Integrale con residuo
Salve a tutti ho questa funzione $f(z)=(e^z-1)/(zsinz)$ e devo calcolarne il residuo in $z_0=0$.
Allora io ho ragionato cosi: siccome $z_0$ è una singolarità della mia funzione allora considero il cerchio bucato di centro $z_0$ e raggio $r>0$ e parametrizzo in questo modo $z(t)=re^(jt)$ con $r>0, t in [0,2\pi]$. Ovviamente suppongo che l'intorno del mio punto sia contenuto nella corona circolare di centro $z_0$ e raggio $\rho>0$ arbitrario, cioè sia contenuto nella corona circolare della serie di Laurent della funzione nel punto. Il mio problema è risolvere questo integrale che non mi è mai capitato di affrontare:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/(re^(jt)sin(re^jt)) jre^(jt) dt$ dunque:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/sin(re^(jt)) dt$
P.S. vi supplico di non rispondermi che si risolve per sostituzione xD
Allora io ho ragionato cosi: siccome $z_0$ è una singolarità della mia funzione allora considero il cerchio bucato di centro $z_0$ e raggio $r>0$ e parametrizzo in questo modo $z(t)=re^(jt)$ con $r>0, t in [0,2\pi]$. Ovviamente suppongo che l'intorno del mio punto sia contenuto nella corona circolare di centro $z_0$ e raggio $\rho>0$ arbitrario, cioè sia contenuto nella corona circolare della serie di Laurent della funzione nel punto. Il mio problema è risolvere questo integrale che non mi è mai capitato di affrontare:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/(re^(jt)sin(re^jt)) jre^(jt) dt$ dunque:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/sin(re^(jt)) dt$
P.S. vi supplico di non rispondermi che si risolve per sostituzione xD
Risposte
aaahhhh capito! grazie mille si mi viene $e^2$ ke è finito e $!=0$! giusto.
Scusa marshall ma come vedo non hai letto l'altra parte del messaggio che modificato xD comunque ilmio problema è proprio questo, non so calcolare gli sviluppi di Laurent perchè il mio prof non ha proprio menzionato roba del genere, cioè ha sempre usato sviluppi di serie notevoli per risolvere questi sviluppi come ad esempio la serie geometrica ecc... Non voglio essere scocciante ma appena hai un po di tempo potresti spiegarmi come si calcolano? magari con questa stessa traccia! Grazie ancora almeno ora conosco un metodo per classificare una singolarità
Scusa marshall ma come vedo non hai letto l'altra parte del messaggio che modificato xD comunque ilmio problema è proprio questo, non so calcolare gli sviluppi di Laurent perchè il mio prof non ha proprio menzionato roba del genere, cioè ha sempre usato sviluppi di serie notevoli per risolvere questi sviluppi come ad esempio la serie geometrica ecc... Non voglio essere scocciante ma appena hai un po di tempo potresti spiegarmi come si calcolano? magari con questa stessa traccia! Grazie ancora almeno ora conosco un metodo per classificare una singolarità
Infatti gli sviluppi sono analoghi a quelli già noti (cambiano a volte gli intervalli dove spazia la variabile complessa). Basta prendere il tuo libro di matematica applicata e vedere quali sono gli sviluppi principali.
Prova a sviluppare tu stesso quella funzione.
Suggerimento:
Hai un esponenziale, dunque lo sviluppo lo conosci perfettamente.
Prova a sviluppare tu stesso quella funzione.
Suggerimento:
Hai un esponenziale, dunque lo sviluppo lo conosci perfettamente.
ok vediamo un pò se ci arrivo! In generale posso scrivere $e^z=sum_(n= 0)^(+infty)z^n(z-z_0)^n$ quindi per la funzione che mi hai dato ho $(e^(2z))/(z-1)^3=(sum_(n = 0)^(+infty)2z^n(z-1)^n)/(z-1)^3$ giusto fin qui?
Lo sviluppo non è quello ma questo:
$ e^t=sum_(k = 0)^(+oo )t^k/(k!) $
$ e^t=sum_(k = 0)^(+oo )t^k/(k!) $
ah si ok! ho sbagliato la formula della serie xD! ma che fine ha fatto la quantità $(z-1)$?
Ho sviluppato solo l'esponenziale. Faccio tutti i passaggi così risparmiamo tempo:
Poniamo $ t=z-1 -> f(t)=e^(2(t+1))/t^3=e^2/t^3e^(2t)=e^2/t^3sum_(k = 0)^(+oo )(2t)^k/(k!) $
Ora prova a scrivere i primi termini della serie e vedi che succede
Poniamo $ t=z-1 -> f(t)=e^(2(t+1))/t^3=e^2/t^3e^(2t)=e^2/t^3sum_(k = 0)^(+oo )(2t)^k/(k!) $
Ora prova a scrivere i primi termini della serie e vedi che succede
ahhh okok! allora mi viene: $e^2/t^3+2e^2/t^2+4e^2/(2t)+....$
Perfetto! Hai scritto la parte principale, e dalla definizione avevamo detto che una singolarità è un polo se i termini della parte principale sono finiti. Precisamente si aveva un polo di ordine n se i termini in cui a era una singolarità erano un numero pari ad n.
Mi pare che anche con questa strada abbiamo ottenuto la stessa cosa, cioè la singolarità t=0 è un polo triplo (essendoci tre termini) e dunque z=1 è un polo triplo.
Mi pare che anche con questa strada abbiamo ottenuto la stessa cosa, cioè la singolarità t=0 è un polo triplo (essendoci tre termini) e dunque z=1 è un polo triplo.
ok grazie milel marshall 
! ora vedo di fare qualche esercizio in più cosi prendo confidenza grazie ancora 
! ora vedo di fare qualche esercizio in più cosi prendo confidenza grazie ancora
Ciao marshall ho provato a fare qualche esercizio ed ho trovato una difficoltà. Posto l'esercizio poi quando hai un po di tempo ti prego di dargli un occhiata! Grazie in anticipo.
ESERCIZIO: allora ho questa funzione $f(z)=(exp(z^2))/z^3$ e mi chiede di scrivere la serie di Laurent nel punto $z_0=0$. Ho Verificato che $z=0$ sia polo per la funzione ed infatti lo è perchè ho che: $lim_(z -> 0) f(z)=infty$. Fin qui tutto ok.
Allora ho proceduto cosi: ho scritto $f(z)=(e^(z^2))/z^3$ ed ho sviluppato. So che $e^(z^2)=sum_(k = 0)^(+infty)(z^(2k))/(k!)$
allora ho posto $z=t$ ed ottengo $f(t)=(e^(t^2))/t^3$ quidni in serie $f(t)=1/t^2+1/t+t+t^3/6+....$ da ciò ho che il punto $z=0$ è polo di ordine 2 giusto?
Ho provato a fare una verifica applicando il limite che tu mi hai scritto ma non riesco a capire se ho lo stesso risultato oppure no, apparentemente sembra di no perchè mi viene: $lim_(z -> 0) z^nf(z)=e^(z^2)z^(n-3)->0$ per $z->0$. Potresti per favore aiutarmi?
Grazie in anticipo.ESERCIZIO: allora ho questa funzione $f(z)=(exp(z^2))/z^3$ e mi chiede di scrivere la serie di Laurent nel punto $z_0=0$. Ho Verificato che $z=0$ sia polo per la funzione ed infatti lo è perchè ho che: $lim_(z -> 0) f(z)=infty$. Fin qui tutto ok.
Allora ho proceduto cosi: ho scritto $f(z)=(e^(z^2))/z^3$ ed ho sviluppato. So che $e^(z^2)=sum_(k = 0)^(+infty)(z^(2k))/(k!)$
allora ho posto $z=t$ ed ottengo $f(t)=(e^(t^2))/t^3$ quidni in serie $f(t)=1/t^2+1/t+t+t^3/6+....$ da ciò ho che il punto $z=0$ è polo di ordine 2 giusto?
Ho provato a fare una verifica applicando il limite che tu mi hai scritto ma non riesco a capire se ho lo stesso risultato oppure no, apparentemente sembra di no perchè mi viene: $lim_(z -> 0) z^nf(z)=e^(z^2)z^(n-3)->0$ per $z->0$. Potresti per favore aiutarmi?
"paolotesla91":
Ho provato a fare una verifica applicando il limite che tu mi hai scritto ma non riesco a capire se ho lo stesso risultato oppure no, apparentemente sembra di no perchè mi viene: $lim_(z -> 0) z^nf(z)=e^(z^2)z^(n-3)->0$ per $z->0$. Potresti per favore aiutarmi?
Guarda, non so come hai svolto il limite ma se lo rifai, per n=3, viene 1.
"paolotesla91":
ESERCIZIO: allora ho questa funzione $f(z)=(exp(z^2))/z^3$ e mi chiede di scrivere la serie di Laurent nel punto $z_0=0$. Ho Verificato che $z=0$ sia polo per la funzione ed infatti lo è perchè ho che: $lim_(z -> 0) f(z)=infty$. Fin qui tutto ok.
Allora ho proceduto cosi: ho scritto $f(z)=(e^(z^2))/z^3$ ed ho sviluppato. So che $e^(z^2)=sum_(k = 0)^(+infty)(z^(2k))/(k!)$
allora ho posto $z=t$ ed ottengo $f(t)=(e^(t^2))/t^3$ quidni in serie $f(t)=1/t^2+1/t+t+t^3/6+....$ da ciò ho che il punto $z=0$ è polo di ordine 2 giusto?
Hai sbagliato lo sviluppo, infatti se scrivi i primi tre termini (e sto anche abbondando) la funzione diventa:
$ 1/z^3+1/z+z+... $
e infatti, in accordo con quello che otteniamo con il limite, il polo è triplo, poichè il termine maggiore è di ordine 3.
Infatti, nel post dove ti ho scritto come facevi a riconoscere i poli, ho dimenticato il caso, simile a questo, dove mancano un paio di termini (in questo caso manca il termine $ 1/z^2 $ ).
Comunque conta l'indice massimo che ti da problemi (non so se sono stato chiaro).
Mi scuso se ti ho fatto confondere, ma avevo completamente dimenticato questa eventualità.
mmmmm...ok mi sa che ho capito ora! Scusa marshall potresti postare lo sviluppo che hai fatto tu? non capisco dove sia l'errore! :S Comunque per ili limite l'ho svolto mandando $z->=$ ed ho dimenticato di porre $n=3$ scusami. Tranquillo capitano certe cose .
P.S. Dall'esercizio di prima ed anche da quest'ultimo ho notato che in entrambi i casi l'ordine del polo coincide con l'ordine dello zero al denominatore. Questa è una coinicdenza oppure vale in generale?
.P.S. Dall'esercizio di prima ed anche da quest'ultimo ho notato che in entrambi i casi l'ordine del polo coincide con l'ordine dello zero al denominatore. Questa è una coinicdenza oppure vale in generale?
$ f(z)=e^(z^2)/z^3=1/z^3sum_(k = 0)^(+oo )z^(2k)/(k!)=1/z^3[1+z^2+z^4+...]=1/z^3+1/z+... $
ops! hai ragione scusami ho sbagliato a calcolare il primo termine okok grazie per quanto riguarda il resto?
per quanto riguarda il resto?
No, infatti se rileggi il primo post di stamattina che ho fatto, ho cercato di dirti proprio questo fatto!
Si marshall ho capito che per riconoscerlo devo tener conto del termine di grado massimo ed è ovvio in quanto la funzione scritta in serie si trasforma in un polinomio, ma non ho capito comunque se è una coincidenza oppure no!
No, non è un caso che l'ordine del polo coincide con la molteplicità della singolarità al denominatore.
ah ok quindi questo vale in generale
scusa marshall ma ho ancora un problema nell'applicare il procedimento che im hai spiegato con questa funzione:
$f(z)=(sinz)/(1-cosz)$
infatti ho che: $sinz=0 <=> z=2k\pi$ e $1-cosz=0 <=> cosz=1 <=> z=2k\pi$ quindi ho che il punto $z=2k\pi$ è zero semplice per $sinz$ ed è doppio per $1-cosz$. Voglio vedere se è un polo, applico il limite ed ho:
$lim_(z -> 2k\pi) (z-2k\pi)^2(sinz)/(1-cosz)$
che ho provato a svolgere ma non ottengo un risultato finito e $!=0$. Come faccio?
$f(z)=(sinz)/(1-cosz)$
infatti ho che: $sinz=0 <=> z=2k\pi$ e $1-cosz=0 <=> cosz=1 <=> z=2k\pi$ quindi ho che il punto $z=2k\pi$ è zero semplice per $sinz$ ed è doppio per $1-cosz$. Voglio vedere se è un polo, applico il limite ed ho:
$lim_(z -> 2k\pi) (z-2k\pi)^2(sinz)/(1-cosz)$
che ho provato a svolgere ma non ottengo un risultato finito e $!=0$. Come faccio?
Direi che potresti sviluppare in serie di laurent numeratore e denominatore.
Detto questo credo che se usi le approssimazioni asintotiche quel limite lo puoi fare.
PS
Non ho capito perchè dovrebbe essere una singolarità doppia per il coseno. Spiegati meglio.
Detto questo credo che se usi le approssimazioni asintotiche quel limite lo puoi fare.
PS
Non ho capito perchè dovrebbe essere una singolarità doppia per il coseno. Spiegati meglio.
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