Integrale con residuo
Salve a tutti ho questa funzione $f(z)=(e^z-1)/(zsinz)$ e devo calcolarne il residuo in $z_0=0$.
Allora io ho ragionato cosi: siccome $z_0$ è una singolarità della mia funzione allora considero il cerchio bucato di centro $z_0$ e raggio $r>0$ e parametrizzo in questo modo $z(t)=re^(jt)$ con $r>0, t in [0,2\pi]$. Ovviamente suppongo che l'intorno del mio punto sia contenuto nella corona circolare di centro $z_0$ e raggio $\rho>0$ arbitrario, cioè sia contenuto nella corona circolare della serie di Laurent della funzione nel punto. Il mio problema è risolvere questo integrale che non mi è mai capitato di affrontare:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/(re^(jt)sin(re^jt)) jre^(jt) dt$ dunque:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/sin(re^(jt)) dt$
P.S. vi supplico di non rispondermi che si risolve per sostituzione xD
Allora io ho ragionato cosi: siccome $z_0$ è una singolarità della mia funzione allora considero il cerchio bucato di centro $z_0$ e raggio $r>0$ e parametrizzo in questo modo $z(t)=re^(jt)$ con $r>0, t in [0,2\pi]$. Ovviamente suppongo che l'intorno del mio punto sia contenuto nella corona circolare di centro $z_0$ e raggio $\rho>0$ arbitrario, cioè sia contenuto nella corona circolare della serie di Laurent della funzione nel punto. Il mio problema è risolvere questo integrale che non mi è mai capitato di affrontare:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/(re^(jt)sin(re^jt)) jre^(jt) dt$ dunque:
$int_(0)^(2\pi) (e^(re^(jt))-1)/sin(re^(jt)) dt$
P.S. vi supplico di non rispondermi che si risolve per sostituzione xD
Risposte
Qui si vede che non hai proprio studiato la teoria prima di metter mano agli esercizi.
Questo è un errore grave, perché in tal caso è del tutto naturale non riuscire a capire a cosa servono le varie formule ed avere difficoltà nell'applicarle.
Il mio consiglio, quindi, è di recuperare al più presto a questa grave mancanza, almeno dando una lettura veloce al testo (i.e., non soffermandoti troppo sulle dimostrazioni ma concentrandoti sulle definizioni e sul contenuto degli enunciati).
Ad ogni modo, se avessi studiato la teoria, sapresti che il residuo di una funzione \(f\) in una singolarità isolata \(z_0\) altro non è che il coefficiente della potenza \((z-z_0)^{-1}\) nello sviluppo di \(f\) in serie di Laurent con centro in \(z_0\).
Pertanto la formula generale per il calcolo del residuo nel caso in cui \(z_0\) sia un polo d'ordine \(N\) (formula che è inapplicabile se \(z_0\) è una singolarità essenziale) si ottiene da quella per il calcolo dei coefficienti negativi di Laurent ponendo \(n=1\):
\[
\operatorname{Res}(f;z_0) := \lim_{z\to z_0} \frac{1}{(N-1)!}\ \frac{\text{d}^{N-1}}{\text{d} z^{N-1}} \left[ (z-z_0)^N\ f(z)\right]\; .
\]
P.S.: La formula che citi per il calcolo dei coefficienti negativi di Laurent non riesco a trovarla sulle dispense del prof. Greco. Saresti tanto gentile da indicarmi la pagina e/o il numero della formula?
Questo è un errore grave, perché in tal caso è del tutto naturale non riuscire a capire a cosa servono le varie formule ed avere difficoltà nell'applicarle.
Il mio consiglio, quindi, è di recuperare al più presto a questa grave mancanza, almeno dando una lettura veloce al testo (i.e., non soffermandoti troppo sulle dimostrazioni ma concentrandoti sulle definizioni e sul contenuto degli enunciati).
Ad ogni modo, se avessi studiato la teoria, sapresti che il residuo di una funzione \(f\) in una singolarità isolata \(z_0\) altro non è che il coefficiente della potenza \((z-z_0)^{-1}\) nello sviluppo di \(f\) in serie di Laurent con centro in \(z_0\).
Pertanto la formula generale per il calcolo del residuo nel caso in cui \(z_0\) sia un polo d'ordine \(N\) (formula che è inapplicabile se \(z_0\) è una singolarità essenziale) si ottiene da quella per il calcolo dei coefficienti negativi di Laurent ponendo \(n=1\):
\[
\operatorname{Res}(f;z_0) := \lim_{z\to z_0} \frac{1}{(N-1)!}\ \frac{\text{d}^{N-1}}{\text{d} z^{N-1}} \left[ (z-z_0)^N\ f(z)\right]\; .
\]
P.S.: La formula che citi per il calcolo dei coefficienti negativi di Laurent non riesco a trovarla sulle dispense del prof. Greco. Saresti tanto gentile da indicarmi la pagina e/o il numero della formula?
Ok gugo. Purtroppo sto andando un pò veloce perchè vorrei riuscire a fare almeno qualche esercizio del compito. Comunque ora credo che ritornerò indietro e rivedrò un pò questa parte della teoria. La formula che ho scritto si trova a pagina 74 ed è la (2.8). Se non la trovi credo sia normale perchè pare che ci siano più edizioni dello stesso testo nel corso degli anni. Comunque grazie ancora per l'aiuto. 
EDIT: gugo ho fatto come mi dici e credo di aver capito. Ora però mi sorge un dubbio: se io ho una funzione del tipo $f(z)=(P(z))/(Q(z))$ e supponiamo che $Q(z)$ abbia in $z_0$ polo di ordine $n>=2$, se io scompongo la mia funzione in fratti semplici ad esempio $(P(z))/(Q(z))= (A_1)/(z-z_0)+(A_2)/(z-z_0)^2$, per calcolare i coefficienti con il metodo dei residui allora dovrò applicare quella formula che ti ho scritto?
Grazie ancora.
EDIT: gugo ho fatto come mi dici e credo di aver capito. Ora però mi sorge un dubbio: se io ho una funzione del tipo $f(z)=(P(z))/(Q(z))$ e supponiamo che $Q(z)$ abbia in $z_0$ polo di ordine $n>=2$, se io scompongo la mia funzione in fratti semplici ad esempio $(P(z))/(Q(z))= (A_1)/(z-z_0)+(A_2)/(z-z_0)^2$, per calcolare i coefficienti con il metodo dei residui allora dovrò applicare quella formula che ti ho scritto?
Grazie ancora.
In quel caso il residuo ce l'avresti già sotto il naso...
Ciò giustifica il fatto di non conoscere nemmeno le definizioni?
Non mi stancherò mai di dirlo: non ha alcun senso studiare la teoria dopo.
La teoria va studiata (o, comunque, almeno letta con una certa attenzione) prima di affrontare gli esercizi.
Vero.
Al momento faccio riferimento alla versione presente nella cartella Migrazione sotto Metodi 11/12.
"paolotesla91":
Purtroppo sto andando un pò veloce perchè vorrei riuscire a fare almeno qualche esercizio del compito.
Ciò giustifica il fatto di non conoscere nemmeno le definizioni?
"paolotesla91":
Comunque ora credo che ritornerò indietro e rivedrò un pò questa parte della teoria.
Non mi stancherò mai di dirlo: non ha alcun senso studiare la teoria dopo.
La teoria va studiata (o, comunque, almeno letta con una certa attenzione) prima di affrontare gli esercizi.
"paolotesla91":
La formula che ho scritto si trova a pagina 74 ed è la (2.8). Se non la trovi credo sia normale perchè pare che ci siano più edizioni dello stesso testo nel corso degli anni. Comunque grazie ancora per l'aiuto.
Vero.
Al momento faccio riferimento alla versione presente nella cartella Migrazione sotto Metodi 11/12.
Ok gugo. Ad esempio questa funzione: $1/((x-1)(x^2+1)^2)$.
Io la scompongo in questo modo: $A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+1)+(Dx+E)/(x^2+1)^2$.
Il primo coefficiente si calcola con il residuo nel polo semplice e lo so fare, ma gli altri due?
Essendo un polo doppio li ho calcolati mediante quella formula e credo di aver fatto bene, per la terza frazione invece come faccio?
Io la scompongo in questo modo: $A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+1)+(Dx+E)/(x^2+1)^2$.
Il primo coefficiente si calcola con il residuo nel polo semplice e lo so fare, ma gli altri due?
Essendo un polo doppio li ho calcolati mediante quella formula e credo di aver fatto bene, per la terza frazione invece come faccio?
Ok. Vediamo un pò se ho capito. La scomposizione in fratti di quella funzione posso scriverla mediante la formula di Hermite in questo modo: $(A)/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+1)+d/(dx)((Dx+E)/(x^2+1))$.
Giusto?
Oppure, fare in questo modo: $(x^2+1)F(x)=(A(x^2+1))/(x-1)+(Bx+C)+(Dx+E)/(x^2+1)$.
E poi calcolarmi i coefficienti mediante i residui, è giusto?
Giusto?
Oppure, fare in questo modo: $(x^2+1)F(x)=(A(x^2+1))/(x-1)+(Bx+C)+(Dx+E)/(x^2+1)$.
E poi calcolarmi i coefficienti mediante i residui, è giusto?
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