Integrale impossibile (per me)
Calcolare
$inte^x(e^(2x)+x^2/e^x)sqrt(1+e^(-2x))dx$.
Fonte: www.dmi.unict.it/%7Eemmanuele/PDF/compi ... infAM1.pdf pag. 75 es. 3
$inte^x(e^(2x)+x^2/e^x)sqrt(1+e^(-2x))dx$.
Fonte: www.dmi.unict.it/%7Eemmanuele/PDF/compi ... infAM1.pdf pag. 75 es. 3
Risposte
Diciamo che quella disuguaglianza l'ha usata il libro... e la si può dimostrare con il teorema di Lagrange.
Il metodo che hai descritto non so se sia corretto.
$sqrt(n^2+1)$~$n$ questo mi torna, ma da questo si può dire che
$sen(pisqrt(n^2+1))$~$sen(pin)$?
Sinceramente non lo so.
Mi si cancellato il post precedente...
Il teorema che avevo scritto è questo:
Ogni funzione convessa è derivabile in tutti i punti tranne al più un insieme numerabile.
Nel libro la dimostazione c'è e non è neanche tanto banale.
Il metodo che hai descritto non so se sia corretto.
$sqrt(n^2+1)$~$n$ questo mi torna, ma da questo si può dire che
$sen(pisqrt(n^2+1))$~$sen(pin)$?
Sinceramente non lo so.
Mi si cancellato il post precedente...
Il teorema che avevo scritto è questo:
Ogni funzione convessa è derivabile in tutti i punti tranne al più un insieme numerabile.
Nel libro la dimostazione c'è e non è neanche tanto banale.
Com'è andata a finire?è stato contattato il professore?
Domani mattina se c'è chiedo.
Ho parlato con il professore. Mi ha detto che la risoluzione dell'integrale è piuttosto lunga ma non complessa e che occorre usare più di un metodo risolutivo. Inoltre dovrebbe esserci una sorta di trucco utile per semplificare i calcoli.
Ovviamente la soluzione data dal software è corretta, ma si può semplificare molto di più.
Ovviamente la soluzione data dal software è corretta, ma si può semplificare molto di più.
mah....vorrei tanto vedere come lo risove lui questo integrale....boh
Non me l'ha detto perchè ancora agli integrali non ci siamo arrivati con il programma.
Credo che si debba integrare per serie...quando avrò tempo ci proverò.
Auguri!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Auguri!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Si porti fuori dalla radice $e^(2x)$ e lo si semplifichi con il primo fattore ($e^x$)
si otterrà $((e^(3x)+x^2)/e^x)*sqrt(1+e^(2x))$
per il primo fattore basta ricordare lo sviluppo di $e^x$,sostituendo,in luogo di $x$,$3x$ (per il numeratore,mentre al denominatore lo sviluppo è noto)
mentre il secondo fattore lo si scriva: $(1+e^(2x))^(1/2)$
è noto che,se $|x|<1$,si ha la serie binomiale: $(1+x)^m=1+(m,1)x+(m,2)x^2+.....$ (non so come si scrivono i coefficienti binomiali in mathplayer)
in questo caso $m=1/2$ e $x=e^(2x)$
Ecco dunque risolto,anche se in modo approssimato,il temuto integrale!
si otterrà $((e^(3x)+x^2)/e^x)*sqrt(1+e^(2x))$
per il primo fattore basta ricordare lo sviluppo di $e^x$,sostituendo,in luogo di $x$,$3x$ (per il numeratore,mentre al denominatore lo sviluppo è noto)
mentre il secondo fattore lo si scriva: $(1+e^(2x))^(1/2)$
è noto che,se $|x|<1$,si ha la serie binomiale: $(1+x)^m=1+(m,1)x+(m,2)x^2+.....$ (non so come si scrivono i coefficienti binomiali in mathplayer)
in questo caso $m=1/2$ e $x=e^(2x)$
Ecco dunque risolto,anche se in modo approssimato,il temuto integrale!
Forse ho trovato la soluzione senza utilizzare lo sviluppo per serie:
$inte^x(e^(2x)+x^2/e^x)*sqrt(1+e^(-2x))dx= int e^x*(e^(2x)+(x^2)/e^x)*sqrt(e^(2x)*+1) 1/e^x dx$=
=$int e^(2x)*sqrt(e^(2x)*+1))dx+int x^2/(e^x)*sqrt(e^(2x)*+1))dx$=
Il primo integrale è immediato se scritto così:
$1/2int2e^2x*(e^(2x)*+1)^(1/2)dx=1/2*2/3 *(e^(2x)*+1)*sqrt(e^(2x)*+1)+c$
Per quanto riguarda il secondo
$int x^2/e^x*sqrt(e^(2x)*+1)dx=
Sostituendo $e^(2x)+1=t^2$; $e^2x=t^2-1$; $e^x=sqrt(t^2-1$; $x=1/2log(t^(2)-1)=$; $dx=dt/(t^(2)-1)$->
=$1/2int t^(2)*log^(2)(t^(2)-1)*1/((t^(2)-1)*sqrt(t^(2)-1)) dt=1/4int 2t^(2)*log^(2)(t^(2)-1)*1/((t^(2)-1)*sqrt(t^(2)-1)) *dt=$
$=1/2int (2t*log^(2)sqrt(t^(2)-1))/(t^(2)-1)*t/(sqrt(t^(2)-1))*dt=$
Ora lo svolgo per parti prendendo $2t*log^(2)sqrt(t^(2)-1)*1/(t^(2)- 1)$come fattore differenziale e $t/(sqrt(t^(2)-1)$ come fattore finito
$=t/12*log^(3)(t^(2)-1)-1/6int(t^(2))/2*log^(3)(t^2-1)dt=$
Ancora per parti prendendo come fattore differenziale $t^(2)$ e fattore finito $log^(3)(t^2-1)$->
$=t/12*log^(3)(t^(2)-1)-1/12((t^(3))/3*log^(3)(t^2-1)-1/3int2t*t^(3)*log^(2)(t^2-1)dt)$
Facendolo ancora per parti, si arriva a ad una somma algebrica di funzioni+$int(t^(8))/(t^2-1)dt$
Spero non ci siano altri errori
$inte^x(e^(2x)+x^2/e^x)*sqrt(1+e^(-2x))dx= int e^x*(e^(2x)+(x^2)/e^x)*sqrt(e^(2x)*+1) 1/e^x dx$=
=$int e^(2x)*sqrt(e^(2x)*+1))dx+int x^2/(e^x)*sqrt(e^(2x)*+1))dx$=
Il primo integrale è immediato se scritto così:
$1/2int2e^2x*(e^(2x)*+1)^(1/2)dx=1/2*2/3 *(e^(2x)*+1)*sqrt(e^(2x)*+1)+c$
Per quanto riguarda il secondo
$int x^2/e^x*sqrt(e^(2x)*+1)dx=
Sostituendo $e^(2x)+1=t^2$; $e^2x=t^2-1$; $e^x=sqrt(t^2-1$; $x=1/2log(t^(2)-1)=$; $dx=dt/(t^(2)-1)$->
=$1/2int t^(2)*log^(2)(t^(2)-1)*1/((t^(2)-1)*sqrt(t^(2)-1)) dt=1/4int 2t^(2)*log^(2)(t^(2)-1)*1/((t^(2)-1)*sqrt(t^(2)-1)) *dt=$
$=1/2int (2t*log^(2)sqrt(t^(2)-1))/(t^(2)-1)*t/(sqrt(t^(2)-1))*dt=$
Ora lo svolgo per parti prendendo $2t*log^(2)sqrt(t^(2)-1)*1/(t^(2)- 1)$come fattore differenziale e $t/(sqrt(t^(2)-1)$ come fattore finito
$=t/12*log^(3)(t^(2)-1)-1/6int(t^(2))/2*log^(3)(t^2-1)dt=$
Ancora per parti prendendo come fattore differenziale $t^(2)$ e fattore finito $log^(3)(t^2-1)$->
$=t/12*log^(3)(t^(2)-1)-1/12((t^(3))/3*log^(3)(t^2-1)-1/3int2t*t^(3)*log^(2)(t^2-1)dt)$
Facendolo ancora per parti, si arriva a ad una somma algebrica di funzioni+$int(t^(8))/(t^2-1)dt$
Spero non ci siano altri errori
sul secondo controlla bene la sostituzione ed i relativi calcoli.
l'integrale da risolvere è
$intx^2sqrt(1+e^(-2x))dx$
l'integrale da risolvere è
$intx^2sqrt(1+e^(-2x))dx$
"nicola de rosa":
sul secondo controlla bene la sostituzione ed i relativi calcoli.
l'integrale da risolvere è
$intx^2sqrt(1+e^(-2x))dx$
......che non è calcolabile elementarmente.
"ENEA84":
[quote="nicola de rosa"]sul secondo controlla bene la sostituzione ed i relativi calcoli.
l'integrale da risolvere è
$intx^2sqrt(1+e^(-2x))dx$
......che non è calcolabile elementarmente.[/quote]
e poi a dire il vero il primo integrale in cui si scinde quello di partenza è $inte^(2x)sqrt(1+e^(2x))$ e il secondo $intx^2/e^xsqrt(1+e^(2x))$ e quest'ultimo non è calcolabile elementarmente.
A meno che non siamo autori di una megagalattica gaffe,l'integrale,ormai famoso,postato da piera NON è calcolabile elementarmente.
Ops, avete ragione, ho sbagliato un po' di conti, ma sembra che torni. Non ho detto che il secondo integrale è elementare, ma solo che il primo lo è. Provo a correggere 
Controllate ora
"Archimede87":
Controllate ora
si,ma quello che interessa è calcolare l'intero integrale...a calcolare il primo c'eravamo arrivati tutti credo.
Guarda che il secondo l'ho calcolato. Non ho scritto tutti i passaggi, ma i primi si. Alla fine viene un integrale lunghissimo che, solo per scriverlo, mi ci vorrebbe come minimo un'ora. Comunque, se vuoi, stasera tenterò di scriverlo tutto. Prova a guardare le modifiche che ho apportato. Dopo la sostituzione, l'ho fatto per parti. Se continui facendolo per parti utilizzando come fattore finito $t^(a)$ e come fattore differenziale il log alla fine ti viene una somma di logaritmi lunghissima più :$int (t^(8))/(t^(2)-1)dt$
"Archimede87":
Guarda che il secondo l'ho calcolato. Non ho scritto tutti i passaggi, ma i primi si. Alla fine viene un integrale lunghissimo che, solo per scriverlo, mi ci vorrebbe come minimo un'ora. Comunque, se vuoi, stasera tenterò di scriverlo tutto. Prova a guardare le modifiche che ho apportato. Dopo la sostituzione, l'ho fatto per parti. Se continui facendolo per parti utilizzando come fattore finito $t^(a)$ e come fattore differenziale il log alla fine ti viene una somma di logaritmi lunghissima più quell'integrale che ti ho scritto io:$int (t^(8))/(t^(2)-1)
E quale sarebbe la derivata di $2tlog^2(t^2-1)*1/(t^2-1)$?
$(2t)/(t^(2)-1)$ è la derivata di $log(t^(2)-1)$.
L'integrale si può ridurre alla forma $int (2t)/(t^(2)-1)*(log(t^(2)-1))^2 dt=1/3(log(t^(2)-1))^3+c$
Ti trovi??
L'integrale si può ridurre alla forma $int (2t)/(t^(2)-1)*(log(t^(2)-1))^2 dt=1/3(log(t^(2)-1))^3+c$
Ti trovi??
Archimede, sicuro della prima sostituzione?!
Comunque $x=1/4log^2(t^2-1)$
$=>$ $I=1/4intt^2log^2(t^2-1)1/(t^2-1)dt=1/8int2tlog^2(t^2-1)1/(t^2-1)*tdt$
Per parti:$f(t)=t => f^{\prime}(t)=1$,
$g^{\prime}(t)=2tlog^2(t^2-1)/(t^2-1)$ => $g(t)=int2tlog^2(t^2-1)/(t^2-1)dt=intlog^2(t^2-1)d(log(t^2-1))$
$I=f*g-intf^{\prime}*g$ $=>$ $I=t*1/3log^3(t^2-1)-1/3intlog^3(t^2-1)dt$
e ora?
$=>$ $I=1/4intt^2log^2(t^2-1)1/(t^2-1)dt=1/8int2tlog^2(t^2-1)1/(t^2-1)*tdt$
Per parti:$f(t)=t => f^{\prime}(t)=1$,
$g^{\prime}(t)=2tlog^2(t^2-1)/(t^2-1)$ => $g(t)=int2tlog^2(t^2-1)/(t^2-1)dt=intlog^2(t^2-1)d(log(t^2-1))$
$I=f*g-intf^{\prime}*g$ $=>$ $I=t*1/3log^3(t^2-1)-1/3intlog^3(t^2-1)dt$
e ora?
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