Funzione due variabili, dire se è limitata
Sia:
$f(x,y)=e^(x+y)+e^(x-y)+y-2$
Per dire se è limitata considro le restrizioni f(x,0), f(0,y) e calcolo i limiti per x che tende a $+oo$ e $-oo$? giusto?
quindi dovrebbe venire:
$lim_(x->+oo) f(x,0)=+oo$
$lim_(x->-oo) f(x,0)=-2$
$lim_(y->+oo) f(0,y)=+oo$
$lim_(y->+oo) f(0,y)=-oo$
giusto?
quindi la funzione è illimitata superiormente... ma inferiormente? cosa devo cosiderare il -2 o l'infinitesimo?
$f(x,y)=e^(x+y)+e^(x-y)+y-2$
Per dire se è limitata considro le restrizioni f(x,0), f(0,y) e calcolo i limiti per x che tende a $+oo$ e $-oo$? giusto?
quindi dovrebbe venire:
$lim_(x->+oo) f(x,0)=+oo$
$lim_(x->-oo) f(x,0)=-2$
$lim_(y->+oo) f(0,y)=+oo$
$lim_(y->+oo) f(0,y)=-oo$
giusto?
quindi la funzione è illimitata superiormente... ma inferiormente? cosa devo cosiderare il -2 o l'infinitesimo?
Risposte
"Knuckles":
$lim_(y->+oo) f(0,y)=-oo$
Penso tu volessi dire che [tex]$y\to -\infty$[/tex]
Avendo posto [tex]$x=0$[/tex] la funzione diventa
[tex]$f(0,y)=e^{y}+e^{-y}+y+2$[/tex]
e quel limite non è corretto. Uno dei due esponenziali infatti va ad infinito.
si....con taylor si vede che va a $+oo$... però poi in base a cosa vedo se è limitata o no?
Per la limitatezza inferiore prova a vedere $f(2t,t)$ quando $t\to -\infty$.
viene $-oo$... ma cosa concludo?
nel senso per funzioni di una variabile calcolavo i limiti per x a $+-oo$ e vedevo se la funzione divergeva o meno...
ma in due variabili?
nel senso per funzioni di una variabile calcolavo i limiti per x a $+-oo$ e vedevo se la funzione divergeva o meno...
ma in due variabili?
Se, anche in una direzione, la funzione tende a $-\infty$, per definizione hai che non è limitata inferiormente.
quindi in generale, io ho una funzione, e faccio i limiti in varie direzioni... se almeno in una direzione il limite diverge la funzione è illimitata?
però facendo il limite per $x->-oo$ viene $-2$... ciò cosa vuol dire? confusione
però facendo il limite per $x->-oo$ viene $-2$... ciò cosa vuol dire? confusione
un aiuto?
Evita UP troppo ravvicinati in futuro... ( regolamento )
Per dimostrare che una funzione non è limitata superiormente, ti basta trovare una direzione lungo la quale la funzione non lo sia ovvero vada a $+\infty$ (chiaramente, per essere limitata deve esserlo ovunque) e chiaramente discorso analogo per inferiormente.
Chiaramente, nel tuo caso come hai detto basta vedere che per $x \rarr +\infty$, $(x, 0) \rarr +\infty$ e che per $y \rarr -\infty$, $(y, y) \rarr -\infty$ quindi la tua funzione non è limitata nè superiormente nè inferiormente.
Per dimostrare che una funzione non è limitata superiormente, ti basta trovare una direzione lungo la quale la funzione non lo sia ovvero vada a $+\infty$ (chiaramente, per essere limitata deve esserlo ovunque) e chiaramente discorso analogo per inferiormente.
Chiaramente, nel tuo caso come hai detto basta vedere che per $x \rarr +\infty$, $(x, 0) \rarr +\infty$ e che per $y \rarr -\infty$, $(y, y) \rarr -\infty$ quindi la tua funzione non è limitata nè superiormente nè inferiormente.
ok... scusa per l'up di questa e di altre domande... non mi ricordavo del minimo di 3 giorni ma mi ricordavo un giorno... scusa ancora... cmq grazie sei stato fondamentale 
"Gatto89":
Per dimostrare che una funzione non è limitata superiormente, ti basta trovare una direzione lungo la quale la funzione non lo sia ovvero vada a $+\infty$ (chiaramente, per essere limitata deve esserlo ovunque) e chiaramente discorso analogo per inferiormente.
Chiaramente, nel tuo caso come hai detto basta vedere che per $x \rarr +\infty$, $(x, 0) \rarr +\infty$ e che per $y \rarr -\infty$, $(y, y) \rarr -\infty$ quindi la tua funzione non è limitata nè superiormente nè inferiormente.
E se ho:
$f(xy)\{(1/(x^2+y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
dire se f è limitata in $A={(x,y)\inRR^2: x^2+(y-1)^2<=1;x^2+(y-1/2)^2>=1/4}$?
se faccio il limite per $xy->(0,0)^(+-)$ viene $+-oo$ quindi f non è limitata? giusto? basta dire questo?
Poiché $f\geq 0$, $f$ è limitata inferiormente.
Non è invece limitata superiormente; basta osservare che $(0,0)$ è un punto di accumulazione di $A$ (dovresti disegnare $A$, naturalmente), e che
$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = +\infty$.
Non è invece limitata superiormente; basta osservare che $(0,0)$ è un punto di accumulazione di $A$ (dovresti disegnare $A$, naturalmente), e che
$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = +\infty$.
ok grazie... e un'altra cosa.... considera A l'insieme di prima... mi si chiede di calcolare il baricentro.
allora per simmetria di A $X_G=0$ mentre per $Y_G$ svolgendo i calcoli (con gli integrali doppi) mi viene come risultato $14/(9pi)$ è possibile?
allora per simmetria di A $X_G=0$ mentre per $Y_G$ svolgendo i calcoli (con gli integrali doppi) mi viene come risultato $14/(9pi)$ è possibile?
A occhio avrei detto $7/6$, ma può darsi che mi sbaglio. Dovrei fare i conti.
(Comunque $14/(9 \pi)$ direi che è impossibile, visto che deve venire $>1$.)
(Comunque $14/(9 \pi)$ direi che è impossibile, visto che deve venire $>1$.)
cavolo... l'area ti viene $3pi/4$?
Beh, questa è facile:
$\pi - \pi/4$.
$\pi - \pi/4$.
ok... l'altro integrale cioè: $\int\int_A(ydxdy)$ mi viene $7/6$ ti risulta?
Sì, te lo avevo già scritto tre post fa.
Hai una massa di $\pi$ in $y=1$, e una massa (negativa) di $-\pi/4$ in $y=1/2$...
Il tuo integrale va diviso per $|A|$.
Hai una massa di $\pi$ in $y=1$, e una massa (negativa) di $-\pi/4$ in $y=1/2$...
Il tuo integrale va diviso per $|A|$.
e ma ti viene $14/(9pi)$? quello che a me viene $7/6$ non è il risultato finale...
a me viene $7/6$ al numeratore e $(3pi)/4$ al denominatore...
a me viene $7/6$ al numeratore e $(3pi)/4$ al denominatore...
$\frac{1\pi - \frac{1}{2} \frac{\pi}{4}}{\pi-\frac{\pi}{4}} = \frac{7}{6}$
ma l'integrale al numeratore ti viene così?
$\int_0^(2pi) sin(theta) d(theta)\int_0^1 rho^2 d(rho)-\int_0^(2pi) sin(theta) d(theta)\int_0^(1/2) rho^2 d(rho)$
$\int_0^(2pi) sin(theta) d(theta)\int_0^1 rho^2 d(rho)-\int_0^(2pi) sin(theta) d(theta)\int_0^(1/2) rho^2 d(rho)$
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