Integrale con residuo
Salve a tutti ho questa funzione $f(z)=(e^z-1)/(zsinz)$ e devo calcolarne il residuo in $z_0=0$.
Allora io ho ragionato cosi: siccome $z_0$ è una singolarità della mia funzione allora considero il cerchio bucato di centro $z_0$ e raggio $r>0$ e parametrizzo in questo modo $z(t)=re^(jt)$ con $r>0, t in [0,2\pi]$. Ovviamente suppongo che l'intorno del mio punto sia contenuto nella corona circolare di centro $z_0$ e raggio $\rho>0$ arbitrario, cioè sia contenuto nella corona circolare della serie di Laurent della funzione nel punto. Il mio problema è risolvere questo integrale che non mi è mai capitato di affrontare:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/(re^(jt)sin(re^jt)) jre^(jt) dt$ dunque:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/sin(re^(jt)) dt$
P.S. vi supplico di non rispondermi che si risolve per sostituzione xD
Allora io ho ragionato cosi: siccome $z_0$ è una singolarità della mia funzione allora considero il cerchio bucato di centro $z_0$ e raggio $r>0$ e parametrizzo in questo modo $z(t)=re^(jt)$ con $r>0, t in [0,2\pi]$. Ovviamente suppongo che l'intorno del mio punto sia contenuto nella corona circolare di centro $z_0$ e raggio $\rho>0$ arbitrario, cioè sia contenuto nella corona circolare della serie di Laurent della funzione nel punto. Il mio problema è risolvere questo integrale che non mi è mai capitato di affrontare:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/(re^(jt)sin(re^jt)) jre^(jt) dt$ dunque:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/sin(re^(jt)) dt$
P.S. vi supplico di non rispondermi che si risolve per sostituzione xD
Risposte
ok ci provo e ti faccio sapere! 
No io ho detto che è zero doppio per $1-cosz$ perchè se fai lo sviluppo infatti la funzione risulta diversa da 0 nel punto alla sua derivata seconda
No io ho detto che è zero doppio per $1-cosz$ perchè se fai lo sviluppo infatti la funzione risulta diversa da 0 nel punto alla sua derivata seconda
Perchè allora hai messo il quadrato nella formula del limite?
Scusa ma allora non ho capito bene! l'indice $n$ ke appare nella definizione con il limite non è l'ordine degli zeri del denominatore? :S adesso sto andando in panico xD
Non ti confondere. L'ordine n ti dice di che ordine è il polo. Ricordi come ti ho enunciato il teorema? Il polo è di ordine n se e solo se ... (z-a)^n,
cioè se tu verifichi che per n=3 il limite è verificato allora il polo è di ordine 3, se fosse il limite verificato per n=117, allora il polo è di ordine 117. Chiaro no?
cioè se tu verifichi che per n=3 il limite è verificato allora il polo è di ordine 3, se fosse il limite verificato per n=117, allora il polo è di ordine 117. Chiaro no?
ok allora in questo caso avrei : $lim_(z -> 2k\pi) (z-2k\pi)^n(sinz)/(1-cosz)$
quindi?
P.S. dovrei studiarla per casi? Cioè calcolarla per $n=1,2,3,....$ e vedere cosa succede ??????
EDIT: ho notato che per $n=0$--> $lim_(z -> 2k\pi) (z-2k\pi)^0(sinz)/(1-cosz)=(z)/(z^2/2)=2/z->1/(k\pi)$ per $z->2k\pi$ con $k!=0$,
mentre per $n=1,2,3,...$ il limite tende a zero!
Quindi devo supporre che sia polo di ordine 0? o.O ? ke significa?
quindi?
P.S. dovrei studiarla per casi? Cioè calcolarla per $n=1,2,3,....$ e vedere cosa succede ??????
EDIT: ho notato che per $n=0$--> $lim_(z -> 2k\pi) (z-2k\pi)^0(sinz)/(1-cosz)=(z)/(z^2/2)=2/z->1/(k\pi)$ per $z->2k\pi$ con $k!=0$,
mentre per $n=1,2,3,...$ il limite tende a zero!
Quindi devo supporre che sia polo di ordine 0? o.O ? ke significa?
"paolotesla91":
EDIT: ho notato che per $n=0$--> $lim_(z -> 2k\pi) (z-2k\pi)^0(sinz)/(1-cosz)=(z)/(z^2/2)=2/z->1/(k\pi)$ per $z->2k\pi$ con $k!=0$,
mentre per $n=1,2,3,...$ il limite tende a zero!
Quindi devo supporre che sia polo di ordine 0? o.O ? ke significa?
Hai notato bene, ma purtroppo non ha senso parlare di polo di ordine 0.
"paolotesla91":
ok allora in questo caso avrei : $lim_(z -> 2k\pi) (z-2k\pi)^n(sinz)/(1-cosz)$
quindi?
P.S. dovrei studiarla per casi? Cioè calcolarla per $n=1,2,3,....$ e vedere cosa succede ??????
Intanto comincia a togliere la k, visto che sono singolarità periodiche. Basta che te ne studi una, per esempio z=0.
Se fai il limite, e a z metti l'indice 1, lo vedi subito a quanto tende il limite, senza bisogno di fare i casi n=2,3,...
Quindi puoi concludere che il polo è di ordine...
Giusto è un polo semplice! Scusa marshall ma ora nutro più dubbi di prima! Cioè io quando voglio verificare che un punto sia un polo ed uso questa definizione, devo controllare per quale valore di n il limite mi viene finito e diverso da zero! Giusto?
Quando poi trovo questo valore dell'indice n, il teorema mi garantisce che questo è l'ordine massimo del polo ke appare nella serie di Laurent della funzione?
Quando poi trovo questo valore dell'indice n, il teorema mi garantisce che questo è l'ordine massimo del polo ke appare nella serie di Laurent della funzione?
Si è esatto. Cioè ti dice di che ordine è il polo. Ripeto, polo di ordine 0 non vuol dire niente. Quindi non avere dei dubbi inutili. E comunque, più ne fai, più prendi l'occhio per vedere che tipo di singolarità sono. Mal che vada hai la strada dello sviluppo in serie di Laurent.
ok grazie ora è più chiaro
Salve ragazzi. Ho questa funzione: $f(z)=(e^z-1)/(z^2sinz)$ e devo calcolarne il residuo nel punto $z=0$.
So che il punto in questione è zero del terzo oridne per il denominatore. Più precisamente è un polo doppio per $f$.
Applico la seguente formula per il calcolo dei residui nei poli: $R[z_0]=N(A^(N-1)(z_0))/(B^N(z_0))$.
Tuttavia ottengo la quantità $2/0->infty$. Come faccio a risolvere il problema? Grazie a tutti
So che il punto in questione è zero del terzo oridne per il denominatore. Più precisamente è un polo doppio per $f$.
Applico la seguente formula per il calcolo dei residui nei poli: $R[z_0]=N(A^(N-1)(z_0))/(B^N(z_0))$.
Tuttavia ottengo la quantità $2/0->infty$. Come faccio a risolvere il problema? Grazie a tutti
In questi casi, dove usare il teorema con il limite, può risultare complicato ti consiglio vivamente di sviluppare in serie di Laurent. Hai già provato questa strada?
Ciao a tutti. Ho questa funzione $(e^z)/(z(z-2)^2)$ di cui devo calcolarne l'integrale mediante il metodo dei residui.
Io ho proceduto in questo modo: ho cercato le singolarità della funzione che sono $z=0$ e $z=2$. La prima con molteplicità 1, al seconda con molteplicità 2. Applico questo metodo:
$lim_(z -> 2) 1/((2-2)!) d^(2-2)/(dz^(2-2)) (f(z))$.
Il tutto mi viene $lim_(z -> 2) f(z)$ ma questo limite tende a $infty$. Il mio dubbio è: la formula che ho applicato è giusta? Se si, allora come faccio a risolvere quel limite?
EDIT: ho un altro dubbio: ho sbagliato nell'applicazione della formula? Ho il presentimento che dovrebbe essere $lim_(z -> 2) 1/((3-2)!) d^(3-2)/(dz^(3-2)) (f(z))$.
E' giusto?
Io ho proceduto in questo modo: ho cercato le singolarità della funzione che sono $z=0$ e $z=2$. La prima con molteplicità 1, al seconda con molteplicità 2. Applico questo metodo:
$lim_(z -> 2) 1/((2-2)!) d^(2-2)/(dz^(2-2)) (f(z))$.
Il tutto mi viene $lim_(z -> 2) f(z)$ ma questo limite tende a $infty$. Il mio dubbio è: la formula che ho applicato è giusta? Se si, allora come faccio a risolvere quel limite?
EDIT: ho un altro dubbio: ho sbagliato nell'applicazione della formula? Ho il presentimento che dovrebbe essere $lim_(z -> 2) 1/((3-2)!) d^(3-2)/(dz^(3-2)) (f(z))$.
E' giusto?
Che formula hai usato? Quella del calcolo dei residui per i poli di ordine n?
Si. Non è quella che devo applicare? 
Sbagli la formula. Se $m$ è l'ordine del polo $z_0$, la formula è:
$Res(f, z_0) = 1/((m-1)!) * lim_(z -> z_0) d^{m-1}/(d z^{m-1} ) (f(z) * (z - z_0)^m)$
Nel tuo caso: $Res(f, 2) = lim_(z -> 2) d/(d z ) (e^z/z)$
$Res(f, z_0) = 1/((m-1)!) * lim_(z -> z_0) d^{m-1}/(d z^{m-1} ) (f(z) * (z - z_0)^m)$
Nel tuo caso: $Res(f, 2) = lim_(z -> 2) d/(d z ) (e^z/z)$
"paolotesla91":
Salve ragazzi. Ho questa funzione: $f(z)=(e^z-1)/(z^2sinz)$ e devo calcolarne il residuo nel punto $z=0$.
So che il punto in questione è zero del terzo oridne per il denominatore. Più precisamente è un polo doppio per $f$.
Applico la seguente formula per il calcolo dei residui nei poli: $R[z_0]=N(A^(N-1)(z_0))/(B^N(z_0))$.
Tuttavia ottengo la quantità $2/0->infty$. Come faccio a risolvere il problema? Grazie a tutti
Questa formula non si può applicare!
Questo erroraccio deriva dal fatto che si legge troppo superficialmente (quando pure lo si fa...) la teoria prima di passare agli esercizi.
Hai letto bene le ipotesi in cui è lecito applicare il teorema?
Grazie mille a tutti. Si gugo hai ragione dovrò rivedermi un pò questa parte che non ho incamerato bene. Grazie mille Seneca. Sapreste spiegarmi anche i casi in cui vanno applicate le due formule?
"paolotesla91":
Sapreste spiegarmi anche i casi in cui vanno applicate le due formule?
Se riesci a capire come balzano fuori dalla teoria, allora ti dovrebbe risultare chiaro in che circostanze applicarle (mi riallaccio al discorso di gugo).
"paolotesla91":
Grazie mille a tutti. Si gugo hai ragione dovrò rivedermi un pò questa parte che non ho incamerato bene. Grazie mille Seneca. Sapreste spiegarmi anche i casi in cui vanno applicate le due formule?
Delle formule per il calcolo del residuo se n'era discusso qui: problema-con-residuo-per-poli-di-ordine-n-t93164.html
"gugo82":
[quote="paolotesla91"]Grazie mille a tutti. Si gugo hai ragione dovrò rivedermi un pò questa parte che non ho incamerato bene. Grazie mille Seneca. Sapreste spiegarmi anche i casi in cui vanno applicate le due formule?
Delle formule per il calcolo del residuo se n'era discusso qui: problema-con-residuo-per-poli-di-ordine-n-t93164.html[/quote]
Grazie mille gugo. Guarda caso è proprio il libro su cui sto studiando ed è prioprio lui il mio prof xD. Comunque grazie ancora.
Avrei solo un altra domanda da fare: dal posto mi hai linkato ho appreso che per poli di ordine $N$ bisogna calcolare i residui con quella formula, ma il mio libro da anche questa formula: $lim_(z -> z_0) 1/((N-n)!)d^(N-n)/(dz^(N-n))((z-z_0)^Nf(z))$.
Sul mio libro c'è scritto che questa è la formula generale per tutti coefficienti della parte singolare dello sviluppo di Laurent e dunque suppongo che l'indice $n$ si riferisca all'indice dello sviluppo di Laurent. Quello che non ho capito è come faccio a distinguere? Cioè negli esercizi come faccio a capire quale devo applicare?
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