Integrale, aiuto

[Sk_Anonymous]

Ciao, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo integrale? $ int(1/(1+x^2)^2)dx $ Io ho aggiunto e sottratto $x^2$ al numeratore, quindi mi sono ricondotto ad una somma di due integrali, dove la primitiva del primo è $arctanx$, mentre poi devo risolvere il secondo integrale, cioè $int(x^2/(1+x^2)^2)dx$? Ora non so come andare avanti...

[yellow2]

Eh no, così diventi Zenone. Il fatto è che dipende da quanto l'area dei rettangolini diminuisce velocemente.
Se mangi prima mezza torta, poi un quarto, poi un ottavo e insomma ogni volta mangi la metà di quella che resta, capisci bene che puoi anche andare avanti per parecchio ma difficilmente ne mangerai più di una!

[Sk_Anonymous]

"yellow":Eh no, così diventi Zenone. Il fatto è che dipende da quanto l'area dei rettangolini diminuisce velocemente.
Se mangi prima mezza torta, poi un quarto, poi un ottavo e insomma ogni volta mangi la metà di quella che resta, capisci bene che puoi anche andare avanti per parecchio ma difficilmente ne mangerai più di una!

Ok, quindi dici che quando farò il concetto si serie mi sarà più chiara la questione? Infatti il libro, prima di spiegare l'integrale generalizzato, spiegava le serie, ma il professore sta facendo il contrario.

EDIT: Siccome questo messaggio è andato perduto, lo riposto, nella speranza che qualcuno mi aiuti:

Ecco ora un esercizio: $ int_(0)^(+oo )$ $ (x*x^(1/x^3)-x)dx$. Dopo opportune semplificazioni, la funzione integranda, per x che tende a più infinito, è asintotica a: $logx/x^2$, che non ha ordine di infinitesimo, quindi non posso usare il teorema di cui sopra. Sugli appunti ho scritto che per risolvere l'esercizio bisogna maggiorare l'ultima funzione con una che ha ordine di infinitesimo; se tale ordine è maggiore di 1, allora la funzione di partenza avrà sicuramente integrale convergente. Io però non ho capito la logica con cui si maggiora-minora una funzione, anzi, non saprei neanche dove studiare perchè sul libro non c'è nulla. Per caso ci sono degli appunti in rete che spiegano bene come si maggiorano-minorano le funzioni? Per esempio, nell'esercizio in questione, $logx/x^2$ è maggiorata da $1/x^(3/2)$, ma secondo che logica? Quando faccio degli esercizi più complessi come faccio?

[Sk_Anonymous]

Allora, non ho capito perchè $int_(e)^(+oo)$dx/xlogx$$ non converge. La funzione 1/xlogx a mio parere, anche se non ha ordine di infinitesimo, va pur sempre a 0 più velocemente di 1/x, quindi non capisco perchè l'integrale non debba convergere.

[Rigel1]

Va a zero un filo più velocemente di $1/x$, ma non abbastanza per far convergere l'integrale.
In questo caso la convergenza la puoi studiare partendo dalla definizione: facendo il cambio di variabili $t=\log x$ hai che
$\int_e^b \frac{1}{x \logx} dx = \int_1^{\log b} \frac{1}{t} dt = \log(\log b)$.
Se adesso fai il limite per $b\to +\infty$ vedi subito che l'integrale a primo membro diverge a $+\infty$.

[Sk_Anonymous]

"Soscia":Allora, non ho capito perchè $int_(e)^(+oo)$dx/xlogx$$ non converge. La funzione 1/xlogx a mio parere, anche se non ha ordine di infinitesimo, va pur sempre a 0 più velocemente di 1/x, quindi non capisco perchè l'integrale non debba convergere.

Allora, ho fatto un paio di conti e devo calcolare questo limite: $lim(x->+oo)$$ x^0.00001/log(x)$. Qualcuno sa dirmi quanto fa?

[Rigel1]

Farà $+\infty$, no?

[yellow2]

Bisogna andare un bel po' avanti però con le x però, al massimo della potenza di Wolfram il grafico ancora non si decide a risalire.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... o+10%5E300

EDIT: e mancava ancora un bel po', ad esempio è il valore di x per cui la funzione (ri)diventa 1 è dell'ordine di $10^515117$.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Farà $+\infty$, no?

Grazie a entrambi....mi sta venendo ora un dubbio; nel calcolo di una primitiva di un integrale improprio, mi trovo a svolgere:
$lim_t->+oo$ $log|t|-log|t+1|+log2$. Vi chiedo: siccome $log|t+1|$ è asintotico a $log|t|$, si possono cancellare i due logaritmi vero?

[Rigel1]

Per $t>0$ hai $\log t - \log(t+1) = \log(t/(t+1)) \to \log 1 = 0$ per $t\to +\infty$.
Quindi: sì, puoi cancellare i due logaritmi.

[yellow2]

No, perché non è un rapporto. Però se ti ricordi che $log(t)-log(t+1)=log(t/(t+1))$ (e che il logaritmo è una funzione continua)...
I moduli puoi toglierli perché stai guardando il limite a $+oo$.

EDIT: ops mi son fatto precedere da Rigel e in più l'ho affossato a fondo pagina

[Sk_Anonymous]

Ok, un'altra cosa. Ho studiato la convergenza di questo integrale al variare del parametro alfa, però non c'è il risultato:
$int_(3)^(+oo)((1-cos(1/x^a)))/(x-3)^(a+(1/4))$.
Per x che tende a 3, l'integrale converge se e solo se 0

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