex]\displaystyle\int {\sin ^2 \left( y \right)dy} = \displaystyle\frac{1}{2}\left( { - \sin \left( y \right)\cos \left( y \right) + y} \right) + c[/tex]
chiaro ora?
P.S. - scritto contemporaneamente a TheBestNapoli
ora ho capito veramente tutto sull'esercizio
chiarissimi come sempre! Grazie Infinite ragazzi, siete veramente delle brave persone
chiarissimi come sempre! Grazie Infinite ragazzi, siete veramente delle brave persone
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