Incongruenze definizione di limite
Salve, ho dei dubbi in merito alla definizione di limite per x che tende ad un valore c, in molti testi è premesso che c debba essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione, ma se è sufficiente tale premessa allora potremmo calcolare anche il limite di logx per x che tende a 0, (poichè 0 è un punto di accumulazione per (0,+inf)). Tuttavia il testo afferma che non ha senso calcolare il limite dalla sinistra di logx per x che tende a 0. Stessa situazione per il limite della radice quadrata di x per i che tende a 0, che invece secondo il mio testo esiste ed è uguale a 0.
Risposte
La definizione generale di limite è questa:
Sia $f:A-RR$ e sia $x_0$ in A un punto di accumulazione di $A$, si dice che $lim_(x->x_0)f(x)=l$ se:
$AA I_(x_0, epsilon), EE I_(l,delta) : AAx in I_(x_0,epsilon)nn A-(x_0) rArr f(x) in I_(l,epsilon)$
Si vede quindi che il limite a sinistra di $0$ di $lnx$ non ha senso
Sia $f:A-RR$ e sia $x_0$ in A un punto di accumulazione di $A$, si dice che $lim_(x->x_0)f(x)=l$ se:
$AA I_(x_0, epsilon), EE I_(l,delta) : AAx in I_(x_0,epsilon)nn A-(x_0) rArr f(x) in I_(l,epsilon)$
Si vede quindi che il limite a sinistra di $0$ di $lnx$ non ha senso
Come vedi, la parte cruciale di quella definizione è:
$AAx in I_(x_0,epsilon)nn A-(x_0) $
Che non dice altro che "per qualsiasi x appartenente all'intersezione di un intorno bucato di $x_0$ di raggio $epsilon$ con il dominio $A$ di $f(x)$.
Se tu vuoi calcolare il limite in 0 di lnx e se prendi un intorno sinistro di 0, allora l'intersezione di questo intorno con il dominio del logaritmo è nulla, pertanto la definizione perde di significato.
$AAx in I_(x_0,epsilon)nn A-(x_0) $
Che non dice altro che "per qualsiasi x appartenente all'intersezione di un intorno bucato di $x_0$ di raggio $epsilon$ con il dominio $A$ di $f(x)$.
Se tu vuoi calcolare il limite in 0 di lnx e se prendi un intorno sinistro di 0, allora l'intersezione di questo intorno con il dominio del logaritmo è nulla, pertanto la definizione perde di significato.
Scusatemi, ma ancora non mi è chiaro, la definizione di intorno di un punto c è: qualsiasi intervallo aperto contenente il punto c, giusto? . Quindi (-k,0] non è un intorno di 0, ma un intorno sinistro, nella definizione di limite e di punto di accumulazione invece si parla invece di intorno. inoltre anche la radice quadrata di x non ha valori in un intorno sinistro di O privato del punto 0, mentre per il libro esiste il limite per x che tende a zero della radice quadrata di x.
Esiste il limite per x che tende a zero della radice quadrata di x perché verifica quella definizione. Infatti il dominio della radice quadrata di x è $x>=0$, se si prende un intorno bucato di x=0, $(-delta, delta)$, allora l'intersezione di questo intorno con il dominio della radice di x è l'insieme $(0, delta)$, si verifica quindi che per ogni x appartenenente a $(0, delta)$ la radice di x appartiene all'intorno $(-epsilon, epsilon)$, come da definizione, pertanto il limite vale 0.
Ma quindi dovrebbe esistere anche il limite per x che tende a zero di ln(x) perché verifica questa definizione. Infatti il dominio di ln(x) è x>0, se si prende un intorno bucato di x=0, (−δ,δ), allora l'intersezione di questo intorno con il dominio di logaritmo di x è l'insieme (0,δ), si verifica quindi che per ogni k>0 esiste un δ>0 per cui ogni x appartenenente a (0,δ) si ha ln(x)<-k, non vedo quale sia la differenza.
Ma infatti, esiste il limite per x che tende a zero di lnx, e tale limite vale $-oo$, chi ha detto il contrario?
Ok grazie, è che spesso ho letto che non ha senso calcolarlo, quindi parlando di limite destro e sinistro la proposizione: lim f(x) per x che tende a c esiste ed è uguale ad l se e soltanto se il limite dalla destra e il limite dalla sinistra esistono e sono uguali ad l. È da assumersi vera solo quando c è un punto di accumulazione sia destro che sinistro per il dominio,giusto?
Sì un intorno di un punto è un qualsiasi intervallo aperto che contenga il punto $c$. Poi ci sono intorni circolari(o simmetrici), sinistri, destri, bucati.
In realtà $(-k,0]$ non è rigorosamente un intorno. Di fatti non è un aperto. Anche se molte volte ho visto che non interessa questa differenza. Quando si parla di limiti, si ha sempre a che fare con intervalli aperti. Considera che gli intorni possono essere centrati o meno. Ad esempio:
$I(x_0,r)=(x_0-r,x_0+r)$
Questo è un intorno circolare di raggio $r$
$I(x_0,r)-{x_0}=(x_0-r)cup(x_0+r)$
È lo stesso intorno, ma privato del punto $x_0$. Vanno molto di moda nei limiti
$I_(-)(x_0,r)=(x_0-r,x_0)$
Questo è un esempio di intorno sinistro di un punto.
---------
Per quanto riguarda il limite, per vedere se è vero, devi applicare la definizione ovviamente.
Quando esiste il limite: $lim_(x->0)f(x)=l$?
Quando esistono e sono uguali $lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0^-)f(x)=l$
In poche parole la prima forma equivale al dire che se mi avvicino da destra o da sinistra, il limite è sempre uguale. Quindi lo si riporta nella prima forma.
$lim_(x->0^+)sqrtx=0$ vediamo
$|sqrtx-0|
Questa disequazione è sempre soddisfatta, infatti: per ogni $varepsilon$ piccolo a piacere, esiste un intorno destro di $0$ nel quale la funzione dista da $0$ meno di $varepsilon$ per ogni $x$ dell'intorno.
$lim_(x->0^-)sqrtx=0$ vediamo
$|sqrtx-0|
Ma noi sappiamo che $sqrtx>0$ dunque $-varepsilon<0
Cosa dovremmo verificare? Che è vera:
$0b,a
L'unica scrittura che nei reali ha senso è $lim_(x->0^+)sqrtx=0$
Poi naturalmente ci sono correnti di pensiero...
Se considerassimo $f:A->CC$ allora esiste.
In realtà $(-k,0]$ non è rigorosamente un intorno. Di fatti non è un aperto. Anche se molte volte ho visto che non interessa questa differenza. Quando si parla di limiti, si ha sempre a che fare con intervalli aperti. Considera che gli intorni possono essere centrati o meno. Ad esempio:
$I(x_0,r)=(x_0-r,x_0+r)$
Questo è un intorno circolare di raggio $r$
$I(x_0,r)-{x_0}=(x_0-r)cup(x_0+r)$
È lo stesso intorno, ma privato del punto $x_0$. Vanno molto di moda nei limiti
$I_(-)(x_0,r)=(x_0-r,x_0)$
Questo è un esempio di intorno sinistro di un punto.
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Per quanto riguarda il limite, per vedere se è vero, devi applicare la definizione ovviamente.
Quando esiste il limite: $lim_(x->0)f(x)=l$?
Quando esistono e sono uguali $lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0^-)f(x)=l$
In poche parole la prima forma equivale al dire che se mi avvicino da destra o da sinistra, il limite è sempre uguale. Quindi lo si riporta nella prima forma.
$lim_(x->0^+)sqrtx=0$ vediamo
$|sqrtx-0|
Questa disequazione è sempre soddisfatta, infatti: per ogni $varepsilon$ piccolo a piacere, esiste un intorno destro di $0$ nel quale la funzione dista da $0$ meno di $varepsilon$ per ogni $x$ dell'intorno.
$lim_(x->0^-)sqrtx=0$ vediamo
$|sqrtx-0|
Ma noi sappiamo che $sqrtx>0$ dunque $-varepsilon<0
Cosa dovremmo verificare? Che è vera:
$0
L'unica scrittura che nei reali ha senso è $lim_(x->0^+)sqrtx=0$
Poi naturalmente ci sono correnti di pensiero...
Se considerassimo $f:A->CC$ allora esiste.
Quando si parla di limiti destri e sinistri si usa una diversa definizione. Nel caso di linlmite sinistro è questa:
Sia $f:A-RR$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione dell'insieme $A nn (-oo, x_0)$, allora si dice che il limite per x che tende a zero a sinistra di f(x) vale $l^-$ se per ogni x appartenente a $A nn (-oo, x_0)$ risulta che f(x) appartiene a $(l^(-) - epsilon, l^(-) + epsilon)$.
Come si vede, nel caso del logaritmo si ha $A=x>0$, pertanto l'insieme $A nn (-oo, 0)$ è l'insieme vuoto e che pertanto non soddisfa le ipotesi della definizione, quindi nel caso del logaritmo e della radice non ha senso parlare di limite sinistro.
Se per una funzione ha senso parlare di linite sinistro e destro, allora si può dire che il limite di quella funzione esiste se e solo so i limiti destro e sinistro coincidono. Ma se non ha senso parlare di almeno uno tra linite destro e sinistro allora la precedente affermazione non è vera, come dimostra il fatto che il limite per x che tende a zero della radice di x vale 0 e rispetta la definizione generale di limite, così come il limite del logaritmo, benché non sia definito il limite sinistro.
Sia $f:A-RR$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione dell'insieme $A nn (-oo, x_0)$, allora si dice che il limite per x che tende a zero a sinistra di f(x) vale $l^-$ se per ogni x appartenente a $A nn (-oo, x_0)$ risulta che f(x) appartiene a $(l^(-) - epsilon, l^(-) + epsilon)$.
Come si vede, nel caso del logaritmo si ha $A=x>0$, pertanto l'insieme $A nn (-oo, 0)$ è l'insieme vuoto e che pertanto non soddisfa le ipotesi della definizione, quindi nel caso del logaritmo e della radice non ha senso parlare di limite sinistro.
Se per una funzione ha senso parlare di linite sinistro e destro, allora si può dire che il limite di quella funzione esiste se e solo so i limiti destro e sinistro coincidono. Ma se non ha senso parlare di almeno uno tra linite destro e sinistro allora la precedente affermazione non è vera, come dimostra il fatto che il limite per x che tende a zero della radice di x vale 0 e rispetta la definizione generale di limite, così come il limite del logaritmo, benché non sia definito il limite sinistro.
$ (AwedgeB)<=>C $
"Vulplasir":
Se per una funzione ha senso parlare di linite sinistro e destro, allora si può dire che il limite di quella funzione esiste se e solo so i limiti destro e sinistro coincidono. Ma se non ha senso parlare di almeno uno tra linite destro e sinistro allora la precedente affermazione non è vera, come dimostra il fatto che il limite per x che tende a zero della radice di x vale 0 e rispetta la definizione generale di limite, così come il limite del logaritmo, benché non sia definito il limite sinistro.
Grazie mille a tutti per l'aiuto, l'ultima risposta di Vulplasir mi ha chiarito definitivamente le idee, ora mi sembra tutto coerente. Mi sono iscritta a questo forum da poco ed è davvero fantastico!
@anto_zoolander, mi pare corretto, ma chiaramente A e B, definiti come limite sinistro e destro, devono avere senso affinchè valga la doppia implicazione con C. Nel caso di lnx, per esempio, in cui il limite sinistro non ha senso, quella implicazione non è vera.
"Vulplasir":
@anto_zoolander, mi pare corretto, ma chiaramente A e B, definiti come limite sinistro e destro, devono avere senso affinchè valga la doppia implicazione con C. Nel caso di lnx, per esempio, in cui il limite sinistro non ha senso, quella implicazione non è vera.
Si infatti la congiunzione logica $AwedgeB$ è falsa poiché $B$ è falsa. Quindi l'equivalenza logica è falsa.
Salve, ho un altro dubbio che mi sembrava inerente a quello che ho postato qualche giorno fa : studiavo gli infinitesimi dagli appunti (purtroppo nei testi che possiedo l'argomento non è trattato)
Dati f(x) e g(x) infinitesimi per $ x->c $
si studia il valore limite
$ lim f(x)/g(x) $
$ x->c $
premettendo che esiste un intorno bucato di c, in cui g(x) non si annulla.
$ \exists I(c)-{c} $ in cui $ g(x)!= 0 $
perchè fa tale premessa? Non è sufficiente che c sia un punto di accumulazione per $ Dom(g)nn Dom(f)-{x|g(x)=0} $ affinchè abbia senso studiare questo limite?
Non mi sembra che le richieste si equivalgano
Dati f(x) e g(x) infinitesimi per $ x->c $
si studia il valore limite
$ lim f(x)/g(x) $
$ x->c $
premettendo che esiste un intorno bucato di c, in cui g(x) non si annulla.
$ \exists I(c)-{c} $ in cui $ g(x)!= 0 $
perchè fa tale premessa? Non è sufficiente che c sia un punto di accumulazione per $ Dom(g)nn Dom(f)-{x|g(x)=0} $ affinchè abbia senso studiare questo limite?
Non mi sembra che le richieste si equivalgano
Come ti comporti con $g(x)$ se vai a prendere un intorno in cui si annulla?
Sia $lim_(x->c)f(x)/g(x)=1$
Vuol dire che $forallepsilon>0 existsI(c):|f(x)/g(x)-1|
Visto che deve essere 'per ogni $x inI(c)-{c}$, cosa succede se prendo un intorno in cui $g(x)$ annulla? Che questa definizione non è mica rispettata.
Sia $lim_(x->c)f(x)/g(x)=1$
Vuol dire che $forallepsilon>0 existsI(c):|f(x)/g(x)-1|
Visto che deve essere 'per ogni $x inI(c)-{c}$, cosa succede se prendo un intorno in cui $g(x)$ annulla? Che questa definizione non è mica rispettata.
ma la definizione, non dovrebbe essere :
\forall \varepsilon>0 \exists I(c): |f(x)/g(x)-l|<\varepsilon, \forall x\epsilon I(c)-{c}\cap Dom(z)
dove
\(z(x)=f(x)/g(x), Dom (z)=Dom(f)\cap Dom(g)-(x|g(x)=0)\)
scusa le parentesi tonde per l'insieme, ma non so perchè non mi compaiono più le graffe
quindi i punti in cui g(x) si annulla sarebbero esclusi
\forall \varepsilon>0 \exists I(c): |f(x)/g(x)-l|<\varepsilon, \forall x\epsilon I(c)-{c}\cap Dom(z)
dove
\(z(x)=f(x)/g(x), Dom (z)=Dom(f)\cap Dom(g)-(x|g(x)=0)\)
scusa le parentesi tonde per l'insieme, ma non so perchè non mi compaiono più le graffe
quindi i punti in cui g(x) si annulla sarebbero esclusi
Non capisco da cosa deduci che i punti in cui g si annulla sono esclusi in base alla definizione che hai dato...
Tu vuoi studiare il limite di un rapporto tra funzioni, non il limite di una funzione che è un rapporto tra funzioni.
Tu hai $f(x)$ e $g(x)$ definite in un intorno di $x=c$, se tu vuoi studiare il limite del loro rapporto $f(x)/g(x)$ in un intorno di $c$, devi trovare un intorno di c in cui g non si annulla.
Tu hai $f(x)$ e $g(x)$ definite in un intorno di $x=c$, se tu vuoi studiare il limite del loro rapporto $f(x)/g(x)$ in un intorno di $c$, devi trovare un intorno di c in cui g non si annulla.
Le definizioni sono equivalenti, dipende quale piace di più.
@vulpasir
Probabilmente intende che: $f:X->RR,g:Y->RR$ considerando $XcapY$ stia togliendo già tutti i punti in cui: $g(x)=0$
@chiara
Il fatto è che quì non stiamo parlando di un dominio, ma di un intorno.
Magari ho due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ definite in un loro dominio, però non voglio andare a modificare i loro domini, voglio solo considerare il limite del loro rapporto e per far questo basta prendere un intorno tale per cui $g(x)$ non si annulli.
OT
@vulpasir
@vulpasir
Probabilmente intende che: $f:X->RR,g:Y->RR$ considerando $XcapY$ stia togliendo già tutti i punti in cui: $g(x)=0$
@chiara
Il fatto è che quì non stiamo parlando di un dominio, ma di un intorno.
Magari ho due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ definite in un loro dominio, però non voglio andare a modificare i loro domini, voglio solo considerare il limite del loro rapporto e per far questo basta prendere un intorno tale per cui $g(x)$ non si annulli.
OT
@vulpasir
Per esempio le funzioni $f(x)=x$ e $g(x)=sin(1/x)$, entrambe sono definite in un intorno di $x=0$, ma prova a fare il limite di $x/(sin(1/x)$ per x che tende a 0...il limite è indefinito perché $sin(1/x)$ si annulla infinite volte in ogni intorno di $x=0$, ossia non esiste un intorno di $x=0$ in cui $sin(1/x)$ non si annulla, pertanto quel limite non ha senso. Stessa cosa per un qualsiasi f(x)/g(x), devi trovare un intorno di x=c in cui g(x) non si annulla.
Vedi il mio esempio sopra, il dominio di f(x)=x è $RR$, il dominio di $g(x)=sin(1/x)$ è $RR-(0)$, pertanto la loro intersezione è $RR-0$, ma in questo modo non si tolgono i punti in cui $sin(1/x)$ si annulla
Probabilmente intende che: f:X→R,g:Y→R considerando X∩Y stia togliendo già tutti i punti in cui: g(x)=0
Vedi il mio esempio sopra, il dominio di f(x)=x è $RR$, il dominio di $g(x)=sin(1/x)$ è $RR-(0)$, pertanto la loro intersezione è $RR-0$, ma in questo modo non si tolgono i punti in cui $sin(1/x)$ si annulla
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