Integrale con residuo
Salve a tutti ho questa funzione $f(z)=(e^z-1)/(zsinz)$ e devo calcolarne il residuo in $z_0=0$.
Allora io ho ragionato cosi: siccome $z_0$ è una singolarità della mia funzione allora considero il cerchio bucato di centro $z_0$ e raggio $r>0$ e parametrizzo in questo modo $z(t)=re^(jt)$ con $r>0, t in [0,2\pi]$. Ovviamente suppongo che l'intorno del mio punto sia contenuto nella corona circolare di centro $z_0$ e raggio $\rho>0$ arbitrario, cioè sia contenuto nella corona circolare della serie di Laurent della funzione nel punto. Il mio problema è risolvere questo integrale che non mi è mai capitato di affrontare:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/(re^(jt)sin(re^jt)) jre^(jt) dt$ dunque:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/sin(re^(jt)) dt$
P.S. vi supplico di non rispondermi che si risolve per sostituzione xD
Allora io ho ragionato cosi: siccome $z_0$ è una singolarità della mia funzione allora considero il cerchio bucato di centro $z_0$ e raggio $r>0$ e parametrizzo in questo modo $z(t)=re^(jt)$ con $r>0, t in [0,2\pi]$. Ovviamente suppongo che l'intorno del mio punto sia contenuto nella corona circolare di centro $z_0$ e raggio $\rho>0$ arbitrario, cioè sia contenuto nella corona circolare della serie di Laurent della funzione nel punto. Il mio problema è risolvere questo integrale che non mi è mai capitato di affrontare:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/(re^(jt)sin(re^jt)) jre^(jt) dt$ dunque:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/sin(re^(jt)) dt$
P.S. vi supplico di non rispondermi che si risolve per sostituzione xD
Risposte
Si tratta di un polo di ordine $[1]$. Infatti:
$lim_(z->z_0)[(z-z_0)*f(z)]=lim_(z->0)[z*(e^z-1)/(zsinz)]=lim_(z->0)[(e^z-1)/sinz]=1$
Per il calcolo del residuo, devi semplicemente applicare la seguente formula:
$Res[f(z),z_0]=Res[(e^z-1)/(zsinz),0]=lim_(z->0)[z*(e^z-1)/(zsinz)]=lim_(z->0)[(e^z-1)/sinz]=1$
$lim_(z->z_0)[(z-z_0)*f(z)]=lim_(z->0)[z*(e^z-1)/(zsinz)]=lim_(z->0)[(e^z-1)/sinz]=1$
Per il calcolo del residuo, devi semplicemente applicare la seguente formula:
$Res[f(z),z_0]=Res[(e^z-1)/(zsinz),0]=lim_(z->0)[z*(e^z-1)/(zsinz)]=lim_(z->0)[(e^z-1)/sinz]=1$
Ciao speculor! Grazie per aver risposto 
. Ho capito solo la prima parte del messaggio, cioè perchè quel limite fa 1? Ho capito che ti riferisci ad un limite notevole ma non capisco come ti riconduca a $(e^x-1)/x=1$ per $x->0$, potresti spiegarti meglio?
. Ho capito solo la prima parte del messaggio, cioè perchè quel limite fa 1? Ho capito che ti riferisci ad un limite notevole ma non capisco come ti riconduca a $(e^x-1)/x=1$ per $x->0$, potresti spiegarti meglio?
Basta sviluppare in serie:
$lim_(z->0)[(e^z-1)/sinz]=lim_(z->0)[(1+z+o(z)-1)/(z+o(z))]=lim_(z->0)[(z+o(z))/(z+o(z))]=lim_(z->0)[(z(1+o(1)))/(z(1+o(1)))]=lim_(z->0)[(1+o(1))/(1+o(1))]=1$
$lim_(z->0)[(e^z-1)/sinz]=lim_(z->0)[(1+z+o(z)-1)/(z+o(z))]=lim_(z->0)[(z+o(z))/(z+o(z))]=lim_(z->0)[(z(1+o(1)))/(z(1+o(1)))]=lim_(z->0)[(1+o(1))/(1+o(1))]=1$
si ma come faccio a dire che k l integrale del residuo e uguale al limite? ce qualche teorema che me lo assicura?
Io non ho capito perchè devi calcolarti l'integrale. Basta che applichi il limite e il teorema che lega poli semplici con i residui. Il testo di chiede solo di trovare il residuo in z=0
ah quindi c'è un teorema! ok grazie mille me lo vado a guardare
Ragazzi ho un altro problema. Non riesco a distinguere le singolarità essenziali dai poli. Mi spiego meglio, ho questo esercizio:
$f(z)=1/(z^2+1)^2$.
Le singolarità della $f$ sono i punti in cui tale funzione non esiste e fin qui ci sono, ciò significa che vanno ricercate tra gli zeri del denominatore ed io ho che $z=+-j$ è zero doppio del denominatore. Allora siccome lo zero è di ordine 2 posso concludere che il polo è un polo doppio per $f$? Come faccio a dire che è un polo? Inoltre se cosi fosse questo vale in generale?
P.S. gli zeri di una funzione analitica si determinano a partire dallo sviluppo in serie di Taylor della funzione intorno a $z_0$ ma l'ordine dello zero si determina SOLO dall'ordine della derivata? Cioè, lo sviluppo del coseno in $z_0=0$ è $cosz=1-z^2/2+z^4/24+....$ allora il punto $z_0=0$ è zero di ordine 2 dato che la derivata seconda risulta $!=0$ oppure di ordine 1 perchè il coseno a 0 vale 1?
$f(z)=1/(z^2+1)^2$.
Le singolarità della $f$ sono i punti in cui tale funzione non esiste e fin qui ci sono, ciò significa che vanno ricercate tra gli zeri del denominatore ed io ho che $z=+-j$ è zero doppio del denominatore. Allora siccome lo zero è di ordine 2 posso concludere che il polo è un polo doppio per $f$? Come faccio a dire che è un polo? Inoltre se cosi fosse questo vale in generale?
P.S. gli zeri di una funzione analitica si determinano a partire dallo sviluppo in serie di Taylor della funzione intorno a $z_0$ ma l'ordine dello zero si determina SOLO dall'ordine della derivata? Cioè, lo sviluppo del coseno in $z_0=0$ è $cosz=1-z^2/2+z^4/24+....$ allora il punto $z_0=0$ è zero di ordine 2 dato che la derivata seconda risulta $!=0$ oppure di ordine 1 perchè il coseno a 0 vale 1?
Sto studiando anche io questa materia, e quindi provo ad aiutarti.
Come saprai esistono 3 tipi di singolarità isolate:
-Poli di ordine n
-Singolarità eliminabili
-Singolarità essenziali
Inoltre saprai che le singolarità si cercano nella parte principale della serie data dal teorema di Laurent.
In base a come si presenta la parte principale della serie, siamo in grado di capire che tipo di singolarità abbiamo di fronte, dunque:
-Dicesi polo di ordine n, se la parte principale della serie di Laurent è di ordine n (cioè è costituita da un numero finito di termini). Comunque guarda il libro per regolarti meglio perchè non riesco a scrivere la formula per intero.
-Singolarità eliminabile, lo saprai.
-Se la parte principale è costituita da infiniti termini allora la singolarità la diremo singolarità essenziale
Per quanto riguarda l'altra cosa che hai scritto non credo di aver capito quale sia il problema. Potresti spiegarti meglio?
Come saprai esistono 3 tipi di singolarità isolate:
-Poli di ordine n
-Singolarità eliminabili
-Singolarità essenziali
Inoltre saprai che le singolarità si cercano nella parte principale della serie data dal teorema di Laurent.
In base a come si presenta la parte principale della serie, siamo in grado di capire che tipo di singolarità abbiamo di fronte, dunque:
-Dicesi polo di ordine n, se la parte principale della serie di Laurent è di ordine n (cioè è costituita da un numero finito di termini). Comunque guarda il libro per regolarti meglio perchè non riesco a scrivere la formula per intero.
-Singolarità eliminabile, lo saprai.
-Se la parte principale è costituita da infiniti termini allora la singolarità la diremo singolarità essenziale
Per quanto riguarda l'altra cosa che hai scritto non credo di aver capito quale sia il problema. Potresti spiegarti meglio?
ciao marshall grazie per aver risposto. Allora ho capito cosa intendi ma non ho ben capito qual'è la parte principale della serie. Conosco la serie di Laurent ma non ho cpaito come devo procedere per determinare la singolarità. Potresti farmi un esempio? Per la seconda cosa volevo sapere se per determinare l'ordine dello zero del coseno devo considerare anche il primo termine dello sviluppo. Cioè la funzione coseno ha in $z=0$ zero di ordine uno oppure 2?
La serie di Laurent è una serie bilatera. Dunque è del tipo:
$ sum_(k = -oo )^( +oo )c_k(z-z_0)^k=sum_(k = -oo )^(-1)c_k(z-z_0)^k+sum_(k = 0)^(+oo )c_k(z-z_0)^k $
La prima parte (quella con i k negativi) è la parte principale, mentre la seconda è la parte analitica.
Se ci fai caso, nella parte principale, essendo $ k<0 $ hai che la quantità $ (z-z_0)^k $ si trova al denominatore e ti da dunque problemi. Quindi proprio in questa parte della serie di partenza vanno cercate le singolarità.
Per quel che riguarda la seconda questione, credo che tu debba svilupparti di volta in volta la funzione e stabilire di che tipo di singolarità si tratta, in base a quello che ti ho scritto nel post precedente.
$ sum_(k = -oo )^( +oo )c_k(z-z_0)^k=sum_(k = -oo )^(-1)c_k(z-z_0)^k+sum_(k = 0)^(+oo )c_k(z-z_0)^k $
La prima parte (quella con i k negativi) è la parte principale, mentre la seconda è la parte analitica.
Se ci fai caso, nella parte principale, essendo $ k<0 $ hai che la quantità $ (z-z_0)^k $ si trova al denominatore e ti da dunque problemi. Quindi proprio in questa parte della serie di partenza vanno cercate le singolarità.
Per quel che riguarda la seconda questione, credo che tu debba svilupparti di volta in volta la funzione e stabilire di che tipo di singolarità si tratta, in base a quello che ti ho scritto nel post precedente.
ok grazie ora ho capito cosa intendi ma per determinare la singolarità non dovrei calcolare i relativi coefficienti $c_k$ come faccio?
Per definizione un punto $z_0$ è un polo per $f$ se per qualche $n in NN$ $c_(-n)!=0$ cioè non tutti i coefficienti della parte principale sono nulli. Come faccio vedere fino a quale ordine questi non sono nulli? Ho provato a calcolarli esplicitamente con la definizione, cioè con l'integrale ma viene fuori un casino xD
Per definizione un punto $z_0$ è un polo per $f$ se per qualche $n in NN$ $c_(-n)!=0$ cioè non tutti i coefficienti della parte principale sono nulli. Come faccio vedere fino a quale ordine questi non sono nulli? Ho provato a calcolarli esplicitamente con la definizione, cioè con l'integrale ma viene fuori un casino xD
Esistono fondamentalmente due strade:
1-Applicare un teorema dove devi calcolare un limite opportuno (mi secco a scriverlo perchè si trova in tutti i libri di matematica applicata). Il teorema ti da una condizione necessaria e sufficiente affinchè il punto in questione sia un polo.
2-Sviluppare la funzione in Serie di Laurent e analizzare parte principale e parte analitica.
Ora ho da fare, ma se prendi qualche esercizio prometto di aiutarti, così mi alleno anche io
1-Applicare un teorema dove devi calcolare un limite opportuno (mi secco a scriverlo perchè si trova in tutti i libri di matematica applicata). Il teorema ti da una condizione necessaria e sufficiente affinchè il punto in questione sia un polo.
2-Sviluppare la funzione in Serie di Laurent e analizzare parte principale e parte analitica.
Ora ho da fare, ma se prendi qualche esercizio prometto di aiutarti, così mi alleno anche io
ok ora vedo un pò questo teorema anche se ho studiato tutta la parte delle singolarità e non l'ho visto :S grazie mille
P.S. intendi dire questo limite: $lim_(z -> z_0) |f(z)|=infty$ ?
P.S. intendi dire questo limite: $lim_(z -> z_0) |f(z)|=infty$ ?
Te lo scrivo io così ti risparmio tempo:
1- $ z=a $ è un polo di ordine n se e solo se
$ EE lim_(z -> a) (z-a)^nf(z)=linC, l!=0 $
2-Prova a fare il seguente esercizio sviluppando la funzione in serie di Laurent e prova a classificare la singolarità $ z=1 $ :
$ f(z)=e^(2z)/(z-1)^3 $
1- $ z=a $ è un polo di ordine n se e solo se
$ EE lim_(z -> a) (z-a)^nf(z)=linC, l!=0 $
2-Prova a fare il seguente esercizio sviluppando la funzione in serie di Laurent e prova a classificare la singolarità $ z=1 $ :
$ f(z)=e^(2z)/(z-1)^3 $
allora lo sviluppo sarebbe questo : $sum_(n = -infty)^( -3)e^(2z)(z-1)^(-n)$ e siccome il coefficiente $e^(2z)$ non si annulla mai deduco che questa è una singolarità essenziale giusto?
P.S. ho capito di quale teorema parli, me lo sono riguardato un pò ed ho concluso che una volta verificato che il limite sia $infty$ per determinare l'ordine del polo devo considerare la funzione $g(z)=1/(f(z))$ e studiare gli zeri di quest'ultima è giusto?
P.S. ho capito di quale teorema parli, me lo sono riguardato un pò ed ho concluso che una volta verificato che il limite sia $infty$ per determinare l'ordine del polo devo considerare la funzione $g(z)=1/(f(z))$ e studiare gli zeri di quest'ultima è giusto?
"paolotesla91":
allora lo sviluppo sarebbe questo : $sum_(n = -infty)^( -3)e^(2z)(z-1)^(-n)$ e siccome il coefficiente $e^(2z)$ non si annulla mai deduco che questa è una singolarità essenziale giusto?
No. Ti ho detto che devi sviluppare in serie di Laurent o applicare il limite che ti ho detto. Fai entrambe le cose e vedi se ottieni lo stesso risultato.
"paolotesla91":
P.S. ho capito di quale teorema parli, me lo sono riguardato un pò ed ho concluso che una volta verificato che il limite sia $infty$ per determinare l'ordine del polo devo considerare la funzione $g(z)=1/(f(z))$ e studiare gli zeri di quest'ultima è giusto?
No, concludi che non puoi applicare quel limite (poichè deve venirti un numero), e quindi non è sicuramente un polo la singolarità!
ok ma per applicare quel limite mi serve sapere l'ordine $n$ che non conosco! Oppure devo sostituire ad $n$ l'ordine dello zero? :S
Cioè io ottengo $lim_(z -> 1) e^(2z)(z-1)^(n-3)$ e questo tende a 0 per $z->1$.
P.S. ti chiedo scusa marshall ma non ho mai sviluppato in serie di Laurent, il mio prof ha detto che questa parte non è importante per ciò che c'è nell'esame ma, se io non capisco come classificare le singolarità purtroppo ho problemi a calcolare i residui degli integrali xD. Uffaaaa ke situazione di .....
Cioè io ottengo $lim_(z -> 1) e^(2z)(z-1)^(n-3)$ e questo tende a 0 per $z->1$.
P.S. ti chiedo scusa marshall ma non ho mai sviluppato in serie di Laurent, il mio prof ha detto che questa parte non è importante per ciò che c'è nell'esame ma, se io non capisco come classificare le singolarità purtroppo ho problemi a calcolare i residui degli integrali xD. Uffaaaa ke situazione di .....
"paolotesla91":
Oppure devo sostituire ad $n$ l'ordine dello zero? :S
L'idea è quella, infatti se poni $ n=3 $ direi che stabilisci subito di che ordine sia il polo.
ah...quidni in sostanza ho che per $n=3 => (z-1)^0=1$ o.O
Si, e calcolando il limite ti viene un numero. Dunque z=1 è un polo triplo.
Ora prova a farlo con lo sviluppo in serie di Laurent e dovresti ottenere la stessa cosa.
Ora prova a farlo con lo sviluppo in serie di Laurent e dovresti ottenere la stessa cosa.
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