Integrale impossibile (per me)
Calcolare
$inte^x(e^(2x)+x^2/e^x)sqrt(1+e^(-2x))dx$.
Fonte: www.dmi.unict.it/%7Eemmanuele/PDF/compi ... infAM1.pdf pag. 75 es. 3
$inte^x(e^(2x)+x^2/e^x)sqrt(1+e^(-2x))dx$.
Fonte: www.dmi.unict.it/%7Eemmanuele/PDF/compi ... infAM1.pdf pag. 75 es. 3
Risposte
Mi sa che c'è un altro errore 
Ecco un'altra modifica. Speriamo sia quella buona stavolta
Se,invece di modificare il messaggio, lo scrivessi ex novo sarebbe più semplice capire cosa hai modificato!
mi sto confondendo!!!
mi sto confondendo!!!
Credo che inoltre l'$1/2$ sia un $1/4$, e $t^2$ sia un $t$ 
Avete ragione. Datemi un po' di tempo che modifico l'integrale per parti e vi riscrivo il messaggio da capo.
Le cose si son complicate 
Nuntio vobis che i conti tornano. Più tardi ve li riscrivo sperando che stavolta non ci siano errori.
$inte^x(e^(2x)+x^2/e^x)*sqrt(1+e^(-2x))dx= int e^x*(e^(2x)+(x^2)/e^x)*sqrt(e^(2x)*+1) 1/e^x dx$=
=$int e^(2x)*sqrt(e^(2x)*+1))dx+int x^2/(e^x)*sqrt(e^(2x)*+1))dx$=
Il primo integrale è immediato se scritto così:
$1/2int2e^2x*(e^(2x)*+1)^(1/2)dx=1/2*2/3 *(e^(2x)*+1)*sqrt(e^(2x)*+1)+c$
Per quanto riguarda il secondo
$int x^2/e^x*sqrt(e^(2x)*+1)dx= $
Sostituendo $e^(2x)+1=t^2$; $e^(2x)=t^2-1$; $e^x=sqrt(t^2-1$; $x=logsqrt(t^(2)-1)=$; $dx=(t*dt)/(sqrt(t^(2)-1))$->
$=int(t*t*log^(2)sqrt(t^(2)-1))/(sqrt(t^(2)-1)*sqrt(t^(2)-1)) dt=$
$=1/2int(t*t*log^(2)(t^(2)-1))/(t^(2)-1)dt=1/4int (2t*log^(2)(t^(2)-1))/(t^(2)-1)*t*dt$
Lo svolgo per parti prendendo come fattore differenziale$(log^(2)(t^(2)-1)*2t)/(t^(2)-1)$ e prendo $t$ come fattore finito->
=$1/4t*log^(3)(t^(2)-1)-1/4intlog^(3)(t^(2)-1)dt=$
Posto $t^(2)-1=z, t^2=z+1; t=sqrt(z+1); dt=1/(2sqrt(z+1))dz$->
$=1/4t*log^(3)(z)-1/8int(log^(3)z)/sqrt(z-1)dz=$
Svolgo l'ultimo integrale per parti ponendo $1/sqrt(z-1)$come fattore differenziale e $log^(3)z$come fattore finito->
$=1/4t*log^(3)(z)-1/8[2sqrt(z-1)*log^(3)z-int 2sqrt(z-1)*3(log^(2)z)/z dz]=$
$=1/4t*log^(3)(z)-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z+3/4int sqrt(z-1)*(log^(2)z)/z dz=$
L'ultimo lo svolgo per parti ponendo $(log^(2)z)/z$come fattore differenziale e $sqrt(z-1)$come fattore finito->
$=1/4t*log^(3)(z)-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/6int (log^(3)z)/z dz=$
Abbiamo quindi che $-1/8int(log^(3)z)/sqrt(z-1)dz=-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/6int (log^(3)z)/z dz$
Portando a primo membro $-1/6int (log^(3)z)/z dz$ otteremo che
$1/24int (log^(3)z)/z dz=-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z$
Ditemi se fin qui va bene. Altrimenti stavolta ci rinuncio
=$int e^(2x)*sqrt(e^(2x)*+1))dx+int x^2/(e^x)*sqrt(e^(2x)*+1))dx$=
Il primo integrale è immediato se scritto così:
$1/2int2e^2x*(e^(2x)*+1)^(1/2)dx=1/2*2/3 *(e^(2x)*+1)*sqrt(e^(2x)*+1)+c$
Per quanto riguarda il secondo
$int x^2/e^x*sqrt(e^(2x)*+1)dx= $
Sostituendo $e^(2x)+1=t^2$; $e^(2x)=t^2-1$; $e^x=sqrt(t^2-1$; $x=logsqrt(t^(2)-1)=$; $dx=(t*dt)/(sqrt(t^(2)-1))$->
$=int(t*t*log^(2)sqrt(t^(2)-1))/(sqrt(t^(2)-1)*sqrt(t^(2)-1)) dt=$
$=1/2int(t*t*log^(2)(t^(2)-1))/(t^(2)-1)dt=1/4int (2t*log^(2)(t^(2)-1))/(t^(2)-1)*t*dt$
Lo svolgo per parti prendendo come fattore differenziale$(log^(2)(t^(2)-1)*2t)/(t^(2)-1)$ e prendo $t$ come fattore finito->
=$1/4t*log^(3)(t^(2)-1)-1/4intlog^(3)(t^(2)-1)dt=$
Posto $t^(2)-1=z, t^2=z+1; t=sqrt(z+1); dt=1/(2sqrt(z+1))dz$->
$=1/4t*log^(3)(z)-1/8int(log^(3)z)/sqrt(z-1)dz=$
Svolgo l'ultimo integrale per parti ponendo $1/sqrt(z-1)$come fattore differenziale e $log^(3)z$come fattore finito->
$=1/4t*log^(3)(z)-1/8[2sqrt(z-1)*log^(3)z-int 2sqrt(z-1)*3(log^(2)z)/z dz]=$
$=1/4t*log^(3)(z)-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z+3/4int sqrt(z-1)*(log^(2)z)/z dz=$
L'ultimo lo svolgo per parti ponendo $(log^(2)z)/z$come fattore differenziale e $sqrt(z-1)$come fattore finito->
$=1/4t*log^(3)(z)-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/6int (log^(3)z)/z dz=$
Abbiamo quindi che $-1/8int(log^(3)z)/sqrt(z-1)dz=-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/6int (log^(3)z)/z dz$
Portando a primo membro $-1/6int (log^(3)z)/z dz$ otteremo che
$1/24int (log^(3)z)/z dz=-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z-1/4sqrt(z-1)*log^(3)z$
Ditemi se fin qui va bene. Altrimenti stavolta ci rinuncio
Buon anno a tutti!
Quando poni $x=logsqrt(t^2-1)$ viene
$dx=t/(t^2-1)dt$.
Quando poni $x=logsqrt(t^2-1)$ viene
$dx=t/(t^2-1)dt$.
Si, ho commesso l'ennesimo errore
"Piera":
Buon anno a tutti!
Quando poni $x=logsqrt(t^2-1)$ viene
$dx=t/(t^2-1)dt$.
Alessandro, hai visto il tuo integrale quanti casini ha creato?ci ha fatti tornare tutti coi piedi per terra!ehehe
Eh no Enea, non ci siamo!!!!
L'avatar sul basket andava bene, quello di kaka proprio non lo sopporto!!!!
Non tifi Palermo o Catania?
L'avatar sul basket andava bene, quello di kaka proprio non lo sopporto!!!!
Non tifi Palermo o Catania?
Kakà è un grande!
Fai bene a tenerlo!
Fai bene a tenerlo!
La mia era solo una battuta...
A quanto pare questo integralone è impossibile non solo per Piera,ma anche per il resto dei forumisti!
"Piera":
La mia era solo una battuta...
Alla luce della partita col Manchester,caro alessandro,puoi solo inchinarti alla straordinaria classe di Kakà!
Kakà è un grande! Questo non si discute.
Diamo a Kakà il pallone d'oro e al Liverpool la Champion's.
A mio parere sarebbe un ottimo risultato, ci metterei la firma.
Diamo a Kakà il pallone d'oro e al Liverpool la Champion's.
A mio parere sarebbe un ottimo risultato, ci metterei la firma.
"Piera":
Kakà è un grande! Questo non si discute.
Diamo a Kakà il pallone d'oro e al Liverpool la Champion's.
A mio parere sarebbe un ottimo risultato, ci metterei la firma.
Già gliel'abbiamo regalata 2 anni fa....non vedo il motivo di un altro regalo....
secondo me voi siete pazzi a fa sti integrali ... me viè il mal di testa solo
a leggerli
@Piera
Hai scritto
Teorema: una funzione convessa è derivabile a meno di insiemi numerabili.
e che c'è questa dim sul tuo libro
Potresti postarla?
Scusa il dubbio, ma c'è un difficile teorema di Rademacher che dice che una
funzione convessa è derivabile quasi ovunque (che è una tesi più debole della
tua!) .. e sono allora curioso di leggere la "tua" dimostrazione.
a leggerli
@Piera
Hai scritto
Teorema: una funzione convessa è derivabile a meno di insiemi numerabili.
e che c'è questa dim sul tuo libro
Potresti postarla?
Scusa il dubbio, ma c'è un difficile teorema di Rademacher che dice che una
funzione convessa è derivabile quasi ovunque (che è una tesi più debole della
tua!) .. e sono allora curioso di leggere la "tua" dimostrazione.
Uber non è che Rademacher parlava di funzioni L^1 ???
cmq la verifica di quanto dice Piera mi pare si basi su questi fatti (f da R in R): 1) le funzioni convesse possiedono limite incrementale destro e sinistro; 2)il limite incrementale destro è maggiore o uguale a quello destro;
I punti di discontinuità della derivata individuano quindi degli intervalli disgiunti su R (ci si "segni" su una retta reale ad ogni punto di discontituità i limiti destro e sinistro) e questi non possono essere più che numerabili...
me la ricordo così...
cmq la verifica di quanto dice Piera mi pare si basi su questi fatti (f da R in R): 1) le funzioni convesse possiedono limite incrementale destro e sinistro; 2)il limite incrementale destro è maggiore o uguale a quello destro;
I punti di discontinuità della derivata individuano quindi degli intervalli disgiunti su R (ci si "segni" su una retta reale ad ogni punto di discontituità i limiti destro e sinistro) e questi non possono essere più che numerabili...
me la ricordo così...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo