Funzione due variabili, dire se è limitata

[Knuckles1]

Sia:

$f(x,y)=e^(x+y)+e^(x-y)+y-2$

Per dire se è limitata considro le restrizioni f(x,0), f(0,y) e calcolo i limiti per x che tende a $+oo$ e $-oo$? giusto?

quindi dovrebbe venire:

$lim_(x->+oo) f(x,0)=+oo$
$lim_(x->-oo) f(x,0)=-2$
$lim_(y->+oo) f(0,y)=+oo$
$lim_(y->+oo) f(0,y)=-oo$

giusto?

quindi la funzione è illimitata superiormente... ma inferiormente? cosa devo cosiderare il -2 o l'infinitesimo?

[gac1]

Non ho fatto nessun integrale, comunque quelli che hai scritto tu sono entrambi nulli.

[Knuckles1]

$4[\int_0^(pi/2) sin(theta) d(theta)\int_0^1 rho^2 d(rho)-\int_0^(pi/2) sin(theta) d(theta)\int_0^(1/2) rho^2 d(rho)]$

ok ma sono giusti questi?

[gac1]

$\int\int_A y dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1+\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta - \int_0^{2\pi} \int_0^{1/2} (1/2+\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta$
$ = \int_0^{2\pi} \int_0^1\rho d\rho d\theta - \int_0^{2\pi} \int_0^{1/2} 1/2 \rho d\rho d\theta = \pi - \pi/8$

[Knuckles1]

grazie.

[Knuckles1]

ok... e scusa se ti stresso ancora... ma io ho eseguito due cambiamenti di var...

$x^2+(y-1)^2=1 -> u^2+v^2=1 $ e lo jacobiano è 1...

$x^2+(y-1/2)^2=1/4 -> u^2+v^2=1/4 $ e lo jacobiano è 1...

quindi in coordinate polari avrei

$4[\int_0^(pi/2) sin(theta) d(theta)\int_0^1 rho^2 d(rho)-\int_0^(pi/2) sin(theta) d(theta)\int_0^(1/2) rho^2 d(rho)]$ np?

dove sbaglio?
hai capito come ho fatto? mi sono spostato le due cfr nell'origine con un cambio di variabili... poi ho considero gli insiemi di integrazione in coordinate polari e ne ho fatto l'integrale...

[gac1]

Nel primo integrale $y = 1+v$, nel secondo $y = 1/2 + v$.

[Knuckles1]

esatto... e dove è che sbaglio gli integrali??

[gac1]

$\int\int_{B_1(0,1)} y dx dy = \int \int_{B_1(0,0)} (1+v) du dv$.