Integrale che non ha senso calcolare
Ho un esercizio che mi da questo integrale:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x+4\ dx}{x^2+4x+5} = log(17/5) \)
Risolto notando che \(\displaystyle u=x^2 + 4x + 5\ , du = 2x +4 \)
Niente di difficile... Però poi mi propone se ha senso calcolare:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x+4\ dx}{x^2+4x-5}\)
Io l'ho calcolato con il medesimo procedimento, ma mi dice che non ha senso calcolarlo... Cioè io ho scritto:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x+4\ dx}{x^2+4x-5} = log (x^2 + 4x -5)_{0}^{2}=log(7/5)\)
Mi chiedo dove sia l'errore... Io ho usato la stessa tecnica per sostituzione, che mi sembrava corretta... Qualche idea? Grazie
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x+4\ dx}{x^2+4x+5} = log(17/5) \)
Risolto notando che \(\displaystyle u=x^2 + 4x + 5\ , du = 2x +4 \)
Niente di difficile... Però poi mi propone se ha senso calcolare:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x+4\ dx}{x^2+4x-5}\)
Io l'ho calcolato con il medesimo procedimento, ma mi dice che non ha senso calcolarlo... Cioè io ho scritto:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x+4\ dx}{x^2+4x-5} = log (x^2 + 4x -5)_{0}^{2}=log(7/5)\)
Mi chiedo dove sia l'errore... Io ho usato la stessa tecnica per sostituzione, che mi sembrava corretta... Qualche idea? Grazie
Risposte
Fatti il grafico e guarda (anzi, i grafici ...
)
)
Io il grafico l'ho fatto in un secondo momento, ed è antisimmetrico... Però non capisco perchè invece che darmi 0 mi esce un log di qualcosa, che zero non è 
Ma perché sarà pure antisimmetrico ma prima di arrivare ad $+a-a=0$ è da verificare che $a$ esista (finito) ... prova ad integrare da $0$ a $1$ se ci riesci, se sì allora sarà zero, ma se no ...
Scusa ma volendo ragionare senza grafici(di solito li sbaglio sempre senza supporti informatici) come posso fare? Cioè come noto che è nullo???
"Mito125":
Ho un esercizio che mi da questo integrale:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2x+4\ dx}{x^2+4x+5} = log(17/5) \)
Risolto notando che \(\displaystyle u=x^2 + 4x + 5\ , du = 2x +4 \)
se fai quella sostituzione allora
$u=x^2+4x+5\to du=2x+4 dx\to dx=(du)/(2x+4)$
cambio di estremi di integrazione $ { ( x=0\tou=5 ),( x=2\to u=17 ):} $
quindi.. $ \int (2x+4)/(u)(du)/(2x+4)=\int_(5)^(17) (du)/(u)=.... $ concludi tu..
Nel caso di \(x^2+4x-5\) dovresti osservare le radici.
"Mito125":
Scusa ma volendo ragionare senza grafici(di solito li sbaglio sempre senza supporti informatici) come posso fare? Cioè come noto che è nullo???
Dovresti studiare la funzione e come dice vict85 ti accorgeresti che il denominatore si annulla per un valore che è compreso tra i limiti di integrazione perciò hai un asintoto verticale, da cui capisci che non puoi semplicemente "integrare" ma devi spezzarlo in due e vedere se quello che ne esce è integrabile o meno ...
Insomma senza grafici si studia la funzione (ci sarà un motivo per cui ce la fanno studiare ...
)
Ricapitolando: studio la funzione, se presenta una discontinuità divido l'integrale in due, integrando dal limite inferiore fino alla discontinuità e poi dalla discontinuità al limite superiore. E' corretto?
Penso che questo vada bene in generale, ma sicuramente esisteranno metodi più veloci a seconda delle casistiche ... (non sono così esperto da "assolutizzare" quello che ho scritto ...)
Io sono sempre alla ricerca di metodi più veloci... Se ti viene in mente qualcosa in più scrivilo pure
Beh, quella si vede a occhio che il denominatore si scompone in $(x+5)(x-1)$ e quindi una delle radici che annullano il denominatore (cioè $1$) è compresa trai i limiti di integrazione (con quel che ne consegue)
Attenzione, l'integrale di Riemann è definito per funzioni limitate. Perciò non si tratta solo di dividere l'intervallo di integrazione. Non cercare metodi veloci prima di capire a fondo il metodo lento.
Infatti gli ho detto:
"axpgn":
... ma prima di arrivare ad $+a-a=0$ è da verificare che $a$ esista (finito) ... prova ad integrare da $0$ a $1$ se ci riesci, se sì allora sarà zero, ma se no ...
"axpgn":
Beh, quella si vede a occhio che il denominatore si scompone in $(x+5)(x-1)$ e quindi una delle radici che annullano il denominatore (cioè $1$) è compresa trai i limiti di integrazione (con quel che ne consegue)
Guarda io faccio sempre casini nello scomporre, penso che possano scomporre solo coloro che hanno fatto e continua a fare sempre molti esercizi... Io non la vedo affatto quella scomposizione...
Non ho capito cosa si intende per metodo lento... A me basta solo un metodo applicabile sempre, perchè io non ho memoria affatto, preferisco spenderci pure 3 minuti in più ma avere un metodo buono sempre...
"Mito125":
[quote="axpgn"]Beh, quella si vede a occhio che il denominatore si scompone in $(x+5)(x-1)$ e quindi una delle radici che annullano il denominatore (cioè $1$) è compresa trai i limiti di integrazione (con quel che ne consegue)
Guarda io faccio sempre casini nello scomporre, penso che possano scomporre solo coloro che hanno fatto e continua a fare sempre molti esercizi... Io non la vedo affatto quella scomposizione...
Non ho capito cosa si intende per metodo lento... A me basta solo un metodo applicabile sempre, perchè io non ho memoria affatto, preferisco spenderci pure 3 minuti in più ma avere un metodo buono sempre...[/quote]
Sei tu che hai detto che sei sempre alla ricerca di metodi più veloci. Semplicemente fa tutti i passaggi.
La scomposizione si fa con la solita formula. \(\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
In questo caso \(\displaystyle x_{1,2} = \frac{-4\pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4\pm 6}{2} = \{ +1, -5 \} \) che diventa quindi \(\displaystyle (x+5)(x-1) \) perché la scomposizione è \(\displaystyle (x-x_1)(x-x_2) \).
Ok questo è chiaro... Ritornando all'integrale, affinchè sia integrale la funzione deve essere continua sull'intervallo. Ma se studio solo il denominatore vedo che presenta due punti critici... E poi?
Il -5 lo puoi ignorare perché non integri in quel punto ed il problema non sono i punti critici (che essendo isolati possono essere ignorati), ma il fatto che la funzione non è limitata. Insomma se la discontinuità fosse di terza specie la protresti tranquillamente ignorare e se fosse di prima ti basterebbe spezzare l'integrale e comportarti quasi come se non fosse successo nulla. In questo caso ti trovi con due integrali impropri.
Comunque \(\displaystyle \frac{2x+4}{(x+5)(x-1)} = \frac{(x-1) + (x+5)}{(x+5)(x-1)} = \frac{1}{x+5} + \frac{1}{x-1} \)
Perciò
\(\displaystyle \begin{align}
\int_{0}^2 \frac{2x+4}{(x+5)(x-1)}\,dx &= \int_{0}^2 \biggl(\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x-1}\biggr)\,dx \\
&= \int_{0}^2 \frac{1}{x+5}\,dx + \int_{0}^2\frac{1}{x-1}\,dx \\
&= \int_{5}^7 \frac{1}{y}\,dy + \int_{-1}^1\frac{1}{z}\,dz \\
&= \int_{5}^7 \frac{1}{y}\,dy + \lim_{\varepsilon\to 0^-}\int_{-1}^{\varepsilon}\frac{1}{z}\,dz + \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac{1}{z}\,dz
\end{align} \)
Ed è evidente che il problema è negli ultimi due integrali impropri (uno l'inverso dell'altro).
Perciò
\(\displaystyle \begin{align}
\int_{0}^2 \frac{2x+4}{(x+5)(x-1)}\,dx &= \int_{0}^2 \biggl(\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x-1}\biggr)\,dx \\
&= \int_{0}^2 \frac{1}{x+5}\,dx + \int_{0}^2\frac{1}{x-1}\,dx \\
&= \int_{5}^7 \frac{1}{y}\,dy + \int_{-1}^1\frac{1}{z}\,dz \\
&= \int_{5}^7 \frac{1}{y}\,dy + \lim_{\varepsilon\to 0^-}\int_{-1}^{\varepsilon}\frac{1}{z}\,dz + \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac{1}{z}\,dz
\end{align} \)
Ed è evidente che il problema è negli ultimi due integrali impropri (uno l'inverso dell'altro).
Scusa ma così facendo non ritorni al mio risultato errato?
Eh no, nell'ultimo passaggio di vict85 hai due integrali impropri divergenti!
Se hai fatto la teoria sugli integrali impropri (e spero di sì, visto che questo esercizio li prevede), tutto quello che ti hanno detto sopra si riconduce a loro
Se hai fatto la teoria sugli integrali impropri (e spero di sì, visto che questo esercizio li prevede), tutto quello che ti hanno detto sopra si riconduce a loro
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo