Integrale, aiuto
Ciao, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo integrale? $ int(1/(1+x^2)^2)dx $ Io ho aggiunto e sottratto $x^2$ al numeratore, quindi mi sono ricondotto ad una somma di due integrali, dove la primitiva del primo è $arctanx$, mentre poi devo risolvere il secondo integrale, cioè $int(x^2/(1+x^2)^2)dx$? Ora non so come andare avanti...
Risposte
Allora, ho $int(cosx/((1-sinx)(1-cosx)))$. Ho usato le formule parametriche (con la sostituzione $t=tan(x/2)$) per il seno ed il coseno, ottenendo, dopo opportune semplificazioni, $int(1+t)/(t^2(1+t^2))dt$. Ho poi scomposto tutto per fratti semplici ed ho ottenuto che la primitiva, nella variabile t, è:
$ln|t|-1/t-ln(1+t^2)/2-arctant$. Volevo sapere se la primitiva nella variabile t è corretta, dal momento che il libro dà un risultato assurdo rispetto al mio.
$ln|t|-1/t-ln(1+t^2)/2-arctant$. Volevo sapere se la primitiva nella variabile t è corretta, dal momento che il libro dà un risultato assurdo rispetto al mio.
Forse viene una cosa assurda perché dopo la trasformazione devi avere il seguente integrale
[tex]$\int\frac{1+t}{t^2(1-t)}\ dt$[/tex]
[tex]$\int\frac{1+t}{t^2(1-t)}\ dt$[/tex]
"ciampax":
Forse viene una cosa assurda perché dopo la trasformazione devi avere il seguente integrale
[tex]$\int\frac{1+t}{t^2(1-t)}\ dt$[/tex]
grazie ciampax, ho fatto un errore stupidissimo, che cogli**e che sono
L'integrale della funzione $f(x)=1/sqrt(x)$ tra 2 (per esempio) e più infinito è convergente o divergente?
Prova a calcolare l'integrale [tex]$\int_2^c\frac{1}{\sqrt{x}}\ dx$[/tex] con $c>2$ e poi fa il limite per $c\to+\infty$ per vedere cosa accade.
L'integrale è divergente, come avevo previsto dal momento che l'ordine di infinitesimo della funzione è minore di 1. Allora ti faccio una domanda: se la funzione $1/sqrt(x)$ è infinitesima per x che tende a più infinito, singifica che le sue ordinate si avvicinano sempre di più a 0, giusto? E allora come è possibile che l'integrale diverge? Se la funzione convergesse a 1, per esempio, graficamente si vede che l'integrale diverge, però qui non lo vedo...spero hai capito il mio dubbio...grazie, come sempre ciao
Sì, ho capito: il fatto è abbastanza semplice. Non basta che una funzione sia infinitesima a più infinito per garantire la sua convergenza, in quanto la sua primitiva potrebbe non esserlo. Ecco perché il teorema che hai citato afferma che gli integrali convergono quando la funzione integranda è un infinitesimo di tipo $1/{x^\alpha}$ con $\alpha>1$. Se prendi $0<\alpha\le 1$ ti accorgi che la funzione integranda risulta della forma $x^{1-\alpha}$ (per $0<\alpha<1$) oppure $\log x$ (per $\alpha=1$).
"ciampax":
Sì, ho capito: il fatto è abbastanza semplice. Non basta che una funzione sia infinitesima a più infinito per garantire la sua convergenza, in quanto la sua primitiva potrebbe non esserlo. Ecco perché il teorema che hai citato afferma che gli integrali convergono quando la funzione integranda è un infinitesimo di tipo $1/{x^\alpha}$ con $\alpha>1$. Se prendi $0<\alpha\le 1$ ti accorgi che la funzione integranda risulta della forma $x^{1-\alpha}$ (per $0<\alpha<1$) oppure $\log x$ (per $\alpha=1$).
Certo, matematicamente il concetto mi risulta chiaro, ed il calcolo del limite della primitiva conferma che l'integrale è divergente; però non riesco a farmi un'idea grafica dell'integrale divergente di una funzione infinitesima: la funzione si avvicina sempre più a 0 quindi la logica mi fa pensare che il suò integrale non si potrà incrementare indefinitivamente...
come hai detto tu, può capitare che la funzione primitiva sia divergente e dunque tale sarà il suo integrale, però le due cose, cioè funzione infinitesima e integrale divergente mi sembrano in contraddizione, nonostante i calcoli dimostrino il contrario
Prova a disegnarti, per $x\to+\infty$ i grafici di $x^{-1/4},\ x^{-1/3},\ x^{-1/2},\ x^{-1},\ x^{-2},\ x^{-3},\ x^{-4}$ e vedrai che anche "geometricamente" il loro andamento a zero è diverso.
"ciampax":
Prova a disegnarti, per $x\to+\infty$ i grafici di $x^{-1/4},\ x^{-1/3},\ x^{-1/2},\ x^{-1},\ x^{-2},\ x^{-3},\ x^{-4}$ e vedrai che anche "geometricamente" il loro andamento a zero è diverso.
si, ho visto, in pratica mentre $x^-2$ "tocca" (in realtà non lo tocca mai
) quasi subito lo 0, quelle con ordine $<1$ si comportano quasi come delle rette. Però sta proprio qui il mio dubbio: prima o poi, a infinito, dovranno pur "sfiorare" l'asse delle x (quindi il valore dell'integrale raggiungerà un limite) poichè tendono a 0!?
Soscia non so come spiegartelo in un altro modo!
"ciampax":
Soscia non so come spiegartelo in un altro modo!
lo so ciampax, certe volte sono duro
No, è che non mi viene al momento una spiegazione intuitiva del perché che non implichi comunque calcoli!
"ciampax":
No, è che non mi viene al momento una spiegazione intuitiva del perché che non implichi comunque calcoli!
vabbè, grazie comunque per l'aiuto, se ti passa qualcosa per la mente postalo
Ecco ora un esercizio: $ int_(0)^(+oo )$ $ (x*x^(1/x^3)-x)dx$. Dopo opportune semplificazioni, la funzione integranda, per x che tende a più infinito, è asintotica a: $logx/x^2$, che non ha ordine di infinitesimo, quindi non posso usare il teorema di cui sopra. Sugli appunti ho scritto che per risolvere l'esercizio bisogna maggiorare l'ultima funzione con una che ha ordine di infinitesimo; se tale ordine è maggiore di 1, allora la funzione di partenza avrà sicuramente integrale convergente. Io però non ho capito la logica con cui si maggiora-minora una funzione, anzi, non saprei neanche dove studiare perchè sul libro non c'è nulla. Per caso ci sono degli appunti in rete che spiegano bene come si maggiorano-minorano le funzioni? Per esempio, nell'esercizio in questione, $logx/x^2$ è maggiorata da $1/x^(3/2)$, ma secondo che logica? Quando faccio degli esercizi più complessi come faccio?
"ciampax":
No, è che non mi viene al momento una spiegazione intuitiva del perché che non implichi comunque calcoli!
ciao ciampax, riflettendoci credo di aver capito, in parole povere l'integrale di una funzione infinitesima con ordine maggiore di 1 è convergente poichè la diminuzione dei valori di f, cioè delle altezze dei rettangolini, non è compensata abbastanza dall'incremento delle ascisse (delle basi) per cui si vanno a sommare rettangolini di area sempre più piccola, facendò si che l'area totale sia limitata; viceversa, le funzioni infinitesime con ordine minore di 1 tendono a 0 molto lentamente, per cui la diminuzione delle altezze dei rettangolini viene compensata abbondantemente dall'incremento delle loro basi (infatti la funzione si comporta quasi come una retta, quindi l'altezza dei rettangolini è piccola ma la base è molto lunga), per cui si sommano aree di rettangolini sempre più grandi che fanno si che l'integrale diverga. Io la vedo così, tu che mi dici?
Mmm le basi che si allargano mi sa che te le sei inventate! Il concetto con cui ti devi scontrare invece è proprio che anche sommando aree sempre più piccole e tendenti a zero puoi superare qualsiasi numero.
Le serie non le hai fatte? Hai il problema opposto di Zenone.
Le serie non le hai fatte? Hai il problema opposto di Zenone.
"yellow":
Mmm le basi che si allargano mi sa che te le sei inventate! Il concetto con cui ti devi scontrare invece è proprio che anche sommando aree sempre più piccole e tendenti a zero puoi superare qualsiasi numero.
Le serie non le hai fatte? Hai il problema opposto di Zenone.
no, non le ho fatte
Se sommi: $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5+...$ e vai avanti abbastanza puoi superare qualsiasi numero. Ci credi?
Puoi anche costruire una scala di lunghezza (orizzontale) arbitraria fatta da una pila di mattoni sovrapposti che si tengono in equilibrio!
Puoi anche costruire una scala di lunghezza (orizzontale) arbitraria fatta da una pila di mattoni sovrapposti che si tengono in equilibrio!
"yellow":
Se sommi: $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5+...$ e vai avanti abbastanza puoi superare qualsiasi numero. Ci credi?
Yes!!!
Puoi anche costruire una scala di lunghezza (orizzontale) arbitraria fatta da una pila di mattoni sovrapposti che si tengono in equilibrio!
Questa mi sembra più ardita...
"yellow":
Se sommi: $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5+...$ e vai avanti abbastanza puoi superare qualsiasi numero. Ci credi?
Puoi anche costruire una scala di lunghezza (orizzontale) arbitraria fatta da una pila di mattoni sovrapposti che si tengono in equilibrio!
Allora come fa ad essere l'integrale di una funzione infinitesima convergente? Io sommo tanti rettangolini sempre più piccoli all'infinito, risultato: area infinita.
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