Integrale, aiuto

[Sk_Anonymous]

Ciao, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo integrale? $ int(1/(1+x^2)^2)dx $ Io ho aggiunto e sottratto $x^2$ al numeratore, quindi mi sono ricondotto ad una somma di due integrali, dove la primitiva del primo è $arctanx$, mentre poi devo risolvere il secondo integrale, cioè $int(x^2/(1+x^2)^2)dx$? Ora non so come andare avanti...

[itpareid]

io proverei per sostituzione

[ciampax]

Oppure per parti spezzando la funzione come $x\cdot\frac{x}{(1+x^2)^2}$ ed osservando che $\int\frac{x}{(1+x^2)^2}\ dx=-\frac{1}{2(1+x^2)}$.

[Sk_Anonymous]

ok ci provo

[Sk_Anonymous]

in un altro integrale, la funzione integranda $f(x)=(3x-2)/((x-1)(x^2-2x+2))$ viene scomposta così:
$A/(x-1)+(2B(x-1)+C)/((x-1)^2+1)$. Io invece ho fatto: $A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2-2x+2)$, ma non mi esce...

[ciampax]

La decomposizione che usi è corretta... probabilmente avrai sbagliato qualche calcolo per determinare i coefficienti.

[Sk_Anonymous]

"ciampax":La decomposizione che usi è corretta... probabilmente avrai sbagliato qualche calcolo per determinare i coefficienti.

si, mi esce, avevo sbagliato un segno, però perchè il libro usa quella strana decomposizione?

[ciampax]

Solo per semplificare un po' i conti: nota come viene scritto il denominatore, cioè $(x-1)^2+1$. La sua derivata risulta $2(x-1)$ che è proprio il termine "in più" moltiplicato per il coefficiente incognito $B$.

[Sk_Anonymous]

C'è un altro modo per calcolare $int(1/(x+1)^2)$ senza ricorrere alla sostituzione $t=1+x$?

[Lorin1]

questo qui è immediato!

[Sk_Anonymous]

"Lorin":questo qui è immediato!

$-1/(x+1)$...non mi veniva in mente

[Lorin1]

^^

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Oppure per parti spezzando la funzione come $x\cdot\frac{x}{(1+x^2)^2}$ ed osservando che $\int\frac{x}{(1+x^2)^2}\ dx=-\frac{1}{2(1+x^2)}$.

c'è un modo per risolverlo senza fare nè per parti, nè per sostituzione?

[Lorin1]

Per ricorrere a queste tecniche evidentemente no!

[Sk_Anonymous]

ok, comunque nella spiegazione degli integrali di funzioni trigonometriche, il libro parla di una sostituzione del tipo $t=tanx$. Io non ho capito perchè il quadrato del coseno, facendo questa sostituzione, si scrive come $(cosx)^2=1/(1+t^2)$. La formula parametrica del coseno è: $cos(x)=(1-(tan(x/2))^2)/(1+tan((x/2))^2)$, se poi elevo tutto al quadrato e sostituisco $tanx=t$ non mi trovo con la formula del coseno di cui parla il libro

[ciampax]

Soscia, la sostituzione che ti suggerisce il libro è con $\tan x$ non con $\tan x/2$! Nel secondo caso hai che $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, ma se poni $t=\tan x$ allora dalle identità

[tex]$\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$[/tex]

segue che [tex]$\cos^2 x=\frac{1}{1+\tan^2 x}$[/tex]

EDIT: Maledetta Trigonometria e chi la scrisse (e ancor più chi non la impara!)

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Soscia, la sostituzione che ti suggerisce il libro è con $\tan x$ non con $\tan x/2$! Nel secondo caso hai che $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, ma se poni $t=\tan x$ allora dalle identità

[tex]$\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$[/tex]

segue che [tex]$\cos^2 x=\frac{1}{1+\tan^2 x}$[/tex]

EDIT: Maledetta Trigonometria e chi la scrisse (e ancor più chi non la impara!)

il fatto è che a ingegneria non si fa trigonometria, la si dà per scontato, come molte altre cose...

[Lorin1]

Se è per questo neanche al primo anno di matematica si fa esplicitamente come argomento "trigonometria" (almeno dalle mie parti), ed è ovvio che molti concetti fatti al liceo vengano solo ripresi velocemente.

[Sk_Anonymous]

"Lorin":Se è per questo neanche al primo anno di matematica si fa esplicitamente come argomento "trigonometria" (almeno dalle mie parti), ed è ovvio che molti concetti fatti al liceo vengano solo ripresi velocemente.

Lorin, però, mentre a ingegneria fai la matematica "che ti serve", tant'è che un ingegnere ha una mente totalmente diversa da quella di un matematico, a matematica penso che riprendi tutto in modo più approfondito, quindi alcune cose che uno studente di matematica dà per scontato, non lo sono, invece, per uno di ingegneria come me che "campa" per alcune cose con la rendita delle superiori ...fine OT

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Soscia, la sostituzione che ti suggerisce il libro è con $\tan x$ non con $\tan x/2$! Nel secondo caso hai che $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, ma se poni $t=\tan x$ allora dalle identità

[tex]$\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$[/tex]

segue che [tex]$\cos^2 x=\frac{1}{1+\tan^2 x}$[/tex]

EDIT: Maledetta Trigonometria e chi la scrisse (e ancor più chi non la impara!)

comunque è tutto chiaro...grazie ciampax

[Sk_Anonymous]

Allora, ho una primitiva nella variabile $t$: $ln|t|-(1/4)ln(1+t^2)+C$. Devo passare alla variabile $x$, con $t=tanx$. Sostituendo, ottengo $ln((tanx)/(1+tan^2(x))^(1/4))$, però il libro la scrive con seno e coseno. Posso lasciarla così o devo fare altri passaggi?