Insieme completo

[GuidoFretti1]

Buongiorno, sto trovando forti difficoltà a determinare se lo spazio

$X:={f in C^1(RR) | Sup_(x in RR) (1+x^2)|f'(x)|<+infty}$

è completo rispetto alla norma $||f||_X := |f(0)| + pi/2Sup_(x in RR) (1+x^2)|f'(x)|$

Ho provato per primo ad applicare la definizione: sia ${f_n}$ una successione di Cauchy in $X$, devo trovare se esiste $f in X$ t.c. $||f-f_n||_X ->0$ per $n->+infty$.

quindi per ogni $epsilon>0$ esiste $N$ t.c $AA n,m>=N$ $||f_n-f_m||_X Ma poi da qui non riesco a proseguire per concludere che esista $f$.

Qualcuno potrebbe darmi una mano?
grazie

[Wilde1]

Ripeto l'invito che ti ho fatto il post precedente:
rifletti meglio sulle cose, prenditi più tempo, riordina le idee, fai i conti e guardele da distante.....
Si, chiaro che l'insieme completo è l'insieme delle funzioni continue e limitate, dove almeno la funzione "norma infinito" è definita.
Ma dove utilizziamo la completezza? Su che funzioni? Soddisfano le ipotesi necessarie?
Penso che sono domande a cui tu riesca a rispondere in autonomia, come anche a concludere l'esercizio.
Devi fermarti e ragionare con calma.

[Studente Anonimo]

@ GuidoFretti

Per comprendere il motivo per cui l'esercizio da te proposto:

$X={f(x) in C^1(RR,RR): Sup(1+x^2)|f'(x)| lt oo}$

$||f(x)||=|f(0)|+\pi/2Sup(1+x^2)|f'(x)|$

sia stato formulato in un certo modo, ti invito a studiare i 4 problemi sottostanti:

Problema 1

$X={f(x) in C([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f(x)|$

Problema 2

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f'(x)|$

Problema 3

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f(x)|+Sup|f'(x)|$

Problema 4

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=|f(x_0)|+Sup|f'(x)|$

relativi ad un insieme di funzioni definite su $[a,b]$. Quindi, affrontare le ulteriori problematiche che sorgono quando le funzioni sono definite su $RR$. Se sei interessato ad approfondire e a comprendere meglio la logica di fondo, credo proprio ne valga la pena.

[GuidoFretti1]

"Wilde":Ripeto l'invito che ti ho fatto il post precedente:
rifletti meglio sulle cose, prenditi più tempo, riordina le idee, fai i conti e guardele da distante.....
Si, chiaro che l'insieme completo è l'insieme delle funzioni continue e limitate, dove almeno la funzione "norma infinito" è definita.
Ma dove utilizziamo la completezza? Su che funzioni? Soddisfano le ipotesi necessarie?
Penso che sono domande a cui tu riesca a rispondere in autonomia, come anche a concludere l'esercizio.
Devi fermarti e ragionare con calma.

Sono circa 4 giorni che ci ragiono, ma non ci arrivo... altro che posso fare se non riesco??

Tu nella dimostrazione sfrutti il fatto che $C(RR)$ è completo rispetto a $||*||_infty$ trovi che le $(f_n)'->g$ e $g in C(RR)$
Ma se $(C(RR),||*||_infty)$ non è completo...quello sopra non ha senso almeno per me. Posso capire dove sto sbagliando??

Allo stesso modo, $f'(x)=g(x)=lim_(n)(f_n)'$ ma chi mi assicura che

$ Sup_(RR)(1+x^2)|lim_(n)(f_n)'|$ sia $<+infty$ ??

Grazie

[GuidoFretti1]

"anonymous_0b37e9":@ GuidoFretti

Per comprendere il motivo per cui l'esercizio da te proposto:

$X={f(x) in C^1(RR,RR): Sup(1+x^2)|f'(x)| lt oo}$

$||f(x)||=|f(0)|+\pi/2Sup(1+x^2)|f'(x)|$

sia stato formulato in un certo modo, ti invito a studiare i 4 problemi sottostanti:

Problema 1

$X={f(x) in C([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f(x)|$

Problema 2

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f'(x)|$

Problema 3

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f(x)|+Sup|f'(x)|$

Problema 4

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=|f(x_0)|+Sup|f'(x)|$

relativi ad un insieme di funzioni definite su $[a,b]$. Quindi, affrontare le ulteriori problematiche che sorgono quando le funzioni sono definite su $RR$. Se sei interessato ad approfondire e a comprendere meglio la logica di fondo, credo proprio ne valga la pena.

Non mi è chiaro cosa dovrei fare... distinguere cosa accade se prendo $[a,b]$ o $RR$ e perché la norme in ogni caso sono cosi definite?

[Studente Anonimo]

"GuidoFretti":
Non mi è chiaro cosa dovrei fare ...

Ti invitavo a svolgere quei 4 problemi, in cui il dominio delle funzioni è $[a,b]$, sviluppando i 2 punti sottostanti:

1. La norma è ben definita?
2. Nel caso in cui la norma sia ben definita, lo spazio è completo?

Ti ricordo che l'ordine degli esercizi ha una logica sottostante. Se riesci a coglierla potrai comprendere meglio le modifiche che consentono di trattare anche il caso in cui il dominio delle funzioni sia $RR$, quelle modifiche che giustificano, più a priori che a posteriori, un testo come quello dell'esercizio che hai proposto. Sempre che tu ne abbia voglia. Altrimenti, prima o poi scriverò qualcosa io.

P.S.

Problema 1

$X={f(x) in C([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f(x)|$

Svolgimento

Poiché la norma è ben definita, si dimostra la completezza.

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f_m(x)| lt \epsilon$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr AA x in [a,b]: |f_n(x)-f_m(x)| lt \epsilon$

Poiché $RR$ è completo:

$AA x in [a,b] EE y in RR: AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr |f_n(x)-y| lt \epsilon$

$EE y=f(x): AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f(x)| lt= \epsilon$

Poiché la convergenza è uniforme:

$f(x) in C([a,b],RR)$

Problema 2

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f'(x)|$

Svolgimento

Poiché le funzioni costanti non nulle avrebbero norma nulla, la norma non è ben definita.

Problema 3

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=Sup|f(x)|+Sup|f'(x)|$

Svolgimento

Poiché, con l'aggiunta di $Sup|f(x)|$, la norma é ben definita, si dimostra la completezza.

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f_m(x)|+Sup|f'_n(x)-f'_m(x)| lt \epsilon$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f_m(x)| lt \epsilon$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr Sup|f'_n(x)-f'_m(x)| lt \epsilon$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr AA x in [a,b]: |f_n(x)-f_m(x)| lt \epsilon$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr AA x in [a,b]: |f'_n(x)-f'_m(x)| lt \epsilon$

Poiché $RR$ è completo:

$AA x in [a,b] EE y_1 in RR: AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr |f_n(x)-y_1| lt \epsilon$

$AA x in [a,b] EE y_2 in RR: AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr |f'_n(x)-y_2| lt \epsilon$

$EE y_1=f_1(x): AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f_1(x)| lt= \epsilon$

$EE y_2=f_2(x): AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr Sup|f'_n(x)-f_2(x)| lt= \epsilon$

Poiché la convergenza è uniforme:

$f_1(x) in C([a,b],RR)$

$f_2(x) in C([a,b],RR)$

In base a un noto teorema le cui ipotesi sono più rilassate:

$f_2(x)=f'_1(x)$

Finalmente:

$f_1(x) in C^1([a,b],RR)$

Problema 4

$X={f(x) in C^1([a,b],RR)}$

$||f(x)||=|f(x_0)|+Sup|f'(x)|$

Intanto, l'aggiunta di $|f(x_0)|$ al posto di $Sup|f(x)|$ rende la norma ben definita conoscendo la funzione in un solo punto piuttosto che in tutto l'intervallo.

[GuidoFretti1]

Sostanzialmente se ho capito bene nel mio esercizio potrei:

1) considera il ragionamento su un intervallo $[-m,m]$

2) estendere il risultato a $RR$

3) verificare che la funzione limite $g=lim_(n)(f_n)'$ sia continua su $RR$

4) considera la $f$ suggerita da Wilde

Ho capito bene?