Incongruenze definizione di limite
Salve, ho dei dubbi in merito alla definizione di limite per x che tende ad un valore c, in molti testi è premesso che c debba essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione, ma se è sufficiente tale premessa allora potremmo calcolare anche il limite di logx per x che tende a 0, (poichè 0 è un punto di accumulazione per (0,+inf)). Tuttavia il testo afferma che non ha senso calcolare il limite dalla sinistra di logx per x che tende a 0. Stessa situazione per il limite della radice quadrata di x per i che tende a 0, che invece secondo il mio testo esiste ed è uguale a 0.
Risposte
Quindi data una funzione g(x) infinitesima per c che tende a c e per cui non esiste un intorno bucato del punto c tale che
\( g(x)\neq 0 \) \( \forall x \epsilon I(c)-\) $ {c} $
allora 1/g(x) non ammette limite per $ x->c $ ?
per esempio la funzione
$ lim (1+sin(1/x))*|x| $
$ x->0 $
poichè tende a 0+, allora l'inversa dovrebbe tendere a +inf $ x->0 $
Un'altra idea che mi sono fatta è che in effetti la definizione rigorosa, da quello che ho letto, di $ f(x)=o(g(x)) $ dovrebbe essere che
$ AA varepsilon>0 EE I(c):AA $ \( x\epsilon I(c) \) $ -{c} nn Dom(g) nn Dom(f) $ si ha $ |f(x)|< epsilon |g(x)| $
che equivale a
$ lim f(x)/g(x) = 0 $
$ x->c $
se e soltanto se esiste un intorno bucato del punto c tale che \( g(x)\neq 0 \) \( \forall x \epsilon I(c)-\) $ {c} $
perchè solo in quel caso si può dividere la disuguaglianza per g(x)
\( g(x)\neq 0 \) \( \forall x \epsilon I(c)-\) $ {c} $
allora 1/g(x) non ammette limite per $ x->c $ ?
per esempio la funzione
$ lim (1+sin(1/x))*|x| $
$ x->0 $
poichè tende a 0+, allora l'inversa dovrebbe tendere a +inf $ x->0 $
Un'altra idea che mi sono fatta è che in effetti la definizione rigorosa, da quello che ho letto, di $ f(x)=o(g(x)) $ dovrebbe essere che
$ AA varepsilon>0 EE I(c):AA $ \( x\epsilon I(c) \) $ -{c} nn Dom(g) nn Dom(f) $ si ha $ |f(x)|< epsilon |g(x)| $
che equivale a
$ lim f(x)/g(x) = 0 $
$ x->c $
se e soltanto se esiste un intorno bucato del punto c tale che \( g(x)\neq 0 \) \( \forall x \epsilon I(c)-\) $ {c} $
perchè solo in quel caso si può dividere la disuguaglianza per g(x)
Si, quella è la definizione più rigorosa, similmente a come è stata insegnata a me:
Date $f,g:A-RR$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione di $A$, se esiste un intorno di $x_0$ e una funzione $h(x)$ definita in tale intorno tale che:
1) $f(x)=g(x)h(x)$ $AA x in I_(x_0) nn A-(x_0)$
2) $lim_(x->x_0) h(x)=0$
Allora si dice che $f(x)$ è un o-piccolo di $g(x)$
Se esiste un intorno di $x_0 $ in cui $g(x)$ non si annulla, allora la precedente definizione è equivalente a $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$.
In pratica però non ti capiterà mai di avere a che fare con funzioni che non hanno un intorno di in cui non si annullano, quindi la seconda definizione è più che sufficiente.
Date $f,g:A-RR$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione di $A$, se esiste un intorno di $x_0$ e una funzione $h(x)$ definita in tale intorno tale che:
1) $f(x)=g(x)h(x)$ $AA x in I_(x_0) nn A-(x_0)$
2) $lim_(x->x_0) h(x)=0$
Allora si dice che $f(x)$ è un o-piccolo di $g(x)$
Se esiste un intorno di $x_0 $ in cui $g(x)$ non si annulla, allora la precedente definizione è equivalente a $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$.
In pratica però non ti capiterà mai di avere a che fare con funzioni che non hanno un intorno di in cui non si annullano, quindi la seconda definizione è più che sufficiente.
ok di nuovo grazie mille, ora mi è tutto più chiaro!
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