Il quinto esercizio écorretto?limiti.del mercoledì
PRIMO: $\lim_{n \to \infty}(1/n^4)*log(1/n)=log(1/n)/(n^4)=$forma$infty/infty$
Applico de L'Hospital
$(1/(1/n)*(1/(n))')/(4n^3)=-(1/n)/(4n^3)=-1/(4n^4)=0$ nota $(1/n)'$ sta x derivata
Ma se non volessi applicare de L'hospital come devo procedere? non mi vengono in mente altri metodi
SECONDO: $\lim_{n \to \infty}(1/(n^4))*log((n^4+1)/(n^5))=(log((n^4+1)/(n^5)))/n^4=$
Applico de L'Hospital
$((1/((n^4+1)/(n^5)))*((n^4+1)/(n^5))')/(4n^3)=((n^5/(n^4+1))*((4n^3*(n^5)-(n^(4)+1)*(4n^4))/(n^10)))/(4n^3)=(-4n^9)/(n^(10)*(n^4+1)*(4n^3))=(n^9)/(n^17(1+1/(n^4)))=((-4))/(n^8(1-1/(n^4))=0$
Ma senza de l'hospital come lo svolgo?
TERZO $\lim_{x \to \-infty}sqrt(x^2+x+1)+x=(sqrt(x^2+x+1)+x)*(sqrt(x^2+x+1)-x)/(sqrt(x^2+x+1)-x)=((x^2+x+1)-x^2)/(sqrt(x^2+x+1)-x)=(x+1)/(-x*(sqrt(1+1/(x)+1/(x^2)))-x)=(x(1+1/(x)))/(-x((sqrt(1+1/(x)+1/(x^2)))+1))=-1/2$
QUARTO: $\lim_{n \to \infty}log(n+3^(-n))log((5n+7)/(5n+1))=log(n+3^(-n)+((5n+7)/(5n+1)))=log(n(1+n/(3^n)+(5n+7)/(5n+1)*(1/n))=log(n)(1)=+infty$
QUINTO: $\lim_{x \to \0}(log(1+senx))/(3^(x)-4^(x))=log(1+senx)/(senx)*(senx)/(x)*x/(3^(x)-4^(x))=1*1*x/(4^(x)(-1+(3/4)^x))=1*1*1/(1*(log(3/4)))$ Ho utilizzato il reciproco del limite notevole: $(a^(x)-1)/x=log a$ e quindi$ x/(a^(x)-1)=1/loga$ ma non so se è corretto!
Applico de L'Hospital
$(1/(1/n)*(1/(n))')/(4n^3)=-(1/n)/(4n^3)=-1/(4n^4)=0$ nota $(1/n)'$ sta x derivata
Ma se non volessi applicare de L'hospital come devo procedere? non mi vengono in mente altri metodi
SECONDO: $\lim_{n \to \infty}(1/(n^4))*log((n^4+1)/(n^5))=(log((n^4+1)/(n^5)))/n^4=$
Applico de L'Hospital
$((1/((n^4+1)/(n^5)))*((n^4+1)/(n^5))')/(4n^3)=((n^5/(n^4+1))*((4n^3*(n^5)-(n^(4)+1)*(4n^4))/(n^10)))/(4n^3)=(-4n^9)/(n^(10)*(n^4+1)*(4n^3))=(n^9)/(n^17(1+1/(n^4)))=((-4))/(n^8(1-1/(n^4))=0$
Ma senza de l'hospital come lo svolgo?
TERZO $\lim_{x \to \-infty}sqrt(x^2+x+1)+x=(sqrt(x^2+x+1)+x)*(sqrt(x^2+x+1)-x)/(sqrt(x^2+x+1)-x)=((x^2+x+1)-x^2)/(sqrt(x^2+x+1)-x)=(x+1)/(-x*(sqrt(1+1/(x)+1/(x^2)))-x)=(x(1+1/(x)))/(-x((sqrt(1+1/(x)+1/(x^2)))+1))=-1/2$
QUARTO: $\lim_{n \to \infty}log(n+3^(-n))log((5n+7)/(5n+1))=log(n+3^(-n)+((5n+7)/(5n+1)))=log(n(1+n/(3^n)+(5n+7)/(5n+1)*(1/n))=log(n)(1)=+infty$
QUINTO: $\lim_{x \to \0}(log(1+senx))/(3^(x)-4^(x))=log(1+senx)/(senx)*(senx)/(x)*x/(3^(x)-4^(x))=1*1*x/(4^(x)(-1+(3/4)^x))=1*1*1/(1*(log(3/4)))$ Ho utilizzato il reciproco del limite notevole: $(a^(x)-1)/x=log a$ e quindi$ x/(a^(x)-1)=1/loga$ ma non so se è corretto!
Risposte
Il primo:
$log(1/n)=-log(n)$
da cui immediatamente (confronto tra infiniti) $lim_(n->\infty)-log(n)/n^4=0$
Il secondo: (qui i tuoi passaggi sono errati infatti $log(n^4+1/n^5)!=log((n^4+1)/n^5)$)
$log(n^4+1/n^5)=log(n^4(1+1/n^9))$ che per $n->\infty$ è pari a $log(n^4)=4log(n)$
Il risultato è sempre $0$ per quanto detto per il primo.
$log(1/n)=-log(n)$
da cui immediatamente (confronto tra infiniti) $lim_(n->\infty)-log(n)/n^4=0$
Il secondo: (qui i tuoi passaggi sono errati infatti $log(n^4+1/n^5)!=log((n^4+1)/n^5)$)
$log(n^4+1/n^5)=log(n^4(1+1/n^9))$ che per $n->\infty$ è pari a $log(n^4)=4log(n)$
Il risultato è sempre $0$ per quanto detto per il primo.
no scusa ho sbagliato a mettere le parentesi!! è proprio nel testo $log((n^4+1)/(n^5))$
In qst modo è giusto?
In qst modo è giusto?
ma nel primo e nel secondo le derivate sono giuste? non sono molto pratica con quelle
ma invece il secondo senza de l'hospital come lo svolgo?
il terzo e il quarto e il quinto sono corretti? non so se nel quarto ho applicato bene le regole dei logaritmi
Se dici( o scrivi ) all'esame che per il calcolo di un limite in cui la variabile è $ n $ applichi il teorema di De l'Hospital ti caccia......
Come fai a derivare una funzione che è definita solo in corrispondenza dei numeri naturali ?
Come fai a derivare una funzione che è definita solo in corrispondenza dei numeri naturali ?
Madonna!! Che grande stupidata ho scritto?? Non ci avevo proprio fatto caso!! L'avevo fatti meccanicamente .... senza pensarci! Ops sbagliato... allora come procedo?
Considera l'ordine di infinito, ti agevolerà molto! 
Applicando l'Hospital devi verificare che siano soddisfate le ipotesi del teorema e spesso, invece che semplificarti il limite, te lo complica.
Il secondo equivale, asintoticamente , a $\lim_{n \to \infty} log(1/n)/n^5 = \lim_{n \to \infty} -log(n)/n^5 = 0$
Il secondo equivale, asintoticamente , a $\lim_{n \to \infty} log(1/n)/n^5 = \lim_{n \to \infty} -log(n)/n^5 = 0$
non capisco.... marco,..ma non è diverso? è il primo?!
$(log((n^4+1)/(n^5)))/n^4=(log((n^4+1)/(n^5)))/((n^4+1)/(n^5))* (((n^4+1)/n^5))/(n^4)=0* (n^4+1)/n^9=(n^4(1+1/n^4))/n^9= 1/n^5=0$ è corretto così secondo l'ordini degli infiniti ALISEO?
No no, è il secondo. Scusa, per $n$ grande scrivere $log((n^4+1)/n^5)$ o scrivere $log(n^4/n^5)$ è la stessa identica cosa. Non è l'uno che fa cambiare il comportamento della funzione per $ n \to \infty$
cpt, grazie marco, ma cm ho scritto nel messaggio subito sopra l'ultimo tuo. è sbagliato?
no, scusa. La quantità sotto il logaritmo deve tendere a 1. E' così che puoi applicare il limite notevole. In quel modo hai $\infty/0$
"Marco512":
Applicando l'Hospital devi verificare che siano soddisfate le ipotesi del teorema e spesso, invece che semplificarti il limite, te lo complica
Attenzione! Il problema di applicare il teorema di De l'Hospital non è questo, rileggete bene quanto scritto da Camillo:
"Camillo":
Se dici( o scrivi ) all'esame che per il calcolo di un limite in cui la variabile è $ n $ applichi il teorema di De l'Hospital ti caccia......
Come fai a derivare una funzione che è definita solo in corrispondenza dei numeri naturali ?
Allora riprendiamo il limite
$ \lim_{n \to \+infty}1/(n^4)*log((n^4+1)/(n^5)) $. Per $ n \to +\infty $ $n^5$ è di ordine superiore a $ n^4+1 ~~ n^4 $. Quindi il limite diventa
$ \lim_{n \to \+infty}1/(n^4)*log(1/(n^5)) $. Ora per la gerarchia degli infiniti, per $ n \to +\infty$ $ (log_a(n))^{\alpha}$ è comunque un infinito di ordine inferiore rispetto a $ n^b $, dove $\alpha, b>0$ e $a>1$. Quindi il limite diventa
$ \lim_{n \to \+infty}1/(n^4)=0 $. Adoperando il teorema della gerarchia degli infiniti non devi fare alcun calcolo!
$ \lim_{n \to \+infty}1/(n^4)*log((n^4+1)/(n^5)) $. Per $ n \to +\infty $ $n^5$ è di ordine superiore a $ n^4+1 ~~ n^4 $. Quindi il limite diventa
$ \lim_{n \to \+infty}1/(n^4)*log(1/(n^5)) $. Ora per la gerarchia degli infiniti, per $ n \to +\infty$ $ (log_a(n))^{\alpha}$ è comunque un infinito di ordine inferiore rispetto a $ n^b $, dove $\alpha, b>0$ e $a>1$. Quindi il limite diventa
$ \lim_{n \to \+infty}1/(n^4)=0 $. Adoperando il teorema della gerarchia degli infiniti non devi fare alcun calcolo!
@Aliseo
Non sono d'accordo.
E' vero che $log(n^a)=alogn$ (quindi asintoticamente il comportamento è lo stesso, a meno della costante $a$), ma comunque non è corretto scrivere
$log((n^4+1)/n^5)~~log(1/n^5)$. Infatti è proporzionale a $log(1/n)$. Immagina se l'esercizio fosse stato quello di calcolare il seguente limite:
$lim_(n->\infty)log((n^4+1)/n^5)/log(n)$
Quale sarebbe stato per te il risultato?
Poi $(log(n))^a$ non è $log(n^a)$, ma qui credo che tu abbia solo sbagliato a scrivere.
Non sono d'accordo.
E' vero che $log(n^a)=alogn$ (quindi asintoticamente il comportamento è lo stesso, a meno della costante $a$), ma comunque non è corretto scrivere
$log((n^4+1)/n^5)~~log(1/n^5)$. Infatti è proporzionale a $log(1/n)$. Immagina se l'esercizio fosse stato quello di calcolare il seguente limite:
$lim_(n->\infty)log((n^4+1)/n^5)/log(n)$
Quale sarebbe stato per te il risultato?
Poi $(log(n))^a$ non è $log(n^a)$, ma qui credo che tu abbia solo sbagliato a scrivere.
Si infatti volevo scrivere $ log(1/n) $ (problema di copia e incolla 
).
).
grazie tante a tutti! capito
UNA COSA IMPORTANTE: terzo quarto e quinto esercizio sono giusti?? Ho più dubbbi sugli ultimi 2
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